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以下是华东师大版九年级数学 22.2.2“一元二次方程的解法 —— 配方法” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.2.2 一元二次方程的解法（配方法）
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦配方法）、授课人姓名
2. 知识回顾与问题引入（衔接旧知，引发思考）
回顾 1：完全平方公式
整式乘法中，完全平方公式为：\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)，反之，形如\(a^2 \pm 2ab + b^2\)的式子可化为\((a \pm b)^2\)（完全平方式）。
示例：\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)（其中\(a = x\)，\(2ab = 6x\)，则\(b = 3\)，\(b^2 = 9\)）；\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)（\(a = x\)，\(2ab = -4x\)，\(b = -2\)，\(b^2 = 4\)）。
回顾 2：直接开平方法的局限性
直接开平方法仅能解\(x^2 = a\)或\((mx + n)^2 = a\)型方程，如\(x^2 + 6x - 7 = 0\)这类含一次项的方程，无法直接用开平方法求解。
问题引入：如何将\(x^2 + 6x - 7 = 0\)转化为 “\((mx + n)^2 = a\)” 的形式，用直接开平方法求解？
分析：方程左边\(x^2 + 6x\)接近完全平方式，若补充常数项\(9\)，则\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)，因此可通过 “补项” 将方程转化为可开平方的形式 —— 这就是配方法的核心思路。
3. 配方法的概念与核心原理
概念定义：通过配方（在方程两边同时加上一次项系数一半的平方），将一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）转化为\((x + m)^2 = n\)（\(n\)为常数）的形式，再用直接开平方法求解的方法，叫做配方法。
核心原理：利用完全平方公式，通过 “补项” 使方程左边成为完全平方式，右边化为常数，从而将复杂的一元二次方程转化为已学的 “平方 = 常数” 型方程，实现 “未知→已知” 的转化。
关键步骤推导（以\(x^2 + bx + c = 0\)为例，\(a = 1\)的情况）：
移项：将常数项移到右边，得\(x^2 + bx = -c\)；
配方：两边同时加 “一次项系数一半的平方”（即\((\frac{b}{2})^2\)），左边化为完全平方式：\(x^2 + bx + (\frac{b}{2})^2 = -c + (\frac{b}{2})^2\)，即\((x + \frac{b}{2})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4}\)；
开平方：若右边\(\frac{b^2 - 4ac}{4} \geq 0\)，则\(x + \frac{b}{2} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4}}\)；
求解：整理得\(x = -\frac{b}{2} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2}\)（此为后续求根公式的雏形）。
4. 配方法的解题步骤（分情况细化，规范操作）
配方法需分 “二次项系数为 1” 和 “二次项系数不为 1” 两种情况，以下为完整步骤：
情况 1：二次项系数\(a = 1\)（基础类型）
以解方程\(x^2 + 6x - 7 = 0\)为例：
移项：将常数项移到方程右边，使左边为 “二次项 + 一次项”：\(x^2 + 6x = 7\)；
配方：两边同时加 “一次项系数一半的平方”（一次项系数为 6，一半为 3，平方为 9）：\(x^2 + 6x + 9 = 7 + 9\)；
化为完全平方式：左边化为\((x + m)^2\)，右边计算常数：\((x + 3)^2 = 16\)；
直接开平方法求解：开平方得\(x + 3 = \pm 4\)；
拆方程：\(x + 3 = 4\)或\(x + 3 = -4\)；
解得：\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -7\)。
情况 2：二次项系数\(a \neq 1\)（先化系数为 1）
以解方程\(2x^2 - 8x + 3 = 0\)为例：
化二次项系数为 1：两边同除以二次项系数\(2\)，得：\(x^2 - 4x + \frac{3}{2} = 0\)；
移项：将常数项移到右边：\(x^2 - 4x = -\frac{3}{2}\)；
配方：加 “一次项系数一半的平方”（一次项系数为 - 4，一半为 - 2，平方为 4）：\(x^2 - 4x + 4 = -\frac{3}{2} + 4\)；
化为完全平方式：左边为\((x - 2)^2\)，右边计算：\((x - 2)^2 = \frac{5}{2}\)；
直接开平方法求解：开平方得\(x - 2 = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{2}\)；
解得：\(x_1 = 2 + \frac{\sqrt{10}}{2}\)，\(x_2 = 2 - \frac{\sqrt{10}}{2}\)（结果化为最简二次根式）。
注意事项：
① 化二次项系数为 1 时，需将方程所有项同时除以\(a\)，避免漏除常数项；
② 配方时，加的常数必须是 “一次项系数一半的平方”，且两边需同时加，保证等式成立；
③ 若配方后右边为负数（如\((x + 1)^2 = -2\)），则方程在实数范围内无实数根；
④ 结果需化为最简形式：根号内不含分母（如\(\sqrt{\frac{5}{2}}\)化为\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)），分母不含根号。
5. 配方法例题讲解（覆盖不同题型，突破难点）
例题 1：二次项系数为 1，右边为正数
解方程\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
解：
移项：\(x^2 - 2x = 3\)；
配方：加\((\frac{-2}{2})^2 = 1\)，得\(x^2 - 2x + 1 = 3 + 1\)；
化为完全平方式：\((x - 1)^2 = 4\)；
