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以下是华东师大版九年级数学 22.2.3“一元二次方程的解法 —— 公式法” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.2.3 一元二次方程的解法（公式法）
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦公式法）、授课人姓名
2. 知识回顾与问题引入（衔接配方法，推导公式）
回顾 1：配方法的核心步骤
对于一般形式的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），用配方法求解的关键步骤为：
① 化二次项系数为 1：\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)；
② 移项：\(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)；
③ 配方：加\((\frac{b}{2a})^2\)，得\((x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)；
④ 开平方求解（需满足\(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \geq 0\)）。
问题引入：每次用配方法解方程都需重复上述步骤，能否将配方法的结果整理为一个固定公式，直接代入计算？
分析：从配方法的最终结果\(x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)（\(b^2 - 4ac \geq 0\)）可看出，只要知道一元二次方程的二次项系数\(a\)、一次项系数\(b\)、常数项\(c\)，就能直接代入计算根 —— 这就是公式法的由来。
3. 求根公式与公式法的概念
求根公式推导（完整过程，强化逻辑）：
对一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），通过配方法推导：
移项：\(ax^2 + bx = -c\)；
化二次项系数为 1（两边同除以\(a\)）：\(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)；
配方（加\((\frac{b}{2a})^2\)）：\(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 = -\frac{c}{a} + (\frac{b}{2a})^2\)；
左边化为完全平方式：\((x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)；
开平方（因\(4a^2 > 0\)，右边符号由\(b^2 - 4ac\)决定）：
若\(b^2 - 4ac \geq 0\)，则\(x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)；
整理得求根公式：\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)（\(a \neq 0\)，\(b^2 - 4ac \geq 0\)）。
公式法的概念：利用求根公式\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，将一元二次方程一般形式中的\(a\)、\(b\)、\(c\)（需先化为一般形式）代入公式，直接计算方程根的方法，叫做公式法。
判别式的定义：在求根公式中，\(\Delta = b^2 - 4ac\)（读作 “德尔塔”）叫做一元二次方程的根的判别式，它决定了方程实数根的情况：
① 当\(\Delta > 0\)时，方程有两个不相等的实数根；
② 当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相等的实数根（此时根为\(x = -\frac{b}{2a}\)）；
③ 当\(\Delta < 0\)时，方程在实数范围内无实数根。
4. 公式法的解题步骤（规范流程，明确操作）
公式法解一元二次方程的核心是 “先化一般式，再代公式”，具体步骤如下：
化一般形式：将方程整理为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）的形式，明确\(a\)（二次项系数）、\(b\)（一次项系数）、\(c\)（常数项）的值（注意包含符号）；
例：方程\(2x^2 - 5x + 1 = 0\)，则\(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 1\)。
计算判别式\(\Delta\)：代入\(\Delta = b^2 - 4ac\)计算，判断方程是否有实数根；
例：若\(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 25 - 8 = 17 > 0\)，则方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式：若\(\Delta \geq 0\)，将\(a\)、\(b\)、\(c\)及\(\sqrt{\Delta}\)代入公式\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)；
例：代入得\(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}\)。
化简结果：将计算结果化为最简形式（根号内不含能开得尽方的因数，分母不含根号）；
例：\(\frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}\)已为最简，无需进一步化简。
注意事项：
① 化一般形式时，必须保证二次项系数\(a \neq 0\)（若\(a = 0\)，则方程为一元一次方程，直接用一元一次方程解法求解）；
② 确定\(a\)、\(b\)、\(c\)时，务必包含前面的符号（如方程\(x^2 - 3x - 2 = 0\)，\(b = -3\)，\(c = -2\)，而非\(b = 3\)，\(c = 2\)）；
③ 计算\(\Delta\)时，注意符号运算（如\(b = -5\)，则\(b^2 = (-5)^2 = 25\)，而非\(-25\)）；
④ 若\(\Delta = 0\)，则 “\(\pm\)” 无意义，方程仅有一个实数根（表述为 “两个相等的实数根”），如\(\Delta = 0\)时，\(x = \frac{-b}{2a}\)。
5. 公式法例题讲解（覆盖不同判别式情况，突破难点）
例题 1：\(\Delta > 0\)（两个不相等的实数根）
解方程\(x^2 - 4x - 1 = 0\)
解：
化一般形式：方程已为\(x^2 - 4x - 1 = 0\)，则\(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = -1\)；
