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(共22张PPT)
以下是华东师大版九年级数学 22.1 “一元二次方程” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.1 一元二次方程
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时）、授课人姓名
2. 情境引入（从实际问题出发，激发兴趣）
通过生活中的 3 个典型实例，引导学生列出含未知数的等式，感受一元二次方程的实际意义：
实例 1：面积问题
一个正方形花园的边长为\(x\)米，现将边长增加 2 米后，新正方形的面积为 36 平方米，求原正方形的边长。
分析：新正方形边长为\((x + 2)\)米，根据面积公式列等式：\((x + 2)^2 = 36\)，展开得\(x^2 + 4x + 4 = 36\)，整理为\(x^2 + 4x - 32 = 0\)。
实例 2：增长率问题
某工厂 2023 年的产值为 100 万元，2025 年的产值计划达到 144 万元，设这两年产值的年平均增长率为\(x\)，求\(x\)的值。
分析：2024 年的产值为\(100(1 + x)\)万元，2025 年的产值为\(100(1 + x)^2\)万元，列等式：\(100(1 + x)^2 = 144\)，整理为\((1 + x)^2 = 1.44\)，进一步展开得\(x^2 + 2x - 0.44 = 0\)（或整数系数形式：\(25x^2 + 50x - 11 = 0\)）。
实例 3：运动问题
一个小球从离地面 10 米高处自由下落，下落的距离\(h\)（米）与下落时间\(t\)（秒）满足关系\(h = 4.9t^2\)，当小球距离地面 2 米时，求下落时间\(t\)。
分析：此时小球下落的距离为\(10 - 2 = 8\)米，列等式：\(4.9t^2 = 8\)，整理为\(49t^2 - 80 = 0\)。
思考：这些等式有什么共同特征？它们与之前学过的一元一次方程有何区别？
3. 一元二次方程的概念（从实例抽象，明确定义）
定义推导：观察上述实例列出的等式：\(x^2 + 4x - 32 = 0\)、\(x^2 + 2x - 0.44 = 0\)、\(49t^2 - 80 = 0\)，总结共同特征：
只含有一个未知数（如\(x\)、\(t\)）；
未知数的最高次数是 2；
等式两边都是整式（分母不含未知数，根号下不含未知数）。
核心定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。
（关键词：一个未知数、最高次数 2、整式方程，三者缺一不可）
概念辨析练习：判断下列方程是否为一元二次方程，若不是请说明理由：
\(x^2 + 3x = 0\)（答案：是，满足三个特征）；
\(2x + 5 = 0\)（答案：否，未知数最高次数是 1，是一元一次方程）；
\(\frac{1}{x^2} + x = 3\)（答案：否，分母含未知数，不是整式方程）；
\(x^2 + \sqrt{x} = 2\)（答案：否，根号下含未知数，不是整式方程）；
\(x^2 + 2y = 5\)（答案：否，含有两个未知数\(x\)和\(y\)）。
4. 一元二次方程的一般形式（规范表达，明确要素）
一般形式推导：将一元二次方程整理为统一形式，方便后续研究。
任意一元二次方程都可以化为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，且\(a \neq 0\)）的形式，这就是一元二次方程的一般形式。
各部分名称：
\(ax^2\)：二次项，其中\(a\)叫做二次项系数（\(a \neq 0\)，若\(a = 0\)，方程变为\(bx + c = 0\)，不再是一元二次方程）；
\(bx\)：一次项，其中\(b\)叫做一次项系数（\(b\)可以为 0，此时方程为\(ax^2 + c = 0\)，是特殊的一元二次方程）；
\(c\)：常数项（\(c\)可以为 0，此时方程为\(ax^2 + bx = 0\)，也是特殊的一元二次方程）。
例题 1：将方程化为一般形式，并确定系数
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项：
\((x + 3)(x - 3) = 1\)
解：展开左边：\(x^2 - 9 = 1\)，移项得一般形式：\(x^2 - 10 = 0\)；
二次项系数\(a = 1\)，一次项系数\(b = 0\)，常数项\(c = -10\)。
\(2x(x - 1) = 3x - 4\)
解：展开左边：\(2x^2 - 2x = 3x - 4\)，移项、合并同类项得一般形式：\(2x^2 - 5x + 4 = 0\)；
二次项系数\(a = 2\)，一次项系数\(b = -5\)，常数项\(c = 4\)。
\(3x^2 = 5x\)
解：移项得一般形式：\(3x^2 - 5x = 0\)；
二次项系数\(a = 3\)，一次项系数\(b = -5\)，常数项\(c = 0\)。
注意事项：
一般形式中，二次项写在左边第一项，一次项次之，常数项在最后，右边为 0；
确定系数时，要包含前面的符号（如一次项为\(-5x\)，则一次项系数为\(-5\)）；
若系数为分数或小数，可根据需要化为整数系数（如\(0.5x^2 - 2x = 0\)，可化为\(x^2 - 4x = 0\)，系数同时扩大 2 倍，方程解不变）。
5. 一元二次方程的解（根）的概念（理解解的含义，学会检验）
定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（一个一元二次方程可能有两个相等的实数根、两个不相等的实数根，也可能没有实数根，后续将学习判别方法）。
例题 2：检验一个数是否为方程的根
