资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.3.1 相似三角形
副标题：从定义到应用，探索三角形相似的奥秘
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计理念：以 “生活实例→理论推导→实践应用” 为主线，构建完整的知识体系
幻灯片 2：课程导入（优化版）
复习回顾：
提问 1：相似图形的核心特征是什么？（预设答案：对应角相等、对应边成比例，与位置、大小无关）
提问 2：请举例说明生活中的相似图形（学生可能回答：不同尺寸的照片、同型号的玩具模型等）
过渡：三角形作为最基本的几何图形之一，当它满足相似图形的特征时，就成为 “相似三角形”。今天我们将从定义、判定、性质三个维度，系统学习相似三角形。
情境展示（新增动态元素）：
动态图 1：一个三角形通过 “缩放” 变换，得到另一个形状相同的三角形，标注对应角相等、对应边成比例的关系。
实物图 2：建筑图纸中的三角形结构（如屋顶桁架），对比图纸与实际建筑的三角形尺寸，直观体现相似比。
引导提问：缩放后的三角形与原三角形，哪些量没变？哪些量变了？这种变化规律如何用数学语言描述？
幻灯片 3：相似三角形的定义（补充细节）
定义精准阐述：
文字定义：对应角分别相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
符号定义：若△ABC 与△A'B'C' 相似，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)（\(k\)为相似比，\(k>0\)）。
与全等三角形的关系（表格对比）：
对比维度
相似三角形
易错点提醒：
若仅对应角相等，不一定是相似三角形（需结合对应边成比例，但三角形中 “三角对应相等” 可推导 “三边对应成比例”，后续判定定理会验证）；
若仅对应边成比例，也不一定是相似三角形（需结合对应角相等，但三角形中 “三边对应成比例” 可推导 “三角对应相等”）。
幻灯片 4：相似三角形的表示方法与相似比（强化理解）
表示方法规范：
符号：“∽”，读作 “相似于”，必须严格按照 “对应顶点顺序书写”。
正确示例：△ABC ∽ △DEF（表示∠A→∠D，∠B→∠E，∠C→∠F；AB→DE，BC→EF，AC→DF）。
错误示例：△ABC ∽ △EDF（对应顶点顺序混乱，会导致对应角、对应边关系错误）。
相似比深度解析：
定义：相似三角形对应边的比值，记为\(k\)。
双向性：
若△ABC ∽ △DEF，相似比\(k_{1}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}\)，表示△ABC 是△DEF 的 “缩小版”；
则△DEF ∽ △ABC，相似比\(k_{2}=\frac{DE}{AB}=2\)，表示△DEF 是△ABC 的 “放大版”。
易错点：相似比与 “谁比谁” 有关，不能随意颠倒顺序；若\(k=1\)，则两三角形全等。
小练习：
若△MNP ∽ △QRS，且\(MN=2\)，\(QR=4\)，则相似比\(k=\)？（答案：\(\frac{1}{2}\)，需明确是△MNP:△QRS）
幻灯片 5：相似三角形的判定定理 1（AA 判定，补充推导细节）
探究活动（可操作化）：
工具：直尺、量角器、坐标纸。
几何语言与图形标注：
图形：在△ABC 和△A'B'C' 中，标注∠A=∠A'，∠B=∠B'。
语言：∵ ∠A=∠A'，∠B=∠B'（已知），∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。
幻灯片 6：相似三角形的判定定理 2（SAS 判定，新增反例图形）
定理讲解（结合图形）：
定理内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（简记 “SAS”）。
核心要素：“两边成比例”+“夹角相等”，两者缺一不可。
图形示例（清晰标注）：
图 1（相似）：△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=60°；△A'B'C' 中，A'B'=2，A'C'=3，∠A'=60°。标注\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=2\)，∠A=∠A'，结论相似。
图 2（不相似，新增）：△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°；△A'B'C' 中，A'B'=2，B'C'=3，∠C'=60°。标注 “相等的角不是夹角”，计算对应边比例不相等，结论不相似。
注意要点（强化记忆）：
“夹角” 是指两条成比例边的公共角，若相等的角是 “对顶角” 或 “非公共角”，则无法判定相似；
可类比全等三角形的 “SAS” 判定（两边及其夹角相等），相似三角形的 “SAS” 是 “两边成比例且夹角相等”，后者更强调 “比例关系”。
幻灯片 7：相似三角形的判定定理 3（SSS 判定，补充排序法）
定理内容与推导：
定理：三边成比例的两个三角形相似（简记 “SSS”）。
推导思路：通过 “尺规作图”，用三边成比例的条件画三角形，发现与原三角形形状相同，再测量对应角相等，验证相似。
实例验证（排序法应用）：
例 1：△ABC 三边为 3、4、5；△DEF 三边为 6、8、10。
排序：△ABC：3<4<5；△DEF：6<8<10。
比例：\(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)，三边成比例，故相似。
