资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.3.2.1 相似三角形的判定（用角的关系判定）
副标题：从角的相等关系探索相似本质
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：我们已经知道，相似三角形的核心特征是什么？（学生回答：对应角相等、对应边成比例）
提问 2：如果两个三角形的角满足某种关系，是否能直接判定它们相似呢？比如两个三角形有一个角相等，它们一定相似吗？有两个角相等呢？
情境探究：
展示图片：
两个含 30° 角的三角形（一个是 30°、60°、90° 的直角三角形，另一个是 30°、30°、120° 的等腰三角形），标注出相等的 30° 角。
两个含 60° 角的直角三角形（一个直角边为 3、4，另一个直角边为 6、8），标注出 60° 角和直角。
引导提问：左边两个三角形都有 30° 角，但形状明显不同，为什么？右边两个三角形都有 60° 角和直角，形状看起来一样，这又是什么原因？今天我们就来探究 “用角的关系判定三角形相似” 的规律。
幻灯片 3：探究活动（两角分别相等的三角形是否相似）
探究步骤：
画图操作：
让学生在练习本上画△ABC，使∠A = 60°，∠B = 40°，计算∠C = 180° - 60° - 40° = 80°。
再画△A'B'C'，使∠A' = 60°，∠B' = 40°，计算∠C' = 180° - 60° - 40° = 80°。
测量与对比：
测量两个三角形的边长：AB、BC、AC 和 A'B'、B'C'、A'C'。
计算对应边的比例：\(\frac{AB}{A'B'}\)、\(\frac{BC}{B'C'}\)、\(\frac{AC}{A'C'}\)，记录结果（学生测量后会发现三个比例基本相等）。
改变角度再验证：
让学生自主设定两个角的度数（如∠A = 50°，∠B = 70°），重复上述画图、测量、计算步骤，观察比例关系是否依然成立。
初步结论：当两个三角形有两个角分别相等时，它们的第三个角也相等（三角形内角和为 180°），且对应边成比例，因此这两个三角形相似。
幻灯片 4：相似三角形的判定定理 1（用角的关系：两角分别相等）
定理规范表述：
内容：两角分别相等的两个三角形相似（简记为 “AA” 判定，即 “Angle-Angle” 判定）。
推导依据：
三角形内角和为 180°，若两个角分别相等，则第三个角必然相等（三个角对应相等）。
通过探究测量可知，三个角对应相等的三角形，对应边成比例，满足相似三角形的定义。
几何语言：
如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，
∵ ∠A = ∠A'，∠B = ∠B'（已知），
∴ △ABC ∽ △A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。
注意要点：
只需 “两个角分别相等” 即可判定相似，无需再验证第三个角（由内角和定理可推导），也无需验证边的比例（由角的关系可推导边成比例）。
幻灯片 5：定理的常见应用场景与反例
常见应用场景：
含公共角的三角形：
如图，在△ABC 中，D 在 AB 上，DE ∥ BC，交 AC 于 E，则∠A 是△ABC 和△ADE 的公共角，且∠ADE = ∠B（同位角相等），因此△ABC ∽ △ADE。
含对顶角的三角形：
如图，AB 和 CD 相交于 O，若∠A = ∠D，则∠AOC = ∠DOB（对顶角相等），因此△AOC ∽ △DOB。
直角三角形：
两个直角三角形，若有一个锐角相等，则另一个锐角也相等（直角都是 90°），因此这两个直角三角形相似（如含 30° 角的直角三角形都相似）。
反例分析（一个角相等不能判定相似）：
展示图形：△ABC 中∠A = 30°，∠B = 60°（直角三角形）；△DEF 中∠D = 30°，∠E = 30°（等腰三角形）。
分析：虽然两个三角形都有 30° 角（一个角相等），但其他角不相等（△ABC 中∠C = 90°，△DEF 中∠F = 120°），对应边也不成比例，因此两个三角形不相似。
结论：仅一个角相等的两个三角形不一定相似，必须满足 “两个角分别相等”。
幻灯片 6：典型例题解析（含公共角的相似判定）
例题展示：
如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，∠BAD = ∠C。求证：△ABD ∽ △CBA。
证明过程：
找相等的角：
已知∠BAD = ∠C（题目给出）。
∠B 是△ABD 和△CBA 的公共角（两个三角形都含∠B）。
应用判定定理：
∵ ∠BAD = ∠C，∠B = ∠B（公共角），
∴ △ABD ∽ △CBA（两角分别相等的两个三角形相似）。
解题思路总结：
第一步：观察图形，寻找公共角、对顶角或已知条件中给出的相等角；
第二步：验证是否有两个角分别相等；
第三步：根据 “AA” 判定定理得出相似结论。
幻灯片 7：课堂练习 1（基础应用：直角三角形相似判定）
题目展示：
判断下列各组直角三角形是否相似，并说明理由。
△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°；△DEF 中，∠F = 90°，∠D = 30°。
△MNP 中，∠P = 90°，MN = 5，NP = 3；△QRS 中，∠S = 90°，QR = 10，RS = 6。
解答过程：
相似。理由：
两个三角形都是直角三角形，∴ ∠C = ∠F = 90°（一组角相等）。
又∠A = ∠D = 30°（另一组角相等），
根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，可得△ABC ∽ △DEF。
相似。理由：
两个三角形都是直角三角形，∴ ∠P = ∠S = 90°（一组角相等）。
计算锐角：在△MNP 中，\(\cos N = \frac{NP}{MN} = \frac{3}{5}\)；在△QRS 中，\(\cos R = \frac{RS}{QR} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)，∴ ∠N = ∠R（另一组角相等），
根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，可得△MNP ∽ △QRS。
幻灯片 8：课堂练习 2（综合应用：含对顶角的相似判定）
题目展示：
如图，已知 AB ∥ CD，AD 和 BC 相交于点 O。求证：△AOB ∽ △DOC。
证明过程：
利用平行线找相等角：
∵ AB ∥ CD（已知），
∴ ∠OAB = ∠ODC（两直线平行，内错角相等），
∠OBA = ∠OCD（两直线平行，内错角相等）。
应用判定定理：
∵ ∠OAB = ∠ODC，∠OBA = ∠OCD，
∴ △AOB ∽ △DOC（两角分别相等的两个三角形相似）。
拓展提问：若 AB = 4，CD = 6，求 AO 与 OD 的比（提示：相似三角形对应边成比例）。
解答：∵ △AOB ∽ △DOC，∴ \(\frac{AO}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)。
幻灯片 9：课堂总结
知识梳理：
核心定理：两角分别相等的两个三角形相似（AA 判定），只需两个角对应相等，即可判定相似。
关键逻辑：
三角形内角和为 180°，两个角相等→第三个角相等→三个角对应相等；
三个角对应相等→对应边成比例→满足相似三角形定义。
常见应用场景：
含公共角的三角形（如△ABC 与△ABD 共∠B）；
含对顶角的三角形（如△AOC 与△DOB 共对顶角∠AOC = ∠DOB）；
直角三角形（一个锐角相等即可判定相似）。
易错点：仅一个角相等不能判定相似，必须满足 “两个角分别相等”。
解题步骤：
观察图形，识别公共角、对顶角或利用平行线、已知条件找相等角；
验证是否有两组角分别相等；
依据 AA 判定定理得出相似结论；
（可选）利用相似三角形的性质（对应边成比例）求解未知线段。
幻灯片 10：课后作业布置
