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以下是华东师大版九年级数学 22.3.1“实践与探索 —— 用一元二次方程解图形面积、变化率问题” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.3.1 实践与探索 —— 用一元二次方程解图形面积、变化率问题
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦两类核心问题）、授课人姓名
2. 知识回顾与情境引入（衔接旧知，激发应用意识）
回顾 1：一元二次方程的解法
已学一元二次方程的解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，可根据方程特点选择合适解法；同时需注意检验解的实际意义（如长度、面积、增长率等不能为负）。
回顾 2：图形面积公式与变化率概念
常见图形面积公式：正方形面积 = 边长 、长方形面积 = 长 × 宽、三角形面积 =（底 × 高）/2、圆面积 =πr ；
增长率（或降低率）：若初始量为\(a\)，平均增长率为\(x\)，则经过\(n\)次变化后的量为\(a(1 + x)^n\)（降低率为\(a(1 - x)^n\)）。
情境引入：生活中许多实际问题可通过建立一元二次方程求解，例如：
① 一块长方形铁皮，剪去四个角的小正方形后折成无盖盒子，如何求盒子的容积？
② 某公司去年利润为 100 万元，今年利润增长到 121 万元，如何求年平均增长率？
这两类问题分别对应 “图形面积问题” 和 “变化率问题”，本节课将重点学习如何用一元二次方程解决它们。
3. 类型一：用一元二次方程解图形面积问题（核心：建立面积关系，列方程求解）
解题步骤（通用流程）：
设未知数：根据问题设关键未知量为\(x\)（如边长、宽度、半径等），明确未知数的实际意义（单位需统一）；
分析图形关系：根据图形变化（如裁剪、拼接、折叠），用含\(x\)的代数式表示相关边长、面积等；
列方程：根据 “已知面积” 或 “面积关系”（如面积相等、面积比等），建立一元二次方程；
解方程：选择合适的方法解一元二次方程；
检验与作答：检验方程的解是否符合实际意义（如长度为正、面积合理），舍去不合理的解，最后作答。
例题 1：长方形面积与裁剪问题
问题：一块长为 10cm、宽为 8cm 的长方形纸板，在它的四个角各剪去一个边长为\(x\)cm 的小正方形，然后将四边折起，做成一个无盖的长方体盒子。若盒子的底面积为 48cm ，求剪去的小正方形的边长\(x\)。
解答过程：
设未知数：设剪去的小正方形的边长为\(x\)cm（\(x > 0\)，且需满足\(10 - 2x > 0\)，\(8 - 2x > 0\)，即\(x < 4\)）；
分析图形关系：折成的无盖长方体盒子的底面是长方形，长为\((10 - 2x)\)cm（原长减去两个小正方形边长），宽为\((8 - 2x)\)cm（原宽减去两个小正方形边长）；
列方程：根据 “底面积为 48cm ”，得\((10 - 2x)(8 - 2x) = 48\)；
解方程：
展开方程：\(80 - 20x - 16x + 4x^2 = 48\)；
整理为一般形式：\(4x^2 - 36x + 32 = 0\)，两边除以 4 得\(x^2 - 9x + 8 = 0\)；
因式分解：\((x - 1)(x - 8) = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 8\)；
检验与作答：
因\(x < 4\)，故\(x_2 = 8\)不符合实际意义，舍去；
结论：剪去的小正方形的边长为 1cm。
例题 2：正方形与面积差问题
问题：一个正方形的边长增加 3cm 后，新正方形的面积比原正方形的面积大 39cm ，求原正方形的边长。
解答过程：
设未知数：设原正方形的边长为\(x\)cm（\(x > 0\)）；
分析图形关系：原正方形面积为\(x^2\)cm ，新正方形边长为\((x + 3)\)cm，面积为\((x + 3)^2\)cm ；
列方程：根据 “面积差为 39cm ”，得\((x + 3)^2 - x^2 = 39\)；
解方程：
展开方程：\(x^2 + 6x + 9 - x^2 = 39\)；
化简得：\(6x + 9 = 39\)，解得\(x = 5\)；
检验与作答：\(x = 5 > 0\)，符合实际意义；
结论：原正方形的边长为 5cm。
图形面积问题注意事项：
需结合图形特点，准确用含未知数的代数式表示边长（如裁剪问题中，边长需减去 “2 倍裁剪长度”，避免漏减）；
