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23.2.2 仰角、俯角问题教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：23.2.2 仰角、俯角问题
副标题：初二数学下册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是解直角三角形？解直角三角形的依据有哪些？（在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形；依据包括勾股定理、锐角互余关系和三角函数关系。）
问题 2：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，已知\(\angle A=30^{\circ}\)，\(a=5\)，则\(\angle B=\)，\(b=\)，\(c=\)______。（\(60^{\circ}\)，\(5\sqrt{3}\)，\(10\)）
问题 3：如何用三角函数表示直角三角形中边与角的关系？（\(\sin A=\frac{a}{c}\)，\(\cos A=\frac{b}{c}\)，\(\tan A=\frac{a}{b}\)等）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解仰角和俯角的概念；能将实际问题中的仰角、俯角转化为直角三角形中的角；掌握利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角问题的方法。
能力目标：通过分析实际问题，培养数学建模能力和空间想象能力；通过解决具体问题，提高运用三角函数知识解决实际问题的能力，体会数形结合思想。
情感目标：感受数学与生活的密切联系，体会三角函数在实际测量中的应用价值，激发学习数学的兴趣和应用意识。
第 4 页：情境引入
生活实例：
如图 1，小明站在地面上观察旗杆顶端，视线与水平线形成一个向上的角，如何通过这个角和小明到旗杆的距离计算旗杆高度？
如图 2，飞行员驾驶飞机飞行时，观察地面上的目标，视线与水平线形成一个向下的角，如何通过这个角和飞行高度计算飞机到目标的水平距离？
提出问题：在实际测量中，我们经常会遇到视线与水平线形成夹角的情况，这些角有什么专门的名称？如何利用这些角解决测量问题？引出仰角和俯角的概念。
第 5 页：仰角和俯角的定义
仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角。
图形标注：展示观测者仰望高处物体的示意图，标注视线、水平线和仰角，强调仰角是视线在水平线上方与水平线形成的锐角。
俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角。
图形标注：展示观测者俯视低处物体的示意图，标注视线、水平线和俯角，强调俯角是视线在水平线下方与水平线形成的锐角。
注意事项：仰角和俯角都是视线与水平线所成的锐角，其大小范围是\(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\)；在解决问题时，要准确区分仰角和俯角的位置。
第 6 页：解决仰角、俯角问题的基本步骤
步骤 1：审题，明确问题中的已知条件和所求未知量，找出涉及的仰角或俯角。
步骤 2：根据题意画出示意图，将实际问题抽象为几何图形，特别是构造直角三角形，将仰角或俯角转化为直角三角形中的内角。
步骤 3：在直角三角形中，明确已知元素和未知元素，选择合适的三角函数关系式（正弦、余弦、正切）。
步骤 4：代入已知数据进行计算，求出未知量，注意单位统一和结果精度。
步骤 5：检验结果是否符合实际意义，写出答案。
第 7 页：例题讲解 1—— 仰角问题（测量物体高度）
例 1：如图，小明在距离旗杆底部\(15\)米的\(C\)处，测得旗杆顶端\(A\)的仰角为\(30^{\circ}\)，求旗杆\(AB\)的高度（结果保留根号）。
步骤解析：
画图分析：构造\(Rt\triangle ABC\)，其中\(\angle B=90^{\circ}\)，\(BC=15\)米（水平距离），\(\angle ACB=30^{\circ}\)（仰角），\(AB\)为旗杆高度（所求）。
选择关系式：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{AB}{15}\)。
计算求解：\(AB=BC\cdot\tan30^{\circ}=15\times\frac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\)米。
结论：旗杆\(AB\)的高度为\(5\sqrt{3}\)米。
第 8 页：例题讲解 2—— 仰角问题（含观测点高度）
例 2：如图，某测量员在高为\(2\)米的测角仪\(CD\)顶端\(D\)处，测得前方大树顶端\(A\)的仰角为\(45^{\circ}\)，测得大树底部\(B\)的俯角为\(30^{\circ}\)，测角仪到大树的水平距离\(CE=8\)米，求大树\(AB\)的高度（结果保留根号）。
步骤解析：