例 2：△MNP 三边为 2、3、4；△QRS 三边为 3、4、5。
排序：2<3<4；3<4<5。
比例：\(\frac{2}{3} \frac{3}{4} \frac{4}{5}\)，三边不成比例，故不相似。
特殊三角形应用：
所有等边三角形都相似（三边都相等，比例为 1:1 或其他固定值）；
等腰三角形若腰与底的比相等，则相似（如△ABC：腰 = 2，底 = 3；△A'B'C'：腰 = 4，底 = 6，比例为 1:2，故相似）。
幻灯片 8：判定定理对比表格（新增，强化区分）
判定定理
条件
适用场景
关键注意点
类比全等判定
AA
两角分别相等
已知角的关系（如平行线、公共角、对顶角）
无需验证第三角（内角和推导）
AAS/ASA
SAS
两边成比例 + 夹角相等
已知两边及夹角关系
必须是 “夹角”，非夹角无效
SAS
SSS
三边成比例
已知三边长度（如网格图、给出具体数值）
先排序，再算比例
SSS
幻灯片 9：课堂练习 1（优化题目，覆盖多种场景）
题目 1（AA 判定，平行线场景）：
如图，DE ∥ BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E。求证：△ADE ∽ △ABC。
解答：∵ DE ∥ BC（已知），∴ ∠ADE=∠B（同位角相等），∠AED=∠C（同位角相等），∴ △ADE ∽ △ABC（AA 判定）。
题目 2（SAS 判定，含公共角）：
在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=50°；在△A'B'C' 中，A'B'=3，A'C'=4，∠A'=50°。判断两三角形是否相似，并说明理由。
解答：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{4}=2\)，且∠A=∠A'=50°（公共角类型），∴ △ABC ∽ △A'B'C'（SAS 判定）。
题目 3（SSS 判定，特殊三角形）：
判断两个等腰三角形是否相似：△1：腰 = 5，底 = 6；△2：腰 = 10，底 = 12。
解答：排序后，△1：5、5、6；△2：10、10、12。比例：\(\frac{5}{10}=\frac{5}{10}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)，三边成比例，∴ 相似（SSS 判定）。
幻灯片 10：课堂练习 2（拓展应用，结合周长与边长）
题目展示：
△ABC ∽ △A'B'C'，相似比\(k=\frac{2}{3}\)。
若 AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，求△A'B'C' 的周长；
若△A'B'C' 的面积比△ABC 大 20cm ，求两三角形的面积（提示：相似三角形面积比等于相似比的平方）。
解答过程：
求△A'B'C' 的周长：
△ABC 周长\(C=4+5+6=15cm\)。
相似三角形周长比 = 相似比，即\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=\frac{2}{3}\)。
∴ \(C_{A'B'C'}=15 \frac{3}{2}=22.5cm\)。
求两三角形的面积：
设△ABC 面积为\(S\)，则△A'B'C' 面积为\(S+20\)。
相似三角形面积比 = 相似比的平方，即\(\frac{S}{S+20}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}\)。
交叉相乘：\(9S=4(S+20)\)，解得\(S=16cm \)，\(S+20=36cm \)。
答案：△A'B'C' 的周长为 22.5cm；△ABC 面积为 16cm ，△A'B'C' 面积为 36cm 。
幻灯片 11：课堂总结（结构化梳理）
知识框架图：
解题技巧：
判定相似：
有角找 AA（优先看公共角、对顶角、平行线产生的角）；
有边找 SAS（确认夹角是否相等）或 SSS（先排序再算比例）。
计算问题：
明确相似比的 “方向”（谁比谁）；
利用 “周长比 = 相似比”“面积比 = 相似比 ” 快速解题。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成相似三角形的判定（3 道）和边长计算（2 道），写出完整步骤；
画图题：用尺规画一个与已知△ABC 相似的三角形，相似比为\(\frac{3}{2}\)，并标注对应角和对应边。
提高层（选做）：
证明题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，求证：△ACD∽△ABC∽△CBD；
应用题：小明用相似三角形测量旗杆高度，他身高 1.6m，站立时影子长 2m，同时测得旗杆影子长 15m，求旗杆高度（忽略地面坡度）。
实践层（拓展）：
调查生活中 3 个应用相似三角形的实例（如摄影、测量、建筑），用文字或画图描述原理；
制作一个 “相似三角形” 模型（如用吸管制作两个相似三角形框架），下节课展示并讲解制作思路。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.1 相似三角形
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 相似多边形的主要特征是什么？
问题2 怎样判定两个多边形是否相似？
回顾与思考
我们就说 △ABC 与 △A′B′C′______，记作__________________，△ABC 与 △A′B′C′ 相似比是 k，则 △A′B′C′ 与 △ABC 的相似比是____.