判断下列各数是否为相应一元二次方程的根：
方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，检验\(x = 2\)和\(x = 3\)是否为根；
解：当\(x = 2\)时，左边\(= 2^2 - 5\times2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)，右边\(= 0\)，左边 = 右边，故\(x = 2\)是根；
当\(x = 3\)时，左边\(= 3^2 - 5\times3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\)，右边\(= 0\)，左边 = 右边，故\(x = 3\)是根。
方程\(2x^2 - 3x - 2 = 0\)，检验\(x = -\frac{1}{2}\)和\(x = 2\)是否为根；
解：当\(x = -\frac{1}{2}\)时，左边\(= 2\times(-\frac{1}{2})^2 - 3\times(-\frac{1}{2}) - 2 = 2\times\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0\)，右边\(= 0\)，故\(x = -\frac{1}{2}\)是根；
当\(x = 2\)时，左边\(= 2\times2^2 - 3\times2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0\)，右边\(= 0\)，故\(x = 2\)是根。
例题 3：根据根求系数的值
已知\(x = 1\)是方程\(x^2 + mx - 3 = 0\)的一个根，求\(m\)的值及方程的另一个根；
解：将\(x = 1\)代入方程：\(1^2 + m\times1 - 3 = 0\)，即\(1 + m - 3 = 0\)，解得\(m = 2\)；
此时方程为\(x^2 + 2x - 3 = 0\)，因式分解（后续学习）得\((x + 3)(x - 1) = 0\)，故另一个根为\(x = -3\)。
6. 课堂练习（分层设计，巩固概念与方法）
基础题（概念辨析与一般形式）
下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. \(x - 1 = 0\) B. \(x^2 + 3x = 2\) C. \(x^2 + y = 5\) D. \(\frac{1}{x^2} = 2\)（答案：B）
将方程\((2x - 1)^2 = 4\)化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
（答案：展开得\(4x^2 - 4x + 1 = 4\)，一般形式\(4x^2 - 4x - 3 = 0\)，系数分别为 4、-4、-3）
提升题（根的检验与系数求解）
检验\(x = -2\)是否为方程\(x^2 + 5x + 6 = 0\)的根（答案：是，左边\(= 4 - 10 + 6 = 0\)）；
已知\(x = 2\)是方程\(ax^2 + bx - 8 = 0\)的一个根，且\(a + b = 1\)，求\(a\)和\(b\)的值（答案：代入得\(4a + 2b - 8 = 0\)，结合\(a + b = 1\)，解得\(a = 3\)，\(b = -2\)）；
一个长方形的长比宽多 2 米，面积为 24 平方米，设宽为\(x\)米，列一元二次方程并化为一般形式（答案：\(x(x + 2) = 24\)，一般形式\(x^2 + 2x - 24 = 0\)）。
7. 课堂小结（梳理核心，构建知识体系）
核心概念：
一元二次方程：一个未知数、最高次数 2、整式方程；
一般形式：\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），包含二次项（\(ax^2\)）、一次项（\(bx\)）、常数项（\(c\)）；
方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，可通过代入检验。
关键方法：
将方程化为一般形式的步骤：展开、移项、合并同类项，确保右边为 0；
检验根的方法：将未知数的值代入方程，判断左右两边是否相等；
根据根求系数：将根代入方程，建立关于系数的方程，求解系数。
与一元一次方程的对比：
方程类型
未知数个数
未知数最高次数
一般形式
解的个数（实数）
一元一次方程
1
1
\(ax + b = 0\)（\(a \neq 0\)）
1 个
一元二次方程
1
2
\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）
0 个、1 个（两个相等）或 2 个
8. 布置作业（分层巩固，衔接后续学习）
基础作业：教材对应习题（概念辨析题 3 道，化为一般形式题 4 道，检验根题 3 道）；
提升作业：
已知方程\(x^2 - (k + 1)x + k = 0\)的一个根为\(x = 2\)，求\(k\)的值及方程的另一个根；
一个直角三角形的两条直角边相差 3cm，面积为 9cm ，设较短的直角边为\(x\)cm，列一元二次方程并化为一般形式；
预习作业：阅读下一节内容，思考 “如何求解一元二次方程”（如直接开平方法、因式分解法）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.1 一元二次方程
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
问题1学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
设这两年的年平均增长率为x,
去年年底的图书数是5万册,
今年年底的图书数应是5(1+x)万册.