画图分析：过点\(D\)作\(DE\perp AB\)于点\(E\)，则四边形\(DEBC\)为矩形，\(DE=CE=8\)米，\(BE=CD=2\)米，\(\angle ADE=45^{\circ}\)（仰角），\(\angle EDB=30^{\circ}\)（俯角）。
求\(AE\)：在\(Rt\triangle ADE\)中，\(\tan45^{\circ}=\frac{AE}{DE}\)，即\(1=\frac{AE}{8}\)，所以\(AE=8\)米。
求\(EB\)已已知，求\(AB\)：\(AB=AE+BE=8 + 2=10\)米？（修正：此处\(EB\)为测角仪高度，实际\(AB=AE+BE\)，但需重新检查俯角部分是否影响。正确分析：俯角\(\angle EDB=30^{\circ}\)对应的是\(BE\)，在\(Rt\triangle DEB\)中，\(\tan30^{\circ}=\frac{BE}{DE}\)，\(BE=DE\cdot\tan30^{\circ}=8\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)米，所以\(AB=AE+BE=8+\frac{8\sqrt{3}}{3}\)米）。
结论：大树\(AB\)的高度为\(8+\frac{8\sqrt{3}}{3}\)米。
第 9 页：例题讲解 3—— 俯角问题（测量水平距离）
例 3：如图，飞机在离地面\(800\)米的高度\(A\)处，测得地面目标\(B\)的俯角为\(30^{\circ}\)，求飞机到目标\(B\)的水平距离\(AC\)（结果保留整数）。
步骤解析：
画图分析：构造\(Rt\triangle ABC\)，其中\(\angle C=90^{\circ}\)，\(AC\)为水平距离（所求），\(BC=800\)米（垂直高度），\(\angle BAC=30^{\circ}\)（俯角等于仰角，因为水平线平行）。
选择关系式：在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\tan\angle BAC=\frac{BC}{AC}\)，即\(\tan30^{\circ}=\frac{800}{AC}\)。
计算求解：\(AC=\frac{800}{\tan30^{\circ}}=800\times\sqrt{3}\approx800\times1.732\approx1386\)米。
结论：飞机到目标\(B\)的水平距离约为\(1386\)米。
第 10 页：例题讲解 4—— 综合问题（仰角和俯角结合）
例 4：如图，在山顶\(A\)处测得山脚\(B\)处的俯角为\(60^{\circ}\)，测得山脚\(C\)处的俯角为\(30^{\circ}\)，已知\(BC=200\)米，求山高\(AD\)（\(D\)为山脚在山顶正下方的点，结果保留根号）。
步骤解析：
画图分析：设山高\(AD=h\)米，\(\angle BAD=60^{\circ}\)，\(\angle CAD=30^{\circ}\)，则在\(Rt\triangle ABD\)中，\(BD=AD\cdot\tan60^{\circ}=h\sqrt{3}\)；在\(Rt\triangle ACD\)中，\(CD=AD\cdot\tan30^{\circ}=\frac{h\sqrt{3}}{3}\)。
利用\(BC=BD - CD\)：\(200=h\sqrt{3}-\frac{h\sqrt{3}}{3}=\frac{2h\sqrt{3}}{3}\)。
求解\(h\)：\(h=\frac{200\times3}{2\sqrt{3}}=\frac{300}{\sqrt{3}}=100\sqrt{3}\)米。
结论：山高\(AD\)为\(100\sqrt{3}\)米。
第 11 页：方法总结
解决仰角、俯角问题的关键：
准确理解仰角和俯角的概念，将其转化为直角三角形中的内角。
善于构造直角三角形，通过作辅助线（如水平线、垂直线）将复杂图形简化为直角三角形。
明确直角三角形中的已知量和未知量，选择合适的三角函数（通常优先选择正切，因为涉及对边和邻边，较少涉及斜边）。
常见辅助线：过观测点作水平线的垂线或水平线，构造直角三角形，使仰角或俯角成为直角三角形的一个锐角。
注意事项：
俯角等于观测点水平线与视线的夹角，且等于低处目标处的仰角（因水平线平行，内错角相等）。
计算时要注意单位统一，结果按要求保留精度（根号形式或近似值）。
检验计算结果是否合理，符合实际情境。
第 12 页：课堂练习 1
练习 1：如图，在距离大楼底部\(20\)米的\(C\)处，测得大楼顶端\(A\)的仰角为\(60^{\circ}\)，求大楼\(AB\)的高度（结果保留根号）。
练习 2：从热气球\(P\)处测得地面上\(A\)处的俯角为\(45^{\circ}\)，测得\(B\)处的俯角为\(30^{\circ}\)，热气球高度\(PO=100\)米，点\(O\)、\(A\)、\(B\)在同一直线上，求\(AB\)的距离（结果保留根号）。
第 13 页：课堂练习 2
练习 3：如图，某同学在\(D\)处测得教学楼顶端\(A\)的仰角为\(30^{\circ}\)，向教学楼前进\(20\)米到达\(C\)处，测得顶端\(A\)的仰角为\(45^{\circ}\)，求教学楼\(AB\)的高度（结果保留根号）。