计算\(\Delta\)：\(\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 16 + 4 = 20 > 0\)；
代入公式：\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2}\)；
化简结果：约分得\(x = 2 \pm \sqrt{5}\)；
结论：方程的两个根为\(x_1 = 2 + \sqrt{5}\)，\(x_2 = 2 - \sqrt{5}\)。
例题 2：\(\Delta = 0\)（两个相等的实数根）
解方程\(4x^2 - 4x + 1 = 0\)
解：
化一般形式：方程已为\(4x^2 - 4x + 1 = 0\)，则\(a = 4\)，\(b = -4\)，\(c = 1\)；
计算\(\Delta\)：\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0\)；
代入公式：因\(\Delta = 0\)，\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2 \times 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)；
结论：方程有两个相等的实数根，\(x_1 = x_2 = \frac{1}{2}\)。
例题 3：\(\Delta < 0\)（无实数根）
解方程\(2x^2 + 3x + 2 = 0\)
解：
化一般形式：方程已为\(2x^2 + 3x + 2 = 0\)，则\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 2\)；
计算\(\Delta\)：\(\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times 2 = 9 - 16 = -7 < 0\)；
结论：方程在实数范围内无实数根。
例题 4：需先化为一般形式的方程
解方程\((x + 1)(x - 2) = 1\)
解：
化一般形式：展开左边得\(x^2 - x - 2 = 1\)，移项整理为\(x^2 - x - 3 = 0\)，则\(a = 1\)，\(b = -1\)，\(c = -3\)；
计算\(\Delta\)：\(\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 1 + 12 = 13 > 0\)；
代入公式：\(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{13}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}\)；
结论：方程的两个根为\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)，\(x_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}\)。
6. 课堂练习（分层设计，巩固公式与判别式）
基础题（直接代公式求解）
解方程\(x^2 + 2x - 3 = 0\)（答案：\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = -3\)，\(\Delta = 16\)，\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -3\)）；
解方程\(2x^2 - 5x + 2 = 0\)（答案：\(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 2\)，\(\Delta = 9\)，\(x_1 = 2\)，\(x_2 = \frac{1}{2}\)）；
解方程\(x^2 - 6x + 9 = 0\)（答案：\(\Delta = 0\)，\(x_1 = x_2 = 3\)）。
提升题（结合判别式与实际问题）
已知关于\(x\)的方程\(x^2 + (k - 1)x + k = 0\)有两个相等的实数根，求\(k\)的值（提示：\(\Delta = (k - 1)^2 - 4k = 0\)，解得\(k = 3 \pm 2\sqrt{2}\)）；
一个长方形的面积为\(12\)平方米，长比宽多\(4\)米，设宽为\(x\)米，用公式法求长方形的长和宽（提示：列方程\(x(x + 4) = 12\)，整理为\(x^2 + 4x - 12 = 0\)，\(\Delta = 64\)，\(x_1 = 2\)，\(x_2 = -6\)，舍去负根，宽\(2\)米，长\(6\)米）。
易错辨析题（纠正常见错误）
判断下列解法是否正确，若错误请改正：
解方程\(x^2 - 3x + 2 = 0\)，解法：\(a = 1\)，\(b = 3\)，\(c = 2\)，\(\Delta = 9 - 8 = 1\)，\(x = \frac{-3 \pm 1}{2}\)（答案：错误，\(b = -3\)，正确公式代入为\(x = \frac{3 \pm 1}{2}\)，解得\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 1\)）；
解方程\(2x^2 - 7x = 0\)，解法：\(a = 2\)，\(b = -7\)，\(c = 0\)，\(\Delta = 49 - 0 = 49\)，\(x = \frac{7 \pm 7}{4}\)，解得\(x_1 = \frac{7}{2}\)，\(x_2 = 0\)（答案：正确）。
7. 课堂小结（梳理核心，对比四种解法）
公式法核心要点：
核心公式：求根公式\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)（\(a \neq 0\)，\(\Delta = b^2 - 4ac \geq 0\)）；
判别式作用：\(\Delta > 0\)（两不等实根）、\(\Delta = 0\)（两相等实根）、\(\Delta < 0\)（无实根）；
解题步骤：化一般式→算\(\Delta\)→代公式→化简；
适用范围：所有一元二次方程（无需因式分解或配方，是通用解法）。
四种解法对比（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法）：
解法
适用方程类型
优点
缺点
适用场景推荐
直接开平方法
平方项（或含括号平方项）= 常数
步骤最简，计算快
适用范围极窄
特殊结构方程（如\((x + m)^2 = n\)）
因式分解法
左边可分解为两个一次因式积
计算简便，无需复杂运算
依赖因式分解能力，复杂方程难分解
能快速因式分解的方程（如\(x^2 - 3x = 0\)）
配方法
所有一元二次方程
为公式法打基础，培养代数变形能力
步骤多，计算繁琐
推导公式、证明代数式性质
公式法
所有
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.3 公式法
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
思路
步骤
配方法
(1)变形;(2)配方;(3)整理;(3)求解.
