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以下是华东师大版九年级数学 22.2.1“一元二次方程的解法 —— 因式分解法” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.2.1 一元二次方程的解法（因式分解法）
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦因式分解法）、授课人姓名
2. 知识回顾（衔接旧知，铺垫思路）
回顾 1：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），如\(x^2 - 5x + 6 = 0\)、\(3x^2 - 6x = 0\)。
回顾 2：因式分解的核心方法
复习整式因式分解的常用方法，为解方程做准备：
提取公因式法：如\(ax + bx = x(a + b)\)（例：\(3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)）；
平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)（例：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)）；
完全平方公式：\(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)（例：\(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\)）；
十字相乘法：如\(x^2 + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n)\)（例：\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)）。
回顾 3：“若\(ab = 0\)，则\(a = 0\)或\(b = 0\)” 的数学原理
关键结论：若两个数的乘积为 0，那么这两个数中至少有一个为 0（反之，若\(a = 0\)或\(b = 0\)，则\(ab = 0\)）。
示例：若\((x - 2)(x - 3) = 0\)，则\(x - 2 = 0\)或\(x - 3 = 0\)，即\(x = 2\)或\(x = 3\)。
3. 因式分解法引入（从实例到方法，理解核心思路）
通过具体方程，引导学生发现因式分解法的本质：将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。
问题 1：求解方程\(x^2 - 4 = 0\)
分析：
步骤 1：用平方差公式因式分解左边，得\((x + 2)(x - 2) = 0\)；
步骤 2：根据 “\(ab = 0\)则\(a = 0\)或\(b = 0\)”，得\(x + 2 = 0\)或\(x - 2 = 0\)；
步骤 3：解两个一元一次方程，得\(x_1 = -2\)，\(x_2 = 2\)（“\(x_1\)、\(x_2\)” 表示方程的两个根）。
问题 2：求解方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
分析：
步骤 1：用十字相乘法因式分解左边，得\((x - 2)(x - 3) = 0\)；
步骤 2：由 “\(ab = 0\)则\(a = 0\)或\(b = 0\)”，得\(x - 2 = 0\)或\(x - 3 = 0\)；
步骤 3：解得\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。
归纳因式分解法的核心思路：
将一元二次方程通过因式分解，转化为 “两个一次因式的乘积等于 0” 的形式，再根据 “乘积为 0 的性质”，将其拆分为两个一元一次方程，分别求解得到原方程的根。
4. 因式分解法的解题步骤（规范流程，明确操作）
结合实例，总结因式分解法解一元二次方程的 4 个核心步骤：
移项：将方程右边化为 0，使方程变为 “左边整式 = 0” 的形式（若右边已为 0，可省略此步）；
例：解方程\(3x^2 = 6x\)，先移项得\(3x^2 - 6x = 0\)。
因式分解：将方程左边的整式分解为两个一次因式的乘积（根据因式分解方法选择合适的公式或技巧）；
例：对\(3x^2 - 6x = 0\)，提取公因式得\(3x(x - 2) = 0\)。
拆方程：根据 “若\(ab = 0\)，则\(a = 0\)或\(b = 0\)”，将因式分解后的方程拆分为两个一元一次方程；
例：由\(3x(x - 2) = 0\)，得\(3x = 0\)或\(x - 2 = 0\)（注意：系数不为 0 的因式，如 “3”，无需单独拆为方程，因\(3 \neq 0\)）。
求解：分别解两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。
例：解\(3x = 0\)得\(x_1 = 0\)，解\(x - 2 = 0\)得\(x_2 = 2\)。
注意事项：
① 移项时要注意符号变化（如\(3x^2 = 6x\)移项为\(3x^2 - 6x = 0\)，而非\(3x^2 + 6x = 0\)）；
② 因式分解必须彻底，确保左边是 “两个一次因式的乘积”（不能出现二次因式，如\(x(x^2 - 4) = 0\)需进一步分解为\(x(x + 2)(x - 2) = 0\)，但一元二次方程最多分解为两个一次因式）；
③ 若因式分解后出现 “\((ax + b)^2 = 0\)” 的形式（完全平方），则方程有两个相等的实数根，如\((x - 3)^2 = 0\)，解得\(x_1 = x_2 = 3\)。
5. 因式分解法例题讲解（分类型突破，覆盖常见题型）
题型 1：提取公因式法求解（含常数项为 0 的方程）
例题 1：解方程\(2x^2 - 8x = 0\)
解：
① 移项（右边已为 0，省略）：\(2x^2 - 8x = 0\)；
② 提取公因式：\(2x(x - 4) = 0\)；
③ 拆方程：\(2x = 0\)或\(x - 4 = 0\)；
④ 求解：\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 4\)。
题型 2：平方差公式因式分解（含平方项与常数项的方程）
例题 2：解方程\(9x^2 - 16 = 0\)
解：
① 移项（右边已为 0，省略）：\(9x^2 - 16 = 0\)；
② 用平方差公式分解：\((3x + 4)(3x - 4) = 0\)（因\(9x^2 = (3x)^2\)，\(16 = 4^2\)）；
