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以下是华东师大版九年级数学 22.2.5 “一元二次方程根与系数的关系” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.2.5 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时）、授课人姓名
2. 知识回顾与情境引入（从实例观察，引发猜想）
回顾 1：一元二次方程的解法与根的情况
对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），可通过公式法求得根为\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，且根的数量由判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)决定（\(\Delta > 0\)时两不等根，\(\Delta = 0\)时两相等根）。
情境问题：根与系数是否存在固定联系？
解下列一元二次方程，计算两根的和与积，并观察它们与方程系数（\(a\)、\(b\)、\(c\)）的关系：
方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)（根：\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)）
计算：\(x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5\)，\(x_1x_2 = 2 \times 3 = 6\)；
观察：和为\(5 = -\frac{-5}{1}\)（即\(-\frac{b}{a}\)），积为\(6 = \frac{6}{1}\)（即\(\frac{c}{a}\)）。
方程\(2x^2 + 3x - 2 = 0\)（根：\(x_1 = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = -2\)）
计算：\(x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + (-2) = -\frac{3}{2}\)，\(x_1x_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1\)；
观察：和为\(-\frac{3}{2} = -\frac{3}{2}\)（即\(-\frac{b}{a}\)），积为\(-1 = \frac{-2}{2}\)（即\(\frac{c}{a}\)）。
方程\(x^2 - 4x + 4 = 0\)（根：\(x_1 = x_2 = 2\)）
计算：\(x_1 + x_2 = 2 + 2 = 4\)，\(x_1x_2 = 2 \times 2 = 4\)；
观察：和为\(4 = -\frac{-4}{1}\)（即\(-\frac{b}{a}\)），积为\(4 = \frac{4}{1}\)（即\(\frac{c}{a}\)）。
猜想：对于任意一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），若其两根为\(x_1\)、\(x_2\)，是否总有\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)？
3. 根与系数的关系（韦达定理）的推导与定义
推导证明（基于求根公式）：
设一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）的两根为\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)（\(\Delta = b^2 - 4ac\)）。
计算两根之和：\(
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\
&= \frac{(-b + \sqrt{\Delta}) + (-b - \sqrt{\Delta})}{2a} \\
&= \frac{-2b}{2a} \\
&= -\frac{b}{a}
\end{align*}
\)
计算两根之积：\(
\begin{align*}
x_1x_2 &= \left(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\
&= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2} \quad (\text{???????·??????????}(m + n)(m - n) = m^2 - n^2) \\
&= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \\
&= \frac{4ac}{4a^2} \\
&= \frac{c}{a}
\end{align*}
\)
结论：无论\(\Delta\)是正、零还是负（即使无实数根，复数范围内仍成立），上述关系均成立。
韦达定理定义：对于一元二次方程的一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），若方程的两个根为\(x_1\)和\(x_2\)，则有：\(
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}
\)
这一关系叫做一元二次方程根与系数的关系，也称为韦达定理（以法国数学家弗朗索瓦?韦达命名）。
特殊形式（当\(a = 1\)时）：
若方程化为\(x^2 + px + q = 0\)（二次项系数为 1），则根与系数的关系简化为：\(
x_1 + x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q
\)
（此时\(p = \frac{b}{a} = b\)，\(q = \frac{c}{a} = c\)，代入原关系可得）
4. 韦达定理的基础应用（一）：已知方程求根的和与积
解题步骤：
化一般形式：将方程整理为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）的形式，确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值（包含符号）；
代入公式：根据韦达定理，计算\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)和\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)；
化简结果：将结果化为最简形式（分数需约分，小数可化为分数）。
例题 1：已知方程求根的和与积
求方程\(3x^2 - 2x - 1 = 0\)的两根之和与两根之积。
解：
① 一般形式：\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = -1\)；
② 计算和：\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}\)；