配方
方程两边同时加一次项系数一半的平方
ax2+bx+c=0→(x+n)2=p (p ≥0)
问题1 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
方程两边都除以 a，得
解：移项，得
配方，得
即
∵ a≠0，∴ 4a2 > 0.
而 b2－4ac 的符号有以下三种情况：
(1) b2－4ac ＞0，
这时 ＞0，由①得
则方程有两个不相等的实数根
(2) b2 - 4ac = 0，
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根
(3) b2 - 4ac ＜0，
这时 ＜0，由①可知 ＜0，
x1 = x2 = - .
而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根.
D
【点拨】方程的二次项系数为－2，一次项系数为3，常数项为－1，即a＝－2，b＝3，c＝－1.故选D.
返回
返回
D
【点拨】由题意知二次项系数为1，一次项系数为－b，常数项为－c，故选D.
返回
D
返回
D
5.[2024·青岛大学附属中学模拟]已知三角形的两边的长分别为2和10，第三边的长是方程x2－17x＋70＝0的两根之一，则此三角形的周长是(　　)
A．19 B．22 C．13 D．19或22
返回
【点拨】用公式法求得方程x2－17x＋70＝0的根为x1＝7，x2＝10.
当x＝7时，三角形的三边长分别为2，7，10，不能构成三角形，舍去．
当x＝10时，三角形的三边长分别为2，10，10，则三角形的周长为2＋10＋10＝22.
【答案】B
20
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7.用公式法解下列方程：
(1)[2023·无锡]2x2＋x－2＝0；
返回
(3)4y2－3＝(y＋2)2.
知识要点1
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的求根公式：
(1) b2－4ac ≥ 0，
解一个具体的一元二次方程时，把系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解法一元二次方程的方法叫做公式法
典例讲解
(1) x2 4x 7 = 0；
例1 用公式法解下列方程
方程有两个不等的实数根
(1) 解：a = 1，b = 4，c = 7.
Δ = b2－4ac = ( 4)2－4×1×( 7) = 44＞0.
即
(2) 2x2 x + 1 = 0；
方程有两个相等的实数根
x1 = x2
解：a = 2，b = ，c = 1.
Δ = b2－4ac = ( )2－4×2×1 = 0.
(3) 5x2－3x = x + 1；
方程有两个不等的实数根
即
a = 5，b = －4，c = －1.
Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
(4) x2 + 17 = 8x.
方程没有实数根.
a = 1，b = 8，c = 17.
Δ = b2 4ac = ( 8)2 4×1×17 = 4＜0.
解：方程化为 x2－8x + 17 = 0.
知识要点2
求根公式的步骤：
1. 变形：化已知方程变形为一般形式；
2. 定数：确定 a，b，c 各项系数；
3. 判定：计算Δ =b2 4ac 的值；并判定其符号
4. 计算：若 Δ = b2 4ac≥0，则利用求根公式求出；
若 b2 4ac＜0，则方程没有实数根.
解：(1)
用公式法解下列一元二次方程：
解：将原方程化为一般形式，得
解:（3）原方程即为 ，
(3)
配方法
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0)
公式法
公式
注意
步骤
a ≠ 0
Δ = b2 4ac≥0
1. 变形
2. 定数
3. 判定
4. 计算：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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