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23.2.4 坡角问题及一次函数中 k 的几何意义教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：23.2.4 坡角问题及一次函数中 k 的几何意义
副标题：初二数学下册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是仰角和俯角？如何利用它们解决实际测量问题？（仰角是视线在水平线上方与水平线的夹角，俯角是视线在水平线下方与水平线的夹角；通过构造直角三角形，利用三角函数求解。）
问题 2：解直角三角形的依据有哪些？（勾股定理、锐角互余关系、三角函数关系。）
问题 3：一次函数的表达式是什么？其图象是什么图形？（一次函数表达式为\(y = kx + b\)（\(k\)、\(b\)为常数，\(k\neq0\)），图象是一条直线。）
第 3 页：学习目标
知识目标：理解坡角和坡度的概念及关系；能运用解直角三角形的知识解决坡角相关实际问题；掌握一次函数中比例系数\(k\)的几何意义，能结合图形理解\(k\)与直线倾斜程度的关系。
能力目标：通过解决坡角问题，培养数学建模能力和实际应用能力；通过探究\(k\)的几何意义，提高数形结合能力和抽象思维能力。
情感目标：感受数学在工程建设和函数图象分析中的应用价值，激发学习数学的兴趣，培养严谨的思维习惯。
第 4 页：情境引入（坡角问题）
生活实例：
如图 1，在修建山坡公路时，工程师需要根据山坡的倾斜程度设计路面长度和高度，确保行车安全。
如图 2，水利工程中修建大坝时，要考虑大坝的倾斜角度和坡度，以保证大坝的稳定性。
提出问题：如何描述山坡、大坝等的倾斜程度？坡角和坡度之间有什么关系？如何利用它们解决工程中的实际问题？引出坡角和坡度的概念。
第 5 页：坡角和坡度的定义
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，通常用字母\(\alpha\)表示。
图形标注：展示一个倾斜的坡面示意图，标注坡面、水平面和坡角\(\alpha\)，强调坡角是坡面与水平面形成的锐角。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度\(h\)和水平宽度\(l\)的比叫做坡度（或坡比），通常用字母\(i\)表示，即\(i=\frac{h}{l}\)。
图形标注：在坡角示意图中，标注铅直高度\(h\)和水平宽度\(l\)，明确坡度的计算方式。
坡角与坡度的关系：由正切函数定义可知，\(i=\frac{h}{l}=\tan\alpha\)，即坡度等于坡角的正切值。
注意事项：坡度通常写成\(1:m\)的形式（如\(1:2.5\)），表示铅直高度为 1 单位时，水平宽度为\(m\)单位；坡角越大，坡度越大，坡面越陡峭。
第 6 页：例题讲解 1—— 坡角问题（求坡度）
例 1：如图，一段山坡的坡面长度为\(20\)米，坡顶的铅直高度为\(10\)米，求这段山坡的坡角\(\alpha\)和坡度\(i\)。
步骤解析：
画图分析：构造\(Rt\triangle ABC\)，其中\(\angle C=90^{\circ}\)，\(AB=20\)米（坡面长度），\(BC=10\)米（铅直高度），\(\angle A=\alpha\)（坡角），\(AC\)为水平宽度。
求水平宽度\(AC\)：由勾股定理\(AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\)米。
求坡角\(\alpha\)：\(\sin\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)，所以\(\alpha=30^{\circ}\)。
求坡度\(i\)：\(i=\tan\alpha=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}=1:\sqrt{3}\)。
结论：这段山坡的坡角为\(30^{\circ}\)，坡度为\(1:\sqrt{3}\)。
第 7 页：例题讲解 2—— 坡角问题（求坡面长度）
例 2：如图，某水库大坝的坡度\(i=1:2\)，坝顶的铅直高度\(h=20\)米，求大坝的坡面长度\(L\)（结果保留根号）。
步骤解析：
画图分析：设大坝的水平宽度为\(l\)，由坡度\(i=\frac{h}{l}=\frac{1}{2}\)，已知\(h=20\)米，可得\(\frac{20}{l}=\frac{1}{2}\)，解得\(l=40\)米。
构造\(Rt\triangle ABC\)，\(\angle C=90^{\circ}\)，\(BC=20\)米，\(AC=40\)米，\(AB\)为坡面长度\(L\)。