明年年底的图书数为5(1+x)(1+x)万册,即5(1+x)2(万册).
可列得方程
5(1+x)2=7.2
整理可得
5x2+10x-2.2=0
观察 这两个方程是一元一次方程吗？有什么共同的特点？
x2+10x-900=0
5x2+10x-2.2=0
知识要点1
一元二次方程的定义：
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0)
1.下列方程中哪些是一元二次方程？一元二次方程有什么特征？
(a,b,c是常数)
例1 将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。
解：去括号，得
3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得
3x2-7x+1=0
二次项系数3、一次项系数-7、常数项1。
2.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：
(1)4x(x+2)=25 (2)(3x-2)(x+1)=8x-3
解：(1)把4x(x+2)=25 化为一般形式4x2+8x-25=0 ，
二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．
(2)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0 ，
二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．
例2 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0.
例3 已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，
求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
A
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【点拨】若一个方程是一元二次方程，首先应是整式方程，其次是只含有一个未知数且化简后未知数的最高次数是2.
【解】由题意，得当m＝0时，原方程为2x＋1＝0，是一元一次方程；当m＋2＝0，即m＝－2时，原方程为 2x－1＝0，是一元一次方程；当m＝1时，原方程为 5x－1＝0，是一元一次方程；当m＝－1时，原方程为3x－1＝0，是一元一次方程．综上，当m＝－2，－1，0，1时，原方程是一元一次方程．
2.已知关于x的方程(m＋2)x|m|＋2x－1＝0.
(1)当m为何值时，原方程是一元一次方程？
【解】由题意，得|m|＝2，且m＋2≠0，解得m＝2.
故当m＝2时，原方程是一元二次方程．
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(2)当m为何值时，原方程是一元二次方程？
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3.把一元二次方程(1－x)·(2－x)＝3－x2化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中a，b，c分别为(　　)
A．2，3，－1 B．2，－3，－1
C．2，－3，1 D．2，3，1
B
【点拨】把方程(1－x)(2－x)＝3－x2化成一般形式为2x2－3x－1＝0，所以a＝2，b＝－3，c＝－1.
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4.关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为(　　)
A．0 B．±3 C．3 D．－3
D
【点拨】若方程化为一般形式后不含一次项，则方程化为一般形式后一次项系数为0，本题易忽略m－3≠0而出错．
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5.[2022·天津]方程x2＋4x＋3＝0的两个根为(　　)
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－3
D
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6.[2023·镇江]若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一个根，则m＝________.
5
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7.若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 023－6a＋2b的值为________.
2 019
【点拨】把x＝3代入方程得9a－3b＝6，即3a－b＝2，则原式＝2 023－2(3a－b)＝2 023－4＝2 019.
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8.我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是(　　)
A．2x＋2(x＋12)＝864 B．x2＋(x＋12)2＝864
C．x(x－12) ＝864 D．x(x＋12) ＝864
D
使方程左右两边相等的未知数的值
三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次
定义
解(根)
一元二次方程
一般式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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