练习 4：一艘轮船在海面上观测到灯塔\(C\)在北偏东\(60^{\circ}\)方向，轮船向正东方向航行\(20\)海里后到达\(B\)处，此时观测到灯塔\(C\)在北偏东\(30^{\circ}\)方向，求轮船在\(B\)处与灯塔\(C\)的距离（结果保留根号）。
第 14 页：易错点提醒
混淆仰角和俯角的概念，将仰角错误地当作视线在水平线下方的角，或反之。
构造直角三角形时辅助线作法错误，未能正确将仰角或俯角纳入直角三角形中。
选择三角函数关系式不当，如该用正切时误用正弦，导致计算错误。
忽略观测点自身的高度，如测角仪高度，导致计算物体高度时结果偏小。
计算过程中单位不统一或结果精度不符合要求，尤其是涉及根号和近似值时。
第 15 页：课堂小结
本节课学习了仰角和俯角的概念：仰角是视线在水平线上方与水平线的夹角，俯角是视线在水平线下方与水平线的夹角。
掌握了解决仰角、俯角问题的基本步骤：审题画图→构造直角三角形→选择三角函数→计算求解→检验答案。
强调了将实际问题转化为数学模型（直角三角形）的重要性，以及准确选择三角函数关系式和规范计算的必要性。
通过实例体会到三角函数在实际测量中的广泛应用，提高了运用数学知识解决实际问题的能力。
第 16 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 23.2 第 4、5、6 题。
提高作业：如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^{\circ}\)，小明在\(C\)处测得山顶\(A\)的仰角为\(45^{\circ}\)，向山脚\(B\)方向行走\(100\)米后到达\(D\)处，测得山顶\(A\)的仰角为\(60^{\circ}\)，求山高\(AB\)（结果保留根号）。
拓展作业：设计一个测量学校旗杆高度的方案，写出所需工具、测量步骤和计算方法，实际操作并记录结果。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.2.2仰角、俯角问题
第23章　解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.进一步巩固解直角三角形有关知识，了解仰角、俯角的概念.
2.能运用解直角三角形知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.
1.解直角三角形的条件是什么？
除直角外的两个元素(至少有一边)
2.解直角三角形的依据是什么？
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
(1)三边之间的关系：
(2)两个锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
sinA= ，cosA= ，tanA= .
sinB= ，cosB= ，tanB= .
A
B
C
a
b
c
如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米)
仰角是什么角呢？
A
B
C
E
D
铅
直
线
水平线
仰角
视线
俯角
视线
在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.
例3 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米)
A
B
C
E
D
8m
52°
1.6m
分析：要计算的是AB的长度，
又有AB=AD+DB，
DB=CE=1.6m，
只要再求出AD的长度即可.
例3 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角器的架高CE=1.6m，问树高AB为多少？(精确到0.1米)
A
B
C
E
D
8m
52°
1.6m
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8m.
由tan∠ACD= ????????????????，得
AD=CD·tan∠ACD=8×1.2799≈10.2(m).
由BD=CE=1.6m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8(m).
答：树高AB为11.8m.
?
例4 如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50m.已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m).
分析：要求电视塔的高度，也就是求AB的值.
AB=AB1+B1B，其中B1B=1m，再计算出AB1的值即可.
例4 如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°，同时量得CD为50m.已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m).
解：设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中，由∠AC1B1=45°，得C1B1=AB1.