求坡面长度：由勾股定理\(L=\sqrt{h^2+l^2}=\sqrt{20^2+40^2}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}\)米。
结论：大坝的坡面长度为\(20\sqrt{5}\)米。
第 8 页：例题讲解 3—— 坡角问题（综合应用）
例 3：如图，一段高速公路的路基横断面为梯形\(ABCD\)，\(CD\parallel AB\)，路基的顶宽\(CD=8\)米，底宽\(AB=20\)米，斜坡\(BC\)的坡度\(i=1:2.5\)，求斜坡\(BC\)的坡角\(\alpha\)和路基的高度\(h\)（精确到\(0.1\)米）。
步骤解析：
画图分析：过点\(C\)作\(CE\perp AB\)于点\(E\)，则\(CE=h\)（路基高度），\(BE=AB - AE=AB - CD=20 - 8=12\)米。
由坡度\(i=\frac{h}{BE}=\frac{1}{2.5}\)，即\(\frac{h}{12}=\frac{1}{2.5}\)，解得\(h=\frac{12}{2.5}=4.8\)米。
求坡角\(\alpha\)：\(\tan\alpha=i=\frac{1}{2.5}=0.4\)，用计算器求得\(\alpha\approx21.8^{\circ}\)。
结论：斜坡\(BC\)的坡角约为\(21.8^{\circ}\)，路基的高度为\(4.8\)米。
第 9 页：情境引入（一次函数中 k 的几何意义）
函数实例：
如图 1，一次函数\(y = 2x\)和\(y=\frac{1}{2}x\)的图象，观察两条直线的倾斜程度有何不同。
如图 2，一次函数\(y=-2x\)和\(y=-\frac{1}{2}x\)的图象，直线的倾斜方向和倾斜程度与正系数时有何区别。
提出问题：一次函数\(y = kx + b\)中，比例系数\(k\)的取值与直线的倾斜程度有什么关系？\(k\)的正负对直线的倾斜方向有何影响？引出对\(k\)的几何意义的探究。
第 10 页：一次函数中 k 的几何意义
定义分析：在一次函数\(y = kx + b\)中，比例系数\(k\)叫做直线的斜率，它反映了直线相对于\(x\)轴的倾斜程度。
几何意义：在直线\(y = kx + b\)上任意取两点\(P(x_1,y_1)\)、\(Q(x_2,y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)），则斜率\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，即\(k\)等于直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
与倾斜角的关系：设直线\(y = kx + b\)与\(x\)轴正方向的夹角为\(\theta\)（倾斜角，\(0^{\circ}\leq\theta<180^{\circ}\)），则当\(\theta\neq90^{\circ}\)时，\(k=\tan\theta\)。
当\(k>0\)时，\(\theta\)为锐角（\(0^{\circ}<\theta<90^{\circ}\)），直线从左到右上升。
当\(k<0\)时，\(\theta\)为钝角（\(90^{\circ}<\theta<180^{\circ}\)），直线从左到右下降。
当\(k=0\)时，\(\theta=0^{\circ}\)，直线与\(x\)轴平行或重合。
第 11 页：k 的绝对值与倾斜程度的关系
关系总结：\(|k|\)的大小决定了直线的倾斜程度，\(|k|\)越大，直线的倾斜角越接近\(90^{\circ}\)，直线越陡峭；\(|k|\)越小，直线的倾斜角越接近\(0^{\circ}\)，直线越平缓。
实例对比：
直线\(y = 3x\)（\(k=3\)）比\(y = x\)（\(k=1\)）更陡峭，因为\(|3|>|1|\)，\(\tan\theta_1=3>\tan\theta_2=1\)，\(\theta_1>\theta_2\)。
直线\(y=-3x\)（\(k=-3\)）比\(y=-x\)（\(k=-1\)）更陡峭，因为\(|-3|>|-1|\)，倾斜角的正切值绝对值更大。
图形展示：在同一坐标系中画出\(y = 2x\)、\(y=\frac{1}{2}x\)、\(y=-2x\)、\(y=-\frac{1}{2}x\)的图象，直观展示\(k\)的绝对值对倾斜程度的影响。
第 12 页：例题讲解 4—— 一次函数中 k 的几何意义应用
例 4：已知一次函数的图象经过点\(A(1,3)\)和\(B(3,7)\)，求该函数的表达式，并求出直线\(AB\)与\(x\)轴正方向夹角\(\theta\)的正切值。
步骤解析：
设一次函数表达式为\(y = kx + b\)，将\(A(1,3)\)、\(B(3,7)\)代入得：
\(\begin{cases}k + b=3\\3k + b=7\end{cases}\)
解方程组：两式相减得\(2k=4\)，\(k=2\)，代入得\(b=1\)，所以函数表达式为\(y = 2x + 1\)。