开平方：\(x - 1 = \pm 2\)；
求解：\(x_1 = 3\)，\(x_2 = -1\)。
例题 2：二次项系数不为 1，右边为分数
解方程\(3x^2 + 6x - 1 = 0\)
解：
化系数为 1：两边除以 3，得\(x^2 + 2x - \frac{1}{3} = 0\)；
移项：\(x^2 + 2x = \frac{1}{3}\)；
配方：加\((\frac{2}{2})^2 = 1\)，得\(x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{3} + 1\)；
化为完全平方式：\((x + 1)^2 = \frac{4}{3}\)；
开平方：\(x + 1 = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)；
求解：\(x_1 = -1 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\)，\(x_2 = -1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\)。
例题 3：配方后右边为 0（两个相等实数根）
解方程\(x^2 + 4x + 4 = 0\)
解：
移项：\(x^2 + 4x = -4\)；
配方：加\((\frac{4}{2})^2 = 4\)，得\(x^2 + 4x + 4 = -4 + 4\)；
化为完全平方式：\((x + 2)^2 = 0\)；
开平方：\(x + 2 = 0\)；
求解：\(x_1 = x_2 = -2\)（两个相等的实数根）。
例题 4：配方后右边为负数（无实数根）
解方程\(2x^2 - 4x + 5 = 0\)
解：
化系数为 1：两边除以 2，得\(x^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0\)；
移项：\(x^2 - 2x = -\frac{5}{2}\)；
配方：加\((\frac{-2}{2})^2 = 1\)，得\(x^2 - 2x + 1 = -\frac{5}{2} + 1\)；
化为完全平方式：\((x - 1)^2 = -\frac{3}{2}\)；
结论：右边\(-\frac{3}{2} < 0\)，方程在实数范围内无实数根。
6. 课堂练习（分层设计，巩固方法与易错点）
基础题（二次项系数为 1）
解方程\(x^2 + 4x - 5 = 0\)（答案：移项得\(x^2 + 4x = 5\)，配方加 4 得\((x + 2)^2 = 9\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -5\)）；
解方程\(x^2 - 6x + 8 = 0\)（答案：配方得\((x - 3)^2 = 1\)，解得\(x_1 = 4\)，\(x_2 = 2\)）。
提升题（二次项系数不为 1 或结果含根式）
解方程\(2x^2 - 5x + 2 = 0\)（答案：化系数为 1 得\(x^2 - \frac{5}{2}x = -1\)，配方加\(\frac{25}{16}\)得\((x - \frac{5}{4})^2 = \frac{9}{16}\)，解得\(x_1 = 2\)，\(x_2 = \frac{1}{2}\)）；
解方程\(3x^2 - 2x - 1 = 0\)（答案：化系数为 1 得\(x^2 - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}\)，配方加\(\frac{1}{9}\)得\((x - \frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -\frac{1}{3}\)）；
已知\(x^2 + 2x - 3 = 0\)，用配方法求\(x^2 + 2x + 5\)的值（提示：由方程得\(x^2 + 2x = 3\)，代入得\(3 + 5 = 8\)）。
易错辨析题（纠正常见错误）
判断下列解法是否正确，若错误请改正：
解方程\(x^2 + 2x - 3 = 0\)，解法：\(x^2 + 2x = 3\)，配方加 2 得\(x^2 + 2x + 2 = 5\)（答案：错误，应加\((\frac{2}{2})^2 = 1\)，正确配方为\(x^2 + 2x + 1 = 4\)）；
解方程\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)，解法：\(x^2 - 2x - 1 = 0\)（答案：错误，化系数为 1 时漏除常数项，正确为\(x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0\)）。
7. 课堂小结（梳理核心，对比多种解法）
配方法核心要点：
适用范围：所有一元二次方程（尤其无法用直接开平方法、因式分解法求解的方程）；
解题步骤（\(ax^2 + bx + c = 0\)，\(a \neq 0\)）：
① 化（化二次项系数为 1）→ ② 移（移常数项到右边）→ ③ 配（加一次项系数一半的平方）→ ④ 转（转为\((x + m)^2 = n\)）→ ⑤ 解（直接开平方法求解）；
关键提醒：配方时两边需同时加常数；右边为负无实根；结果需最简。
三种解法对比（直接开平方法、因式分解法、配方法）：
解法
适用方程类型
优点
缺点
典型示例
直接开平方法
平方项（或含括号平方项）= 常数
步骤最简，计算快
适用范围极窄
\(x^2 = 5\)、\((x - 2)^2 = 3\)
因式分解法
左边可分解为两个一次因式积
计算简便，无需复杂配方
依赖因式分解能力，复杂方程难分解
\(x^2 - 3x = 0\)、\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
配方法
所有一元二次方程
适用范围广，为求根公式打基础
步骤多，计算稍复杂（需配方、化简）
\(x^2 + 6x - 7 = 0\)、\(2x^2 - 8x + 3 = 0\)
8. 布置作业（分层巩固，衔接求根公式）
基础作业：教材对应习题（用配方法解方程 8 道，涵盖\(a = 1\)、\(a \neq 1\)、右边为 0 的类型）；
提升作业：
用配方法证明：无论\(x\)取何实数，\(x^2 - 4x + 5\)的值恒为正数（提示：配方得\((x - 2)^2 + 1 \geq 1 > 0\)）；
已知长方形的长比宽多 2cm，
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.2 配方法
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
直接开平方法
(1)变形; (2)开方; (3)求解.