③ 计算积：\(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}\)；
④ 结论：两根之和为\(\frac{2}{3}\)，两根之积为\(-\frac{1}{3}\)。
求方程\(x^2 + 4x = 0\)的两根之和与两根之积。
解：
① 化一般形式：\(x^2 + 4x + 0 = 0\)，故\(a = 1\)，\(b = 4\)，\(c = 0\)；
② 计算和：\(x_1 + x_2 = -\frac{4}{1} = -4\)；
③ 计算积：\(x_1x_2 = \frac{0}{1} = 0\)；
④ 结论：两根之和为\(-4\)，两根之积为\(0\)。
注意事项：
① 必须先将方程化为一般形式，确保\(a\)、\(b\)、\(c\)对应正确（尤其是常数项\(c\)为 0 或一次项系数\(b\)为负的情况）；
② 计算时需注意符号（如\(b = -2\)，则\(-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{a} = \frac{2}{a}\)，避免符号错误）；
③ 即使方程无实数根（\(\Delta < 0\)），韦达定理在复数范围内仍成立，但初中阶段仅研究有实数根的情况。
5. 韦达定理的进阶应用（二）：已知根求方程或参数
应用 1：已知两根构造一元二次方程
解题思路：若已知方程的两根为\(x_1\)、\(x_2\)，可根据韦达定理构造方程：
当二次项系数为 1 时，方程为\(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0\)（由\(x^2 + px + q = 0\)，其中\(p = -(x_1 + x_2)\)，\(q = x_1x_2\)）；
若需指定二次项系数为\(a\)（\(a \neq 0\)），则方程为\(a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2] = 0\)。
例题 2：已知方程的两根为\(3\)和\(-2\)，构造一个一元二次方程。
解：
① 计算根的和与积：\(x_1 + x_2 = 3 + (-2) = 1\)，\(x_1x_2 = 3 \times (-2) = -6\)；
② 构造方程（二次项系数为 1）：\(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0\)，即\(x^2 - x - 6 = 0\)；
③ 验证：解方程\(x^2 - x - 6 = 0\)，得根为\(3\)和\(-2\)，符合要求；
④ 结论：所求方程为\(x^2 - x - 6 = 0\)（或乘以任意非零常数，如\(2x^2 - 2x - 12 = 0\)）。
应用 2：已知一根及系数关系求另一根或参数
解题思路：已知方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）的一根\(x_1\)，可根据韦达定理：
① 求另一根\(x_2\)：由\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)得\(x_2 = -\frac{b}{a} - x_1\)，或由\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)得\(x_2 = \frac{c}{a} \div x_1\)（\(x_1 \neq 0\)）；
② 求参数：将已知根代入方程，结合韦达定理列方程，求解参数。
例题 3：已知关于\(x\)的方程\(x^2 - 5x + m = 0\)的一根为\(2\)，求另一根及\(m\)的值。
解：
方法一（用韦达定理求另一根）：
① 设另一根为\(x_2\)，由\(x_1 + x_2 = 5\)（\(-\frac{b}{a} = 5\)），得\(2 + x_2 = 5\) → \(x_2 = 3\)；
② 由\(x_1x_2 = m\)（\(\frac{c}{a} = m\)），得\(2 \times 3 = m\) → \(m = 6\)。
方法二（代入根求参数）：
① 将\(x = 2\)代入方程：\(2^2 - 5 \times 2 + m = 0\) → \(4 - 10 + m = 0\) → \(m = 6\)；
② 方程变为\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，解得另一根为\(3\)；
③ 结论：另一根为\(3\)，\(m = 6\)。
例题 4：已知关于\(x\)的一元二次方程\(2x^2 + kx - 3 = 0\)的两根之和为\(-2\)，求\(k\)的值及方程的两根之积。
解：
① 由韦达定理，两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{k}{2}\)；
② 已知和为\(-2\)，故\(-\frac{k}{2} = -2\) → \(k = 4\)；
③ 计算两根之积：\(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}\)；
④ 结论：\(k = 4\)，两根之积为\(-\frac{3}{2}\)。
6. 韦达定理的综合应用（三）：求与根相关的代数式的值
解题思路：
对于与两根相关的代数式（如\(x_1^2 + x_2^2\)、\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)、\((x_1 - 1)(x_2 - 1)\)等），可通过代数变形，将其转化为用 “根的和（\(x_1 + x_2\)）” 和 “根的积（\(x_1x_2\)）” 表示的形式，再代入韦达定理的结果计算。
常见变形公式：
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)；
\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}\)（\(x_1x_2 \neq 0\)）；
\((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2\)；
\((x_1 + m)(x_2 + m) = x_1x_2 + m(x_1 + x_2) + m^2\)。
例题 5：已知方程\(x^2 - 4x + 3 = 0\)的两根为\(x_1\)、\(x_2\)，求下列代数式的值：
\(x_1^2 + x_2^2\)；
\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)；
\((x_1 - 2)(x_2 - 2)\)。
解：
首先由韦达定理得：(x_1 + x_
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.2.5一元二次方程根与系数的关系
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
配方法
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0)
公式法
公式
注意
步骤
????=?????±????2?4????????2????