求夹角正切值：由\(k\)的几何意义可知，\(\tan\theta=k=2\)。
结论：该一次函数表达式为\(y = 2x + 1\)，直线与\(x\)轴正方向夹角的正切值为\(2\)。
第 13 页：例题讲解 5—— 结合坡角与 k 的几何意义
例 5：如图，一段山坡的坡角为\(30^{\circ}\)，若将这段山坡的坡面看作直线，求该直线对应的一次函数表达式（以坡底为原点，水平方向为\(x\)轴）。
步骤解析：
由坡角为\(30^{\circ}\)，可知坡度\(i=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，即直线的斜率\(k=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
因为直线过原点\((0,0)\)，所以一次函数表达式为\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\)。
结论：该直线对应的一次函数表达式为\(y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\)。
第 14 页：方法总结
解决坡角问题的关键：
明确坡角、坡度的定义及关系\(i=\tan\alpha\)。
构造直角三角形，将坡面长度、铅直高度、水平宽度转化为直角三角形的边。
利用三角函数或勾股定理求解未知量，注意坡度的表示形式和单位统一。
理解一次函数中 k 的几何意义的要点：
\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，反映直线的倾斜程度，\(k=\tan\theta\)（\(\theta\)为倾斜角）。
\(k\)的正负决定直线的上升或下降方向，\(|k|\)大小决定倾斜的陡峭程度。
已知直线上两点坐标可求\(k\)，反之已知\(k\)和一点可求函数表达式。
第 15 页：课堂练习 1
练习 1：一段斜坡的坡度为\(1:3\)，求该斜坡的坡角\(\alpha\)（精确到\(0.1^{\circ}\)）。
练习 2：一次函数的图象经过点\((0,0)\)和\((2,6)\)，求该函数的表达式，并说明直线的倾斜程度（用倾斜角的正切值表示）。
第 16 页：课堂练习 2
练习 3：某山路的坡面长度为\(50\)米，坡角为\(60^{\circ}\)，求该山路的铅直高度和水平宽度（结果保留根号）。
练习 4：已知直线\(y = kx + 1\)经过点\((2,5)\)，求\(k\)的值，并求出该直线与\(x\)轴正方向夹角的度数（精确到\(0.1^{\circ}\)）。
第 17 页：易错点提醒
混淆坡度和坡角的概念，将坡度直接当作坡角的度数。
计算坡度时颠倒铅直高度和水平宽度的比值，导致结果错误。
对一次函数中\(k\)的几何意义理解不清，忽略\(k\)的正负对直线倾斜方向的影响。
认为\(k\)的大小与直线倾斜角的大小成正比例关系，实际上\(k=\tan\theta\)，两者是非线性关系。
在结合坡角与一次函数时，未能正确将坡角的正切值与直线斜率\(k\)对应起来。
第 18 页：课堂小结
本节课学习了坡角和坡度的概念：坡角是坡面与水平面的夹角\(\alpha\)，坡度\(i=\frac{h}{l}=\tan\alpha\)，坡度越大，坡面越陡峭。
掌握了解决坡角问题的方法：构造直角三角形，利用三角函数或勾股定理求解铅直高度、水平宽度或坡面长度。
理解了一次函数中\(k\)的几何意义：\(k\)是直线的斜率，\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\tan\theta\)（\(\theta\)为倾斜角），\(k\)的正负决定直线方向，\(|k|\)决定倾斜程度。
体会到数学知识在工程和函数图象分析中的应用，加强了数形结合思想的运用。
第 19 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 23.2 第 10、11 题；练习册中一次函数斜率相关习题。
提高作业：如图，某水库大坝的横断面为梯形，上底长\(6\)米，下底长\(18\)米，斜坡\(AD\)的坡度为\(1:2\)，斜坡\(BC\)的坡角为\(45^{\circ}\)，求大坝的高度和斜坡\(AD\)的长度。
拓展作业：探究一次函数\(y = kx + b\)中，\(b\)的取值对直线位置的影响，结合\(k\)的几何意义，分析两条直线平行或垂直时\(k\)的关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.2.4坡角问题及一次函数中k的几何意义
第23章　解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
2.了解直线的向上方向与x轴正方向夹角的正切值与直线一次项系数k之间的关系.
