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以下是华东师大版九年级数学 21.1 二次根式教学课件的常见幻灯片分页内容：
封面：标题为 “21.1 二次根式”，注明学科、版本、年级等信息。
知识回顾：
平方根：一般地，如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根或二次方根。
算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个正数叫做\(a\)的算术平方根。
举例：16 的平方根是\(\pm4\)，算术平方根是\(4\)；0 的平方根是\(0\)，算术平方根是\(0\)；\(-2\)没有平方根和算术平方根。
二次根式的概念 - 问题引入：
若正方形面积为\(9m^{2}\)，边长是\(3m\)；若面积为\(30m^{2}\)，边长是\(\sqrt{30}m\)；若面积为\(S m^{2}\)，边长是\(\sqrt{S}m\)。
若圆的面积为\(S m^{2}\)，圆的半径是\(\sqrt{\frac{S}{\pi}}m\)。
长方形围栏长是宽的 2 倍，面积为\(130m^{2}\)，宽为\(\sqrt{65}m\)。
二次根式的概念：
一般地，形如\(\sqrt{a}(a\geq0)\)的式子叫做二次根式，其中 “\(\sqrt{}\)” 称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
特征：外貌特征为带二次根号 “\(\sqrt{}\)”；内在特征为被开方数是非负数\((a\geq0)\)。
二次根式的概念练习：判断下列各式是否为二次根式：\(\sqrt{4}\)、\(\sqrt{-2}\)、\(\sqrt[3]{8}\)、\(-\sqrt{9}\)、\(\sqrt{a}(a\leq0)\)、\(\sqrt{x^{2}+1}\)、\(\sqrt{\frac{1}{x}}(x\gt0)\)、\(\sqrt{0}\)。
二次根式有意义的条件 - 思考：对于二次根式\(\sqrt{x - 2}\)，当\(x = 6\)时，值为\(\sqrt{6 - 2}=2\)；当\(x\)取\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)时，二次根式无意义，当\(x\)取\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)时，二次根式有意义。
二次根式有意义的条件 - 结论：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于\(0\)。
二次根式有意义的条件 - 练习：求使\(\sqrt{x-3}\)有意义的\(x\)的取值范围；求使\(\sqrt{x^{2}+1}\)有意义的\(x\)的取值范围等。
二次根式的性质：介绍二次根式的相关性质，如\((\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)\)，\(\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert\)等。
二次根式的性质 - 例题：通过具体例题讲解如何运用二次根式的性质进行计算和化简，如计算\((\sqrt{5})^{2}\)，\(\sqrt{(-3)^{2}}\)等。
课堂练习：给出一些练习题，让学生巩固所学知识，如判断二次根式是否有意义、根据二次根式的性质进行计算和化简等。
课堂小结：总结本节课的重点内容，包括二次根式的概念、有意义的条件以及二次根式的性质。
布置作业：布置课后作业，如教材上的相关习题。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法
与积的算术平方根
第21章　二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
∴ 2 ≤ x ≤ 3.
∴ x = 3.
∴ x 为任何实数.
活动1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?
6
20
20
30
30
6
(a≥0，b≥0)
猜想
归纳知识
二次根式乘法法则
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
1.计算：
解：
二次根式乘法法则
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
归纳知识
1.二次根式乘法法则
2.积的算术平方根的性质
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
解：
典例讲解
例1 计算.
例2 计算12，使被开方数不含完全平方的因数
?
解： 12
?
= 22×3
?
= 22×3
?
= 23
?
例3 计算
（1） 　 ； （2） ； （3） ．　　
解：（1）
（2）
（3）
D
返回
10
返回
返回
C
返回
返回
算术平方根
二次根式乘法
法则
性质
(计算)
(化简)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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