资源简介

以下是华东师大版九年级数学 21.2.3 “二次根式的除法” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：21.2.3 二次根式的除法
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时）、授课人姓名
2. 知识回顾（衔接旧知，铺垫新知）
回顾二次根式的核心概念：形如\(\sqrt{a}(a\geq0)\)的式子为二次根式，强调被开方数非负的前提。
回顾二次根式的乘法法则与积的算术平方根性质：
乘法法则：\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
积的算术平方根：\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
快速计算练习（检验乘法掌握度）：
\(\sqrt{3}\times\sqrt{6}\)（答案：\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)）
化简\(\sqrt{20}\)（答案：\(\sqrt{4\times5}=2\sqrt{5}\)）
3. 二次根式的除法 - 问题引入（从实际计算到规律猜想）
通过对比乘法法则的推导思路，引导学生发现除法规律：
计算下列各组式子的值，观察结果关系：
\(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}\)与\(\sqrt{\frac{16}{4}}\)
（计算：\(\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2\)；\(\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2\)，结果相等）
\(\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}}\)与\(\sqrt{\frac{25}{5}}\)
（计算：\(\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)；\(\sqrt{\frac{25}{5}}=\sqrt{5}\)，结果相等）
\(\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}\)与\(\sqrt{\frac{36}{9}}\)
（计算：\(\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2\)；\(\sqrt{\frac{36}{9}}=\sqrt{4}=2\)，结果相等）
思考：当\(a\geq0\)，\(b>0\)时，\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)与\(\sqrt{\frac{a}{b}}\)是否始终相等？（强调\(b>0\)，因分母不能为 0）
4. 二次根式的除法法则 - 核心结论
法则内容：一般地，对于非负实数\(a\)和正实数\(b\)，有\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）。
文字表述：两个二次根式相除，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被开方数：被除数非负，除数为正）。
注意事项：
法则成立的前提：被开方数\(a\geq0\)（保证分子二次根式有意义），\(b>0\)（保证分母二次根式有意义且分母不为 0）。
逆向应用：法则可变形为\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)），此形式可用于化简被开方数为分数的二次根式。
5. 二次根式的除法 - 例题讲解（分两类题型）
题型 1：直接运用法则计算（结果化为最简二次根式）
例题 1：计算下列各式
\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\)
解：根据除法法则，\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2\)
\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)
解：\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{48}{3}}=\sqrt{16}=4\)
\(\frac{\sqrt{0.5}}{\sqrt{0.25}}\)
解：先将小数化为分数，\(\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}\)，\(\sqrt{0.25}=\sqrt{\frac{1}{4}}\)，则\(\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\frac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}}=\sqrt{2}\)
题型 2：化简被开方数为分数的二次根式（逆向用法则）
例题 2：化简下列各式（结果化为最简二次根式，分母不含根号）
\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
解：利用\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)，得\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)；
分母有理化（关键步骤）：分子分母同乘\(\sqrt{3}\)，\(\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sqrt{\frac{5}{12}}\)
解：先化简被开方数，\(\frac{5}{12}=\frac{5\times3}{12\times3}=\frac{15}{36}\)（使分母成为完全平方数），则\(\sqrt{\frac{15}{36}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\)
\(\sqrt{\frac{2a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
解：\(\sqrt{\frac{2a}{b}}=\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2a}\times\sqrt{b}}{\sqrt{b}\times\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{2ab}}{b}\)
6. 分母有理化 - 补充知识点（突破难点）
定义：把分母中的根号化去，使分母变为有理数的过程，叫做分母有理化。
常用方法：分子分母同乘分母的有理化因式（与分母相乘后不含根号的式子）：
若分母为\(\sqrt{a}\)（\(a>0\)），则有理化因式为\(\sqrt{a}\)（如\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)，同乘\(\sqrt{5}\)得\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)）。
若分母为\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)，\(a\neq b\)），则有理化因式为\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)（后续进阶内容，本节课暂不展开）。
例题 3：将下列各式分母有理化
\(\frac{2}{\sqrt{6}}\)（答案：\(\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)）
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}\)（答案：\(\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{8}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{6}}{4}\)）
7. 课堂练习（分层设计，巩固法则与有理化）
基础题（直接计算与化简）
计算：\(\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}\)（答案：3）
化简：\(\sqrt{\frac{3}{25}}\)（答案：\(\frac{\sqrt{3}}{5}\)）
分母有理化：\(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}\)（答案：\(\frac{\sqrt{15}}{6}\)）
提升题（结合实际与取值范围）
若\(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-2}}\)有意义，求\(x\)的取值范围？（提示：需满足\(x+1\geq0\)且\(x-2>0\)，解得\(x>2\)）
一个长方形的面积为\(\sqrt{12}\)，长为\(\sqrt{6}\)，求它的宽（答案：\(\sqrt{2}\)）
8. 课堂小结（梳理核心，对比乘法强化记忆）
核心知识：
二次根式的除法法则：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
逆向应用（化简）：\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
关键技能：分母有理化（分子分母同乘有理化因式，使分母不含根号）
与乘法的对比：
运算
法则（正向）
前提条件
核心用途
乘法
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)
\(a\geq0\)，\(b\geq0\)
二次根式相乘
除法
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
\(a\geq0\)，\(b>0\)
二次根式相除、化简分数型根式
9. 布置作业（分层巩固，衔接后续）
基础作业：教材对应习题（计算类 3 道，化简类 4 道，分母有理化类 3 道）；
提升作业：已知\(\sqrt{\frac{x-1}{3-x}}=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{3-x}}\)，求\(x\)的整数解（答案：1，2）；
预习作业：阅读下一节内容，思考 “最简二次根式” 需满足哪些条件？
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.2.3 二次根式的除法
第21章　二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
算术平方根
二次根式乘法
法则
性质
(计算)
(化简)
1 计算
（1） 　 ； （2） ； （3） ．　　
解：（1）
（2）
（3）
活动1 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律?
猜想
（a≥0，b＞0）
返回
B
返回
0＜a≤1
返回
A
返回
D
返回
D
返回
B
返回
返回
归纳知识
二次根式除法法则
两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根.
（a≥0，b＞0）
二次根式除法法则
（a≥0，b＞0）
（a≥0，b＞0）
归纳知识
1.二次根式除法法则
2.商的算术平方根的性质
（a≥0，b＞0）
（a≥0，b＞0）
解：
典例讲解
例1 计算.
例2 化简?12， ,使分母中不含二次根式,并且被开方数中不含分母.
?
解： 12
?
= 12
?
= 1×22×2
?
= 222
?
= 222
?
= 22
?
活动2 观察以上各题中，化简后的二次根式有什么特点?
22
?
有如下两个特点：　　
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于2．
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
归纳知识
3.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
简记：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
1.判断下列式子是不是最简二次根式：
答：最简二次根式有：
2.下列各式属于最简二次根式的是（ ）
C
例3 把下列二次根式化成最简二次根式
解：
算术平方根
二次根式乘除
乘法
除法
最简二次根式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