知识回顾
如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
i=h∶l
h
l
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
什么叫做坡度？
坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有
α
坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
如图所示，在△ABC中.
(1)若 h = 2 cm，l = 5 cm，则斜坡AB的坡度 i = ；
(2)若斜坡AB的坡度 i = 1∶1.5，h = 2 m，则 l = ；
(3)若斜坡AB的坡度 i = 1∶2.5，l = 5 m，则 h = .
A
C
B
h
l
1∶2.5
3 m
2 m
知识回顾
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题；(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
如图所示，水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1∶2，坝高h=20m，则迎水坡的水平宽度= ，tan α= .
40 m
A
C
B
α
D
E
A
C
B
α
D
E
β
i=1∶1.6
5.8
i'=1∶2.5
9.8
合作探究
如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=
9.8 m，路基高BE=5.8 m，斜坡AB的坡度i=1：1.6，斜坡CD的坡度i'=1：2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值。
F
分析：题目中给出了两个坡度值，目前对应的只有一个直角三角形，需要再建立
一个直角三角形；
要计算AD，又有AD=AE+EF+FD，EF=BC=9.8 m，只要再分别求出AE和FD即可；
还要计算坡角α和β，其中坡度与坡角之间的关系是tan α=i=1：1.6，tan β=i'=1：2.5.
A
C
B
α
D
E
β
i=1∶1.6
5.8
i'=1∶2.5
9.8
F
解：过点C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE，EF=BC，∠A=α，∠D=β.
∵BE=5.8m， = ， = ，
∴AE=1.6×5.8=9.28(m)，DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由tan α=i==0.625，tan β=i'= =0.4，得
α=32°，tan β=22°(可以借助计算器计算).
答：铁路路基下底宽为33.6m，斜坡的坡角分别为32°和22°.
α
方法归纳
利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际
问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线
把梯形问题转化为直角三角形来解决.
解决与坡度、坡角有关的实际问题
建设美化新园林区
(第1题)
1.在园林中先修建了如图所示的等腰梯
形池塘,池塘的坡角为 ，若池塘的斜
面的长度为,则池塘边缘点 到
池塘底部的垂直距离为( )
D
A. B. C. D.
(拓展设问)
拓展设问 如图，若池塘斜坡和 的
坡度为 ，现测得放水前池塘的水
面宽为 ，当放水后，池塘内水
面宽为 ，则放水后水面上升的
高度是( )
D
A. B. C. D.
2.为美化沿途风景,计划在山坡上种树，要求相邻两树之间的
水平距离是.已知斜坡的坡度为 ,则斜坡上相邻两树间
的坡面距离为____ .(结果保留根号)
3.在园区的中央修建赏花亭,四
周修建阶梯便于游客观赏,如
图是赏花亭四周新修阶梯的部
15
分示意图,其中,段阶梯的坡度为 ,若每级台
阶的高度不超过，则 段阶梯的台阶数至少为____级.
(结果保留整数,参考数据: )
改造保护绿色文脉
4.在园林的建设过程中,计划对一坡角为
的斜坡进行改造,使其更加平坦,增加
斜坡土地的利用率,要求改造后斜坡的坡
角下降 ,但斜坡的高度不变.
如图，已知点,，在同一水平面上, ,
斜坡的长度为, 则改造后斜坡底端点 到原
斜坡底端点之间的距离为_____ .
(结果精确到 .参考数据:
, ,
, )
5.如图,在斜坡改造中，小明发现斜坡 上有
一棵杨树 ，想要测得这棵杨树的高度，已
知测得杨树根部到坡脚的距离为 ,
斜坡的坡比为,小明在离坡脚 远的
处测得杨树顶点处的仰角为
,，,,在同一平面内,且 ,
求杨 树的高度.(结果精确到 .
参考数据:
, ,
， ,
, )
解：延长交的延长线于点 ，则
.
斜坡的坡比为 ,
，
可设,则 ，
在 中,由勾股定理可得,
，即 ,
解得(负值已舍去), ,
,
.
在中, ,
即 ，
解得 .
答：杨树的高度约为 .
解直角三角形及其应用
坡度(坡比)、坡角、坡面：
解决与坡度、坡角有关的实际问题：
利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.
坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即
(坡度通常写成h∶l的形式) ．
注意：坡度(i=tan α)越大，坡角α越大，坡面就越陡．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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