形如：x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0)
平方根的定义
解一元二
次方程
降次
依据
步骤
特征
第22章 一元二次方程
问题1 解下列方程
上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法
(1)x2－3x＝0； (2) 25x2＝16
解：(1)将原方程的左边分解因式，
得 x(x - 3)＝0；
则 x = 0，或 x - 3 = 0，解得 x1 = 0，x2 = 3.
(2)将方程右边常数项移到左边，再根据平方差
公式因式分解，得 x1 = 0.8，x2 = -0.8.
解方程： x2 + 2x = 5.
要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为
(　　　　)2 = a 的形式．那么，怎么实现呢？
回想两数和的平方公式，有 a2 + 2ab + b2 = (a＋b)2，
从中你能得到什么启示？
问题1：解方程： x2 + 2x = 5.
解：原方程两边都加上 1，得
x2 + 2x + 1 = 6，
即 (x + 1)2 = 6.
直接开平方，得
所以
即
知识要点1
配方法
1.定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法
2.思路：把方程化为 (x + n)2 = p 的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解．
(6) x2 x + ___ = ( x ___)2.
问题2：填空，思考配成完全平方的方法
(3) x2 + 4x + = ( x + )2；
(4) x2 6x + = ( x )2；
(5) x2 + 8x + = ( x + )2；
22
2
32
3
42
4
二次项系数为 1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方时
(1) a2 + 2ab + b2 = ( )2；
(2) a2 - 2ab + b2 = ( )2.
a + b
a b
典例讲解
例1 用配方法解方程：
(1) x2－4x + 1 = 0；
解： (1) 原方程可化为
x2 - 4x = -1.
配方 (两边同时加上 4 )，得
x2 - 2·x·2＋22 = -1 + 22，
即 ( x - 2 )2 = 3.
直接开平方，得 x - 2 =
所以
(2) 4x2 - 12x - 1 = 0.
配方，得
两边同除以 4，得
即
解：(2) 移项，得　4x2 - 12x = 1.
直接开平方，得
所以
知识要点2
配方法解一元二次方程的步骤：
变形：把未知项和常数项移在方程左右边，并将二次项系数化为 1
配方：在方程两同时加上一次项系数一半的平方。
整理：解方程左边写成 (x + n)2 = p的形式。
求解：运用直接开平方法解方程。
解下列方程：
解：移项，得
x2－8x = －1.
配方，得
x2－8x + 42 = －1 + 42，
(x－4)2 = 15.
直接开平方得
即
配方，得
直接开平方得
二次项系数化为 1，得
解：移项，得
2x2－3x = －1.
即
配方，得
∵ 实数的平方不会是负数，
∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为 1，得
即
知识要点3
解一元二次方程的情况：
①当 p > 0 时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
②当 p = 0 时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1 = x2 = -n.
③当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x + n)2 = p. （Ⅱ）
例3 试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2 - 2k + 4 的值必定大于零.
解：k2－4k + 4 = k2 - 2k + 1 + 3
= (k - 1)2＋3
因为 (k - 1)2 ≥ 0，所以 (k - 1)2 + 3 ≥ 3.
所以 k2 - 2k + 4 的值必定大于零.
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1.[2024·桂林第一中学模拟]若x2＋6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是(　　)
A．3　 B．－3　 C．±3　 D．以上都不对
C
【点拨】x2＋6x＋m2＝x2＋6x＋9－9＋m2＝(x＋3)2－9＋m2.∵x2＋6x＋m2是一个完全平方式，∴－9＋m2＝0，∴m＝±3.
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36
6
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3.[2023·新疆]用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0配方后得到的方程是(　　)
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
D
4.小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
移项，得x2－2x＝－1.(第一步)
配方，得x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)
整理，得(x－1)2＝0.(第三步)
所以x1＝x2＝1.(第四步)
(1)小明的解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是______________；
(2)请写出此题正确的解答过程.
一
移项时没有变号
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【点易错】用配方法解一元二次方程时，要先把常数项移到方程的右边，移项时切记要变号.
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【答案】B
2
1
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【点拨】用配方法解一元二次方程的步骤：移项、二次项系数化为1、配方、开方．
7.在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，图①中是甲做的，图②中是乙做的，对于两人的做法，下列说法正确的是(　　)
A．两人都正确
B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确，乙正确
D．两人都不正确
A
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思路
步骤
配方法
(1)变形;(2)配方;(3)整理;(3)求解.
配方
方程两边同时加一次项系数一半的平方
ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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