注意未知数的取值范围（如长度不能为负、边长不能超过原图形尺寸），检验时务必排除不合理的解；
若涉及不规则图形，可通过 “割补法” 转化为规则图形（如长方形、正方形），再利用面积公式列方程。
4. 类型二：用一元二次方程解变化率问题（核心：建立增长 / 降低模型，列方程求解）
解题步骤（通用流程）：
设未知数：设平均增长率（或降低率）为\(x\)（通常用百分数表示，设为小数形式，如增长率 20% 设为\(x = 0.2\)）；
确定初始量与变化后量：明确问题中的初始量\(a\)、变化次数\(n\)、变化后的量\(b\)；
列方程：根据增长（或降低）模型列方程：
增长率问题：\(a(1 + x)^n = b\)（\(b > a\)）；
降低率问题：\(a(1 - x)^n = b\)（\(b < a\)）；
解方程：通常用直接开平方法或因式分解法求解（注意\(x > 0\)，且\(1 - x > 0\)，即降低率\(x < 1\)）；
检验与作答：检验解是否符合实际意义（增长率 / 降低率为正，且不超过合理范围），最后将小数转化为百分数作答。
例题 3：增长率问题（利润增长）
问题：某企业 2023 年的年利润为 200 万元，2025 年的年利润计划达到 288 万元，求该企业这两年年利润的平均增长率。
解答过程：
设未知数：设这两年年利润的平均增长率为\(x\)（\(x > 0\)）；
确定初始量与变化后量：初始量\(a = 200\)万元（2023 年），变化次数\(n = 2\)（2023→2024→2025），变化后量\(b = 288\)万元（2025 年）；
列方程：根据增长率模型，得\(200(1 + x)^2 = 288\)；
解方程：
两边除以 200：\((1 + x)^2 = 1.44\)；
直接开平方：\(1 + x = \pm 1.2\)（因\(1 + x > 0\)，舍去负根）；
解得\(1 + x = 1.2\)，即\(x = 0.2 = 20\%\)；
检验与作答：\(x = 20\% > 0\)，符合实际意义；
结论：该企业这两年年利润的平均增长率为 20%。
例题 4：降低率问题（成本降低）
问题：某工厂生产一种产品，2024 年每件产品的成本为 100 元，2025 年通过技术改进，每件产品的成本降低到 81 元，求该产品成本的年平均降低率。
解答过程：
设未知数：设该产品成本的年平均降低率为\(x\)（\(0 < x < 1\)）；
确定初始量与变化后量：初始量\(a = 100\)元（2024 年），变化次数\(n = 1\)（2024→2025），变化后量\(b = 81\)元（2025 年）；
列方程：根据降低率模型，得\(100(1 - x) = 81\)；
解方程：
两边除以 100：\(1 - x = 0.81\)；
解得\(x = 1 - 0.81 = 0.19 = 19\%\)；
检验与作答：\(0 < 19\% < 1\)，符合实际意义；
结论：该产品成本的年平均降低率为 19%。
变化率问题注意事项：
明确 “变化次数”：如从 2023 年到 2025 年是 2 次变化（2023→2024 为 1 次，2024→2025 为 2 次），避免次数错误；
增长率 / 降低率的取值范围：增长率\(x > 0\)，降低率\(0 < x < 1\)（即降低幅度不超过 100%），检验时需排除不符合范围的解；
若问题中涉及 “连续增长 / 降低”，需确保模型正确（如 “两年增长” 用\((1 + x)^2\)，“半年增长” 需调整时间单位）。
5. 课堂练习（分层设计，巩固两类问题）
基础题（图形面积问题）
一个长方形的长比宽多 2cm，面积为 24cm ，求长方形的长和宽（答案：长 6cm，宽 4cm）；
一个圆的面积比另一个圆的面积大 15πcm ，且两圆半径之差为 1cm，求较大圆的半径（答案：4cm）。
基础题（变化率问题）
某商品原价为 500 元，经过两次降价后售价为 320 元，求平均每次降价的百分率（答案：20%）；
某学校 2023 年招生人数为 800 人，2024 年招生人数为 968 人，求该校招生人数的年平均增长率（答案：10%）。
提升题（综合应用）
一块长 20m、宽 15m 的长方形草坪，在它的四周修一条宽度相同的石子路，石子路的面积为 246m ，求石子路的宽度（提示：设宽度为\(x\)m，草坪与石子路组成的大长方形长为\((20 + 2x)\)m，宽为\((15 + 2x)\)m，列方程\((20 + 2x)(15 + 2x) - 20 15 = 246\)，答案：3m）；
某公司 2023 年的销售额为 1000 万元，计划 2025 年销售额达到 1440 万元，若每年增长率相同，求该增长率，并计算 2024 年的销售额（答案：增长率 20%，2024 年销售额 1200 万元）。
