资源简介

幻灯片 1：封面
标题：23.1.2 平行线分线段成比例
副标题：从平行关系探索线段比例规律
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
幻灯片 2：课程导入
展示图片与情境：
图片 1：小区里的健身步道，步道上有 3 条平行的分隔线，将步道的两条侧边（两条相交直线）分成了若干段，标注出各段的大致长度。
图片 2：楼梯的侧面示意图，楼梯的横杆（平行线）将两侧的竖杆（相交直线）分成了不同的线段，直观呈现线段间的关系。
引导提问：同学们，观察健身步道的分隔线和楼梯的横杆，它们都是互相平行的，并且都与两条相交直线相交。大家可以猜想一下，这些平行线把两条相交直线分成的线段之间，会不会存在我们上节课学习的 “成比例” 关系呢？今天我们就来验证这个猜想，学习 “平行线分线段成比例”。
幻灯片 3：平行线分线段成比例基本事实（探究）
探究活动设计：
画图操作：在黑板或课件上画出两条相交直线\(l_1\)、\(l_2\)，交点为\(O\)；再画出 3 条互相平行的直线\(l_3\)、\(l_4\)、\(l_5\)，分别与\(l_1\)交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)，与\(l_2\)交于点\(D\)、\(E\)、\(F\)。
测量与计算：
用直尺测量线段\(AB\)、\(BC\)、\(DE\)、\(EF\)的长度（标注在图上，例如\(AB = 2cm\)，\(BC = 4cm\)，\(DE = 3cm\)，\(EF = 6cm\)）。
计算比例：\(\frac{AB}{BC}\)和\(\frac{DE}{EF}\)，引导学生发现\(\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)。
改变条件再验证：调整平行线的数量（如增加到 4 条）或改变平行线的间距，重复测量计算，让学生观察比例关系是否依然成立。
得出结论：当一组平行线与两条相交直线相交时，它们所截得的对应线段成比例。
幻灯片 4：平行线分线段成比例基本事实（规范表述）
基本事实内容：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
符号表示：如图，若\(l_3 \parallel l_4 \parallel l_5\)，且分别交\(l_1\)于\(A\)、\(B\)、\(C\)，交\(l_2\)于\(D\)、\(E\)、\(F\)，则\(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\)，也可写成\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)（交叉比例依然成立）。
注意要点：
“对应线段” 指的是两条直线上被同一条平行线截得的线段，例如\(AB\)与\(DE\)对应，\(BC\)与\(EF\)对应。
平行线的数量不限，即使只有两条平行线，也能截得成比例的线段（如\(l_3 \parallel l_4\)，则\(\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{DF}\)）。
幻灯片 5：推论（平行于三角形一边的直线）
图形转化与推导：
图形构建：将幻灯片 3 中的两条相交直线\(l_1\)、\(l_2\)的交点\(O\)看作三角形的一个顶点，若在\(l_1\)上取\(AC\)为三角形的一边，在\(l_2\)上取\(DF\)为另一边，连接\(CF\)，则形成\(\triangle OCF\)；此时\(l_4\)（过\(B\)、\(E\)的平行线）平行于\(CF\)，且交\(OC\)于\(B\)，交\(OF\)于\(E\)。
得出推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
符号表示：在\(\triangle ABC\)中，若\(DE \parallel BC\)，且\(D\)在\(AB\)上，\(E\)在\(AC\)上，则\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，同时\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\)（补充完整比例关系）。
幻灯片 6：推论的几何语言与图形示例
几何语言规范：
如图，在\(\triangle ABC\)中，
∵ \(DE \parallel BC\)（已知），
∴ \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)（平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例）。
图形示例：
展示两种常见图形：
平行线\(DE\)在三角形内部，截\(AB\)、\(AC\)于中间位置（如\(AD = 1cm\)，\(DB = 2cm\)，\(AE = 1.5cm\)，\(EC = 3cm\)，验证\(\frac{1}{2} = \frac{1.5}{3}\)）。
平行线\(DE\)在三角形外部，截\(AB\)、\(AC\)的延长线（如\(AD = 3cm\)，\(DB = 1cm\)，\(AE = 6cm\)，\(EC = 2cm\)，验证\(\frac{3}{1} = \frac{6}{2}\)），强调 “两边的延长线” 同样适用推论。
幻灯片 7：课堂练习 1（基本事实应用）
题目展示：
如图，直线\(l_1 \parallel l_2 \parallel l_3\)，分别交直线\(m\)于\(A\)、\(B\)、\(C\)，交直线\(n\)于\(D\)、\(E\)、\(F\)。已知\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，\(DE = 3\)，求\(EF\)的长。
解答过程：
明确依据：∵ \(l_1 \parallel l_2 \parallel l_3\)（已知），
∴ \(\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}\)（两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例）。
代入计算：将\(AB = 4\)，\(BC = 6\)，\(DE = 3\)代入比例式，得\(\frac{4}{6} = \frac{3}{EF}\)。
求解\(EF\)：交叉相乘得\(4EF = 6??3 = 18\)，∴ \(EF = \frac{18}{4} = 4.5\)。
答案：\(EF = 4.5\)（或写成分数形式\(\frac{9}{2}\)）。
幻灯片 8：课堂练习 2（推论应用）
题目展示：