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，如果∠A = ∠A′， ∠B = ∠B′，∠C = ∠C′，且
△ABC∽△A′B′C′
相似
相似三角形的性质及有关概念
反之如果 △ABC∽△A′B′C′，则有∠A =_____，∠B =_____，∠C =____，且
∠A′
∠B′
∠C′
相似比为 1 时，相似的
两个图形有什么关系？
当相似比等于 1 时，相似图形是全等图形，全等是一种特殊的相似.
由平行线判定两个三角形相似
如图，DE//BC， △ADE 与 △ABC 有什么关系？说明理由.
A
B
C
D
解：相似，在 △ADE 与 △ABC 中，
∠A = ∠A.
∵ DE//BC，
∴∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C，
过 E 作 EF//AB 交 BC 于 F，
F
E
探究归纳
∵四边形 DBFE 是平行四边形，
∴DE = BF.
∴△ADE∽△ABC
A
B
C
D
F
E
平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
（图2）
D
E
O
B
C
A
B
C
D
E
（图1）
归纳
1.如果两个三角形的相似比为 1，那么这两个三角形_______.
2.若△ABC 与△A′B′C′ 相似，一组对应边的长为 AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，那么△A′B′C′ 与△ABC 的相似比是______ .
全等
4 : 3
3.若△ABC 的三条边长的比为 3 cm、5 cm、6 cm，与其相似的另一个△A′B′C′ 的最小边长为 12 cm，那么△ A′B′C′ 的最大边长是_____cm.
24
4.已知△ABC 的三条边长为 3 cm，4 cm，5 cm，△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1 的形状是__________，又知△A1B1C1 的最大边长为 25 cm，那么△A1B1C1 的面积为_______cm2.
直角三角形
150
5.若△ABC 与△A′B′C′ 相似，∠A = 55°，∠B = 100°，那么∠ C′ 的度数是（ ）
A. 55° B. 100° C. 25° D. 不能确定
C
6.把△ABC 的各边分别扩大为原来的 3 倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（ ）
A. △ABC∽△A′B′C′
B. △ABC 与△A′B′C′ 的各对应角相等
C. △ABC 与△A′B′C′ 的相似比为
D. △ABC 与△A′B′C′ 的相似比为
C
返回
1.已知△ABC∽△DEF，AB＝8 cm，DE＝12 cm，则△ABC与△DEF的相似比是(　　)
　A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4
A
返回
2.已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶4，则△DEF与△ABC的相似比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3 C．4∶1 D．1∶16
C
3.如图，在 ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中的相似三角形有(　　)
A．4对 B．5对
C．6对 D．7对
返回
【点拨】图中的相似三角形有△ABC∽△CDA，△AGE∽△ABC，△AFE∽△CBE，△BGE∽△BAF，△AGE∽△CDA，共5对．
【答案】B
返回
【答案】A
返回
A
6.如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且∠ABE＝∠CDF.
(1)直接写出四边形BEDF的形状；
【解】四边形BEDF为平行
四边形.
2. 当相似比等于 1 时，相似图形即是全等图形，全等是一种特殊的相似；
3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
1. 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，相似比等于对应边的比；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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