③ 拆方程：\(3x + 4 = 0\)或\(3x - 4 = 0\)；
④ 求解：\(3x = -4\)得\(x_1 = -\frac{4}{3}\)，\(3x = 4\)得\(x_2 = \frac{4}{3}\)。
题型 3：十字相乘法因式分解（含一次项、二次项、常数项的方程）
例题 3：解方程\(x^2 + 3x - 10 = 0\)
解：
① 移项（右边已为 0，省略）：\(x^2 + 3x - 10 = 0\)；
② 十字相乘法分解：寻找两个数，使其和为 3、积为 - 10（即 5 和 - 2），得\((x + 5)(x - 2) = 0\)；
③ 拆方程：\(x + 5 = 0\)或\(x - 2 = 0\)；
④ 求解：\(x_1 = -5\)，\(x_2 = 2\)。
题型 4：完全平方公式因式分解（有两个相等实数根的方程）
例题 4：解方程\(4x^2 - 12x + 9 = 0\)
解：
① 移项（右边已为 0，省略）：\(4x^2 - 12x + 9 = 0\)；
② 用完全平方公式分解：\((2x - 3)^2 = 0\)（因\(4x^2 = (2x)^2\)，\(9 = 3^2\)，\(-12x = -2\times2x\times3\)）；
③ 拆方程：\(2x - 3 = 0\)（因两个因式相同，只需拆一次）；
④ 求解：\(2x = 3\)，得\(x_1 = x_2 = \frac{3}{2}\)（两个相等的实数根）。
6. 课堂练习（分层设计，巩固方法与易错点）
基础题（直接应用因式分解法）
解方程\(x^2 - 3x = 0\)（答案：\(x(x - 3) = 0\)，\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 3\)）；
解方程\(x^2 - 25 = 0\)（答案：\((x + 5)(x - 5) = 0\)，\(x_1 = -5\)，\(x_2 = 5\)）；
解方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)（答案：\((x - 1)(x - 3) = 0\)，\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 3\)）。
提升题（需先整理再因式分解，或结合实际问题）
解方程\((x - 2)(x + 1) = 6\)（提示：先展开移项为\(x^2 - x - 8 = 0\)？不，展开得\(x^2 - x - 2 = 6\)，移项为\(x^2 - x - 8 = 0\)？此处修正：正确展开移项为\(x^2 - x - 2 - 6 = 0\)，即\(x^2 - x - 8 = 0\)？不，实际应为\((x - 2)(x + 1) = 6\)展开为\(x^2 - x - 2 = 6\)，移项得\(x^2 - x - 8 = 0\)，但此方程无法用因式分解法，换题：解方程\((x + 3)(x - 1) = 4x\)，展开得\(x^2 + 2x - 3 = 4x\)，移项为\(x^2 - 2x - 3 = 0\)，分解为\((x - 3)(x + 1) = 0\)，答案\(x_1 = 3\)，\(x_2 = -1\)）；
一个长方形的长比宽多 3cm，面积为 10cm ，设宽为\(x\)cm，用因式分解法求长方形的长和宽（提示：列方程\(x(x + 3) = 10\)，整理为\(x^2 + 3x - 10 = 0\)，分解为\((x + 5)(x - 2) = 0\)，舍去负根\(x = -5\)，得宽\(2\)cm，长\(5\)cm）。
易错辨析题（纠正常见错误）
判断下列解法是否正确，若错误请改正：
解方程\(x^2 = 2x\)，解法：两边除以\(x\)得\(x = 2\)（答案：错误，忽略\(x = 0\)的情况，正确解法：移项得\(x^2 - 2x = 0\)，分解为\(x(x - 2) = 0\)，得\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 2\)）；
解方程\((x - 1)^2 = 0\)，解法：拆为\(x - 1 = 0\)或\(x - 1 = 0\)，得\(x = 1\)（答案：解法正确，但需注明 “两个相等的实数根\(x_1 = x_2 = 1\)”）。
7. 课堂小结（梳理核心，对比方法）
因式分解法核心要点：
解题步骤：移项（右为 0）→ 因式分解（左为两个一次因式积）→ 拆方程（化为两个一元一次方程）→ 求解；
关键依据：“若\(ab = 0\)，则\(a = 0\)或\(b = 0\)”；
适用场景：方程左边能顺利因式分解（如含公因式、可配方、可十字相乘的方程），且分解后计算简便。
与直接开平方法的对比（简要提及，衔接课时内容）：
解法
适用方程类型
核心步骤
优点
局限性
直接开平方法
形如\((x + m)^2 = n\)（\(n \geq 0\)）
直接开平方，转化为两个一元一次方程
步骤简洁，计算快
仅适用于 “平方等于常数” 的方程
因式分解法
左边可因式分解为两个一次因式积的方程
因式分解→拆方程→求解
适用范围较广，灵活
依赖因式分解能力，复杂方程难分解
8. 布置作业（分层巩固，衔接后续）
基础作业：教材对应习题（用因式分解法解方程 8 道，涵盖提取公因式、公式法、十字相乘法）；
提升作业：
已知方程\((x - a)(x - b) = 0\)的根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)，求\(a + b\)的值（答案：\(a\)、\(b\)为 2 和 3，故\(a + b = 5\)）；
一个直角三角形的两条直角边的长是方程\(x^2 - 7x + 12 = 0\)的两个根，求直角三角形的斜边长（提示：解方程得根 3 和 4，斜边为 5）；
预习作业：阅读下一节内容，思考 “当一元二次方程无法用因式分解法求解时，该用什么方法？”（为配方法做准备）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.1直接开平方法和因式
分解法--- 因式分解法
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
使方程左右两边相等的未知数的值
三特征：ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
三条件：(1)整式方程 (2)一元 (3)二次
定义
解(根)
一元二次方程
一般式
问题1 解下列方程：
(1) x2－3x＝0； (2) 25x2＝16
解：（1）将原方程的左边分解因式，
得 x(x - 3)＝0；
则 x = 0，或 x - 3 = 0，解得 x1 = 0，x2 = 3.