在\(\triangle ABC\)中，\(DE \parallel BC\)，\(AD = 2\)，\(DB = 3\)，\(AE = 4\)，求\(AC\)的长。
解答过程：
依据推论：∵ \(DE \parallel BC\)（已知），
∴ \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)（平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例）。
代入已知量：\(AD = 2\)，\(DB = 3\)，\(AE = 4\)，代入得\(\frac{2}{3} = \frac{4}{EC}\)。
求解\(EC\)：交叉相乘得\(2EC = 3??4 = 12\)，∴ \(EC = 6\)。
计算\(AC\)：∵ \(AC = AE + EC\)，∴ \(AC = 4 + 6 = 10\)。
答案：\(AC = 10\)。
幻灯片 9：课堂总结
知识梳理：
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例（适用于任意两条相交直线被平行线截取的情况）。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），对应线段成比例（是基本事实在三角形中的特殊应用，应用更广泛）。
核心思路：通过 “平行关系” 建立 “线段比例关系”，将几何中的位置关系转化为数量关系，为后续相似三角形的学习奠定基础。
解题步骤：
第一步：识别图形中的平行线和被截直线（或三角形与平行线）；
第二步：根据基本事实或推论写出对应线段的比例式；
第三步：代入已知线段长度，求解未知线段。
幻灯片 10：课后作业布置
书面作业：
课本课后练习题，重点完成利用基本事实和推论求未知线段长度的题目，要求写出完整的依据和解题过程。
拓展题：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(DE \parallel BC\)，\(DF \parallel AC\)，若\(AD = 5\)，\(DB = 3\)，求\(\frac{BF}{FC}\)的值（提示：结合两个推论的应用）。
实践作业：
观察生活中的 “平行线分线段” 现象，例如网格纸（横线与竖线平行）、窗户的窗框（横档与竖档平行），选择一个实例，测量相关线段长度，验证平行线分线段成比例的规律，下节课分享你的测量过程和结论。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.1.2 平行线分线段成比例
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么是成比例线段？
问题2 你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是 2 : 3？
回顾与思考
平行线分线段成比例
如图1，小方格的边长都是 1，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于A1，A2，A3，B1，B2，B3.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图1
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
(1) 计算 ，你有什么发现？
(2) 将 b 向下平移到如图2的位置，直线 m，n 与直线
b 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结
论还成立吗？如果将 b 平移到其他位置呢？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
A1
A2
A3
B1
B2
B3
m
n
a
b
c
图 2
成立，直线 b 平移到其他位置依然成立.
(3) 在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？
成比例
归纳：
平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
若 a ∥b∥ c ，则 .
符号语言：
1.如何理解“对应线段”？
2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？
议一议
如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中哪些对应成比例的线段？
A1
A2
A3
B1
B2
B3
b
c
m
n
a
观察与思考
把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段依然成比例吗？
平行于三角形一边的直线的性质
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
推论：
如图，在△ABC 中， EF∥BC.
（1）如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7， FC = 4，那么 AF 的长是多少？
（2）如果 AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
练一练
1.直线 l1//l2//l3，l4、l5、l6 被 l1、l2、l3 所截且 AB = BC，则图中还有哪些线段相等？
思考：当平行线之间的距离相等时，对应线段的比是多少？
l5
l6
A
D
M
l4
l3
l2
B
C
E
F
N
O
l1
DE = EF，MN = ON
2.如图，已知菱形 ABCD 内接于 △AEF，AE = 5 cm，AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB.
∴
设菱形的边长为 x cm，则 CD = AD = x cm，DF = (4－x) cm，
∴ 解得 x = ∴菱形的边长为 cm.
返回
C
返回
【答案】C
返回
4.如图，已知直线l1，l2，l3分别截直线l4于点A，B，C，截直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3.
(1)如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；
(2)如果DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长.
返回
返回
【答案】D
返回
【答案】A
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
2.平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