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以下是华东师大版九年级数学 21.1 二次根式教学课件的常见幻灯片分页内容：
封面：标题为 “21.1 二次根式”，注明学科、版本、年级等信息。
知识回顾：
平方根：一般地，如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根或二次方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个正数叫做\(a\)的算术平方根。
举例：16 的平方根是\(\pm4\)，算术平方根是\(4\)；0 的平方根是\(0\)，算术平方根是\(0\)；\(-2\)没有平方根和算术平方根。
二次根式的概念 - 问题引入：
若正方形面积为\(9m^{2}\)，边长是\(3m\)；若面积为\(30m^{2}\)，边长是\(\sqrt{30}m\)；若面积为\(S m^{2}\)，边长是\(\sqrt{S}m\)。
若圆的面积为\(S m^{2}\)，圆的半径是\(\sqrt{\frac{S}{\pi}}m\)。
长方形围栏长是宽的 2 倍，面积为\(130m^{2}\)，宽为\(\sqrt{65}m\)。
二次根式的概念：
一般地，形如\(\sqrt{a}(a\geq0)\)的式子叫做二次根式，其中 “\(\sqrt{}\)” 称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
特征：外貌特征为带二次根号 “\(\sqrt{}\)”；内在特征为被开方数是非负数\((a\geq0)\)。
二次根式的概念练习：判断下列各式是否为二次根式：\(\sqrt{4}\)、\(\sqrt{-2}\)、\(\sqrt[3]{8}\)、\(-\sqrt{9}\)、\(\sqrt{a}(a\leq0)\)、\(\sqrt{x^{2}+1}\)、\(\sqrt{\frac{1}{x}}(x\gt0)\)、\(\sqrt{0}\)。
二次根式有意义的条件 - 思考：对于二次根式\(\sqrt{x - 2}\)，当\(x = 6\)时，值为\(\sqrt{6 - 2}=2\)；当\(x\)取\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)时，二次根式无意义，当\(x\)取\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)时，二次根式有意义。
二次根式有意义的条件 - 结论：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于\(0\)。
二次根式有意义的条件 - 练习：求使\(\sqrt{x-3}\)有意义的\(x\)的取值范围；求使\(\sqrt{x^{2}+1}\)有意义的\(x\)的取值范围等。
二次根式的性质：介绍二次根式的相关性质，如\((\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)\)，\(\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert\)等。
二次根式的性质 - 例题：通过具体例题讲解如何运用二次根式的性质进行计算和化简，如计算\((\sqrt{5})^{2}\)，\(\sqrt{(-3)^{2}}\)等。
课堂练习：给出一些练习题，让学生巩固所学知识，如判断二次根式是否有意义、根据二次根式的性质进行计算和化简等。
课堂小结：总结本节课的重点内容，包括二次根式的概念、有意义的条件以及二次根式的性质。
布置作业：布置课后作业，如教材上的相关习题。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.1 二次根式
第21章　二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1) 9 的平方根是_____, 9 的算术平方根是_____,
(2) 7 的平方根是_____,7 的算术平方根是_____
(3) 0 算术平方根吗？负数有算术平方根吗？
(4) 什么叫做平方根？什么叫做算术平方根吗？
活动1 回忆算术平方根和平方根知识填空
归纳知识
1.如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.表示为
2.如果 x2 = a (x ≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根. 表示为：
3.负数没有算术平方根.
活动2 思考下列各式表示什么意义，其结果有什么特点？
特点： 非负数的算术平方根
归纳知识
二次根式的定义：
形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
2.二次根式实质上是非负数的算术平方根.
3. a 既可以是一个数，也可以是一个式子.
1.?????既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
?
注意：
解：(1)(4)(6) 是二次根式
(2)(3)(5)(7) 均不是二次根式.
1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？并总结一下方法.
归纳知识
二次根式的定义：
形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
1.?????≥0;(a?≥0)
?
二次根式的性质1
4
2
a
活动3 .根据二次根式的意义计算，请总结一下规律。
0
归纳知识
2.(?????)2= a (a?≥0)
?
二次根式的性质2
3
活动4 .计算下列各式，请总结一下规律。
归纳知识
二次根式的性质3
5
3
5
0
a
-a
(a ≥0)
(a＜0)
例1 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义?
解：由 x - 2≥0，得
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
2.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
解：(1)由题意得
∴ x＞1.
x - 1≥0 ①，
x - 1≠0 ②，
解不等式①得 x ≥1
解不等式②得 x ≠1
(2)由题意得
∴ x＞-3 且 x ≠1.
x +3 ≥0 ①，
x - 1≠0 ②，
解不等式①得 x ≥-3
解不等式②得 x ≠1
(3)由题意得
∴ x ≤ 1.
1- x ≥0 ①，
x - 3≠0 ②，
解不等式①得 x ≤ 1
解不等式②得 x ≠3
归纳知识
1. 分式+二次根式
分母≠0 并且 二次根式被开数≥0
A ≥0 且 B ≠0
A >0
代数式有意义，必需满足所含式子的每个式子有意义.
解：
例2 化简下列各式
例3 若 ，求 a - b + c 的值.
解：由题意可知
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0，
解得 a = 2，b= 3 ，c= 4.
归纳知识
0+0模型：几个非负数之和等于0，则每个非负数等于0.
3.已知|3x - y - 1|和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根．
解：由题意得
3x - y - 1 = 0
2x + y - 4 = 0．
解得 x = 1，y = 2．
∴ x + 4y = 1 + 2×4 = 9.
∴ x + 4y 的平方根为 ±3.
C
返回
A
返回
返回
【答案】B
D
返回
D
返回
【点拨】根据二次根式的被开方数大于或等于0和分式的分母不能为0，得x≥0且x－2≠0，解得x≥0且x≠2，故选D.
B
返回
带有二次根号
建立不等式求出其解集
被开方数为非负数
多个二次根式
二次根式+分式
分母≠0 并且 被开数≥0
性质
定义
有意义
算术平方根
分式
二次根式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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