（2）将方程右边常数项移到左边，再根据平方差公式因式分解，
得 x1 = 0.8，x2 = -0.8.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
知识要点1
因式分解法
使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
典例讲解
例1 解下列方程
(1)3x2+2x=0; (2)x2=3x
解：(1)方程左边分解因式，得
x(3x+2)=0
所以 x=0 或 3x+2=0
(2) 移项，得
x2-3x=0
方程左边分解因式，得
x(x-3)=0
所以 x=0 或 x-3=0
得
得
知识要点2
因式分解法的步骤
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记：右化零，左分解；两因式，各求解.
解下列方程：
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
即 x1 = 1，x2 = 4．
(2) x2 6x + 9 = (5 2x)2．
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)，
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0.
则 (x + 1)(x 4) = 0.
∴ x + 1 = 0，或 x 4 = 0，
解：方程整理得
(x 3)2 (5 2x)2 = 0，则
[(x 3)+(5 2x)][(x 3) (5 2x)]=0，
∴ 2 x = 0，或 3x 8 = 0，
即 x1 = 2，x2 = .
即 (2 x)(3x 8) = 0.
例2 用因式分解法解下列方程：
(1) 4x2=12x; (2) (x -2)(2x -3)=6;
解 :(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0,
x(x-3)=0,得x1=0,x2=3;
(2)原方程可以变形为2x2-7x=0,
分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5;
返回
1.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是(　　)
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
A
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2.一元二次方程x2＋2x＝3x＋6的解为(　　)
A．x＝3 B．x＝－2
C．x1＝2，x2＝－3 D．x1＝－2，x2＝3
D
【点拨】原方程变为x(x＋2)＝3(x＋2)．整理，得(x＋2)(x－3)＝0，解得x1＝－2，x2＝3.故选D.
返回
3.[2024·重庆一中模拟]方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是(　　)
A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1)
B．化成一般形式为13x2＋5＝0
C．因式分解得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0
D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
C
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4.一元二次方程(2x＋3)(x－5)＝x2－25的解为(　　)
A．x＝2 B．x＝5
C．x1＝5，x2＝－2 D．x1＝5，x2＝2
D
【点拨】原方程变为(2x＋3)(x－5)－(x＋5)·(x－5)＝0，左边提公因式，得(x－5)·(2x＋3－x－5)＝0，即(x－5)(x－ 2)＝0，解得x1＝5，x2＝2.故选D.
5.在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a＋b2，则方程x※(x＋1)＝5的解是(　　)
A．x＝5 B．x＝1
C．x1＝1，x2＝－4 D．x1＝－1，x2＝4
B
【点拨】x※(x＋1)＝5，x＋(x＋1)2＝5，x2＋3x－4＝0，
(x－1)(x＋4)＝0，x－1＝0或x＋4＝0.∴x1＝1，x2＝－4.
∵在正数范围内定义运算“※”，∴x＝1.故选B.
返回
6.点P的横、纵坐标恰好是方程x2－2x－15＝0的两个根，则经过点P的正比例函数图象一定过(　　)
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一象限 D．第四象限
返回
【点拨】x2－2x－15＝0，(x－5)(x＋3)＝0，x－5＝0或x＋3＝0，x1＝5，x2＝－3.∵点P的横、纵坐标恰好是方程 x2－2x－15＝0的两个根，∴点P的坐标为(5，－3)或(－3，5)，故经过点P的正比例函数图象一定过第二、四象限．故选B.
【答案】B
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7.[2022·云南]方程2x2＋1＝3x的解为_____________.
8.[2024·重庆巴蜀中学期末]解方程：
(1)(3x－1)2＋3(3x－1)＝0；
返回
(2)4(2x－3)2－25(x＋1)2＝0.
因式分解法
定义
依据
步骤
将方程左边因式分解，使右边为 0
如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
右化零，左分解；两因式，各求解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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