6. 课堂小结（梳理核心，构建解题模型）
两类问题的解题模型：
问题类型
核心等量关系
常用公式 / 模型
关键步骤
图形面积问题
面积相等 / 面积差 / 面积比
长方形面积 = 长 × 宽、正方形面积 = 边长 等
设未知数→表示边长→列面积方程→检验实际意义
变化率问题
增长 / 降低后的量 = 初始量 ×(1±x)^n
增长率：\(a(1 + x)^n = b\)；降低率：\(a(1 - x)^n = b\)
设增长率→确定初始 / 变化后量→列方程→检验范围
共同注意事项：
设未知数时需明确单位（如长度用 cm/m，增长率用小数）；
列方程前需分析数量关系，确保代数式准确；
解方程后必须检验解的实际意义，舍去不合理的解；
作答时需对应问题，明确单位（如增长率用百分数表示）。
7. 布置作业（分层巩固，衔接后续实践）
基础作业：教材对应习题（图形面积问题 3 道，变化率问题 3 道）；
提升作业：
一个直角三角形的两条直角边之和为 14cm，面积为 24cm ，求两条直角边的长（答案：6cm 和 8cm）；
某楼盘 2024 年 1 月的房价为每平方米 8000 元，2024 年 3 月的房价为每平方米 9680 元，假设该楼盘房价每月的增长率相同，求月平均增长率（答案：10%）；
实践作业：调查生活中的一个实际问题（如家庭收入增长、校园操场面积等），尝试用一元二次方程建立模型并求解，下节课分享。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3.1 实践与探索
--用一元二次方程解图形面积、变化率问题
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
例1：如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
32
x
20
设道路的宽为 x m. 则
解法1：20×32-32x-20x+x2=540
32
x
x
20 x
32 x
20
解法2：设道路的宽为 x m. 则
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
知识要点1
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
(58 2x)x = 200，
整理得 x2 29x + 100 = 0.
解得 x1 = 25，x2 = 4.
当 x = 25 时，58 2x = 8；
当 x = 4 时，58 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m，50 m.
例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
D
C
B
A
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得
(80 2x)x = 600.
整理得 x2 40x + 300 = 0，
解得 x1 = 10，x2 = 30.
当 x = 10 时，80 2x = 60 > 25(舍去)；
当 x = 30 时，80 2x = 20 < 25.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 30 m，20 m.
变式1 如图，要利用一面墙 (墙长为 25 m) 建羊圈，用 80 m 的围栏围成面积为 600 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？
D
C
B
A
25 m
变式2 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
住房墙
1m
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
由题意得 x(25 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
当 x = 5 时，26 2x = 16 > 12(舍去)；
当 x = 8 时，26 2x = 10 < 12.
故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m.
则平行于住房墙的一边长 (25 2x + 1) m.
知识要点2
围墙问题数量关系：
一般先设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解. 需要注意联系实际问题选择合适的解.