在Rt△AD1B1中，由∠AD1B1=30°，得
解方程，得x=25(3+1)
?
答：电视塔的高度为69m.
即
tanAD1B1=????????1????1????1 = ????????1????1????1+????1????1，
?
≈68.
∴AB= AB1 + B1B≈68+1=69(m)
方法归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
应用1 用不同方法测量所住楼对面的商业大厦的高度
商业大厦楼前地面完好，可直接测量距离
1.如图,小明与小华在所住楼下测得点????到点???? 的
距离为?????????????,商业大厦顶部????的仰角为????????.????? ,
????????⊥????????,则商业大厦的高????????约为____???? .
(结果保留整数，参考数据：?????????????????????.?????≈????.???????? ,
?????????????????????.?????≈????.????????,?????????????????????.?????≈????.???????? )
?
80
商业大厦楼前地面维修，不可直接测量距离
2.如图,小华站在点????处测得????????顶部???? 的仰角为
????????? ,向前走了?????????????到达点????处测得????????顶部????
的仰角为????????? ,已知小华眼睛到地面的高度
????????(????????)为????.?????????,点????,????,???? 在同一水平线上,
?
????????⊥????????,试求商业大厦的高???????? .(结果保留整数，参考数
据：??????????????????????≈????.????????, ??????????????????????≈????.????????,??????????????????????≈????.???????? )
?
解：如图，连接????????并延长交????????于点???? ，由题
意易知，四边形????????????????,???????????????? 均为矩形，
∴????????=????????=????????=????.?????????, ????????=????????=????????????? .
设????????=?????????.易知∠????????????=????????? .
∵∠????????????=????????? ，
?
∴∠????????????=∠????????????=????????? ,∴????????=????????=????????? ，
∴????????=?????????????????=(?????????????)????.在????????△????????????
中, ????????????∠????????????=????????????????=?????????????????≈????.???????? ，解得
????≈????????.???????? ，
∴????????=????????+????????≈????????.????????+????.????=????????.????????≈????????(????) .
答：商业大厦的高????????约为????????????? .
?
3.如图，小明与小华在所住楼顶的防护栏???? 处，
测得商业大厦顶部????的仰角为????????? ，商业大厦
底部????的俯角为????????? ，已知????????⊥???????? ,
????????⊥????????,????????=????????????? ，试求商业大厦的高
?
????????.(结果保留整数，参考数据：??????????????????????≈????.???????? ,
??????????????????????≈????.????????，??????????????????????≈????.????????,??????????????????????≈????.???????? ，
????≈????.???????? )
?
解：如图,过点????作????????⊥????????于点???? ，
∴ 易得四边形???????????????? 是矩形,
∴????????=????????=????????????? .
在????????△????????????中,????????????∠????????????=???????????????? ，
∴????????=????????????????????∠????????????≈????????????.????????=????????(????) .
在????????△????????????中,????????????∠????????????=???????????????? ，
?
∴????????=?????????????????????∠????????????≈????????×????.????????=????????(????)，
∴????????=????????+????????≈????????+????????=????????(????) .
答：商业大厦的高????????约为????????????? .
?
4.如图,小明在所住楼顶的防护栏???? 处,测得
商业大厦底部????处的俯角为????????? ,小华在
商业大厦顶部的防护栏???? 处,测得所住楼
底部????处的俯角为????????? ,已知????????⊥???????? ,
????????⊥????????,????????=????????????? ,试求商业大厦的高
?
????????.(结果保留整数，参考数据：??????????????????????≈????.???????? ,
??????????????????????≈????.????????, ??????????????????????≈????.???????? )
?
解：∵????????⊥????????,????????⊥???????? ,
????????⊥????????,????????⊥???????? ，
∴????????//????????,????????//???????? ，
∴∠????????????=∠????????????=????????? ,
∠????????????=∠????????????=????????? .
?
在????????△????????????中,????????????∠????????????=???????????????? ，
?
∴????????=????????????????????∠????????????≈????????????.????????=????????(????) .
∵∠????????????=????????? ,∠????????????=????????? ，
∴∠????????????=∠????????????=????????? ,
∴????????=????????≈????????????? .
答：商业大厦的高????????约为????????????? .
?
解直角三角形及其应用
仰角、俯角：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角
三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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