?
a ≠ 0
Δ = b2 ? 4ac≥0
1. 变形
2. 定数
3. 判定
4. 计算：
问题1 观察下列一元二次方程的两根与系数，猜想有什么关系?
证明：利用公式法求方程的两根
猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x2 + px + q = 0 的两根为x1， x2.
x =
x1 =
x2 =
-p
q
知识要点1
一元二次方程的根与系数的关系
如果 x2 + px + q = 0 的两个根为 x1， x2，那么
x1+ x2= -p， x1 x2= q
问题2 如果 ax2 + bx + c = 0 ( a、b、c 是常数，a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，则 b2 - 4ac≥0.
由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得
证明
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
知识要点2
一元二次方程的根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，
那么
注意：a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
典例讲解
例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
(1) x2 – 6x – 15 = 0；
x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15.
(2) 3x2 + 7x - 9 = 0；
x1 + x2 = ? ， x1 x2 =
(3) 5x – 1 = 4x2.
x1 + x2 = ， x1 x2 = .
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2.
所以 x1·x2 = 2x2 = ，
即 x2 =
由于 x1 + x2 = 2 + = ，
解得 k = -7.
答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
例3 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2 和 3，且二次项系数为 1.
解：(x - 2)(x - 3)=0，
x2 - 5x + 6 = 0.
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A
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2.[2022·益阳]若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
B
【点拨】由题可知两根之和为－1，故另一个根为0.
3.[2023·乐山]若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为(　　)
A．4 B．8
C．12 D．16
C
【点拨】∵一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，∴x1＋x2＝8，x1x2＝m.又∵x1＝3x2，∴4x2＝8，解得 x2＝2.∴x1＝6.∴m＝x1x2＝6×2＝12.故选C.
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C
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5.[2023·宜宾]已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，则m2＋mn＋2m的值为(　　)
A．0 B．－10 C．3 D．10
A
【点拨】∵m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，∴mn＝－5，m2＋2m－5＝0.∴m2＋2m＝5.
∴m2＋mn＋2m＝m2＋2m＋mn＝5－5＝0.　
6.已知x1，x2是方程x2－x－2 025＝0的两个实数根，则代数式x13－2 025x1＋x22的值是(　　)
A．4 051　 B．4 050　
C．2 025　 D．1
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【点拨】把x＝x1代入方程，得x12－x1－2 025＝0，即x12－2 025＝x1.
∵x1，x2是方程x2－x－2 025＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝－2 025.
∴原式＝x1(x12－2 025)＋x22＝x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝1＋4 050＝4 051.
【答案】A
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8.[2024·泉州五中月考]已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝5，则k的值是(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
返回
【点拨】∵关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝k，x1x2＝k－3.
∵x12＋x22＝5，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.
∴k2－2(k－3)＝5，
整理得k2－2k＋1＝0，解得k1＝k2＝1.
【答案】D
a ≠ 0，b2 - 4ac≥0
不解方程，求两根的和与积
已知一根，求另一个根及参数的值
不解方程，求含两根的对称式的值
韦达定理
公式
注意
应用
一元二次方程的根与系数的关系
x1+ x2= -p， x1 x2= q
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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