问题1：小明学习非常认真，数学成绩直线上升，入学考试数学成绩是 100 分，第一次月考增长了 x，第二次月考又增长了 x，问他第二次数学成绩是多少？
=100×((1 + x)2
第一次月考数学成绩：100×(1 + x)
第二次月考数学成绩：100×(1 + x) (1 + x)
入学考试的数学成绩：100 ；
第三次月考数学成绩：100×((1 + x)3
知识要点1
平均变化率问题数量关系：
增长前的量× (1+增长率)n=增长后的量；
a× (1+x)n=b
典例讲解
例1 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，某城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生 20万人次，第三批公益课受益学生 24.2 万人．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.
解：设增长率为 x，根据题意，得
20(1 + x)2 = 24.2.
解得 x1 = 2.1 (舍去)，x2 = 0.1 = 10%．
答：增长率为 10%.
例2 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率（精确到 0.1%）.
解：设原价为 1 个单位，每次降价的百分率为 x.
根据题意，得
解方程，得
答：每次降价的百分率约为 29.3%.
例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
解：设这个增长率为 x. 根据题意，得
答：这个增长率为 50%.
200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950，
整理方程，得
4x2 + 12x - 7 = 0.
解得
x1 = 3.5 (舍去)，x2 = 0.5 = 50%.
例4　两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
　　乙种药品成本的年平均下降额为
　　　(6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．
　　甲种药品成本的年平均下降额为
　　　(5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元）.
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x.
解方程，得 x1 ≈ 1.775(舍)， x2 ≈ 0.225．
根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于 1 的正数，应选 0.225．所以甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5％．
一年后甲种药品成本为 5000(1 - x) 元，
两年后甲种药品成本为 5000(1 - x)2 元．
列方程得 5000(1 - x)2 =3000．
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，
由方程 6000(1 - y)2 = 3600
得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．
解方程，得 y1 ≈ 1.775(舍)， y2 ≈ 0.225．
知识要点2
“变化率问题”的基本特征
平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．
1.[2023·黑龙江龙东地区]如图，在长为100 m，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是(　　)
A．5 m B．70 m
C． 5 m或70 m D．10 m
返回
【点拨】设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为(100－2x)m，宽为(50－2x)m的矩形，根据花圃的面积是3 600 m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【答案】A
2.[2023·常州]如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距(纸张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右页边距分别为a cm，b cm，c cm，d cm.若纸张大小为16 cm×10 cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域
的面积占纸张的70%，则需如何
设置页边距？
返回
【解】设页边距为x cm.
根据题意，得(16－2x)(10－2x)＝16×10×70%，
解得x＝1或x＝12(不符合题意，舍去)．
答：设置页边距为1 cm.
3.[2023·东营]如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
【解】设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x)(m)．根据题意，得x(72－2x)＝640.
化简，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20.
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为 20 m时，能围成一个面积为640 m2 的羊圈．
返回
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
【解】不能．理由如下：由题意得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0.
∴Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0.
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650 m2.
4.某农场要建一个饲养场(矩形ABCD)，两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米)，另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示
的三处各留1米宽的门(不用木栏)．
建成后木栏总长为45米.
(1)若饲养场(矩形ABCD)的一边CD长为8米，则另一边BC＝________米.
24
(2)若饲养场(矩形ABCD)的面积为180平方米，求边CD的长.
【解】设CD＝x米(0＜x≤15)，则BC＝45－x－2(x－1)＋
1＝(48－3x)(米)．依题意得x(48－3x)＝180.整理，
得x2－16x＋60＝0，解得x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，48－3x＝48－3×6＝30, 30＞27，不合题意，
舍去；当x＝10时，48－3x＝48－3×10＝18，符合题意．
∴边CD的长为10米．
(3)饲养场的面积能达到210平方米吗？若能，求出边CD的长；若不能，请说明理由.
【解】不能．理由如下：设CD＝y米(0＜y≤15)，则BC＝
45－y－2(y－1)＋1＝(48－3y)(米)．
依题意得y(48－3y)＝210.整理，得y2－16y＋70＝0.
∵Δ＝(－16)2－4×1×70＝256－280＝－24＜0.
∴该方程没有实数根．
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
返回
图形经过移动，它的面积大小不会改变
设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解
实际问题
小路问题
围墙问题
变化率问题
增长前的量× (1+增长率)n=增长后的量；
a× (1+x)n=b
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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