书面作业：
课本课后练习题，完成用 AA 判定定理证明三角形相似的题目，要求写出完整的证明过程（标注依据）。
拓展题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，CD⊥AB 于 D。求证：△ACD ∽ △ABC ∽ △CBD（提示：利用直角和公共角找相等角）。
实践作业：
用硬纸板制作两个含 60° 角的直角三角形（大小不同），测量它们的各角度数和对应边长度，验证 “两角分别相等的三角形相似”；
观察生活中应用 “角的关系判定相似” 的场景（如斜拉桥的三角形支架、摄影镜头的三角架），用文字描述其中的相似关系，下节课分享你的发现。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.2.1 相似三角形的判定
-- 用角的关系判定三角形相似
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 两个三角形全等有哪些判定方法？
问题2 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
观察与思考
如下图画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍，
度量这两个三角形的对应角，
它们相等吗？这两个三角形
相似吗？
E
解：相等，因而相似.
利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
C
B
A
F
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
证明：
在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上截取点 D，
使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，
交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE ≌ △ABC，
∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵ A′D=AB，
∴
由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
归纳：
如果两个三角形两边成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.
A
B
C
D
E
F
不相似
探究归纳
归纳：
如果两个三角形两边对应成比例，但对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.
注意：对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
如图，△ABC 与△ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB =∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
∴△ABC∽△ADE.
练一练
证明：
如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，求 AD 的长．
A
B
C
D
解：∵AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD = ，
∴
又∵∠B =∠ACD，
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ ，
∴
画 △ABC 和 △A′B′C′，使 ，
动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两
个三角形是否相似？
利用三边对应成比例判定两个三角形相似
合作探究
A
B
C
C′
B′
A′
∴ DE =B′C′，EA = C′A′.
∴△ADE ≌ △A′B′C′
△A′B′C′ ∽ △ABC.
∴ ， .
又 ，AD = A′B′，
∴
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC.
过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD = A′B′，
C′
B′
A′
B
C
A
D
E
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
简单地说：三边对应成比例，两个三角形相似.
A
B
C
C′
B′
A′
归纳总结
利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
∵ ，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
符号语言：
1.如图，已知 ，试说明∠BAD =∠CAE.
解：∵ ，
∴△ABC∽△ADE .
∴∠BAC =∠DAE .
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，
即∠BAD =∠CAE .
练一练
A
D
C
E
B
2. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
∴△ABC∽△A′B′C′.
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
方法归纳
1.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.
∠A = 120°，AB = 3 cm，AC = 6 cm，∠A′ = 120°，A′B′ = 6 cm，A′C′ = 12 cm.
∴A′B′ : AB = A′C′ : AC，∠A =∠A′，
∴△A′B′C′∽△ABC
解：∵A′B′ : AB = 2，A′C′ : AC = 2，∠A =∠A′ = 120°.
(2) AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，A′B′ = 12cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 21 cm
2. 判断图中△AEB 和△FEC 是否相似？
解：∵
∴△AEB∽△FEC.
∵∠1＝∠2，
∴
54
30
36
45
E
A
F
C
B
1
2
(
(
返回
1.如图，在△ABC中，点D在AB上(不与点A，B重合)，连结CD．只需添加一个条件即可证明△ACD与△ABC相似，这个条件可以是_________________________(写出一个即可).
∠ACD＝∠B(答案不唯一)
2.[2023·东营]如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°，若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为(　　)
A．1.8 B．2.4
C．3 D．3.2
返回
【答案】C
3.如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F.下列结论：①△AFE∽△DFC；②DA平分∠BDE；③∠CDF＝∠BAD．其中所有正确
结论的序号是(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
返回
【点拨】由旋转的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD，∠E＝∠C，进而得出∠B＝∠ADB，得出∠ADE＝∠ADB，得出DA平分∠BDE，可判断结论②正确．由∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，得出△AFE∽△DFC，可判断结论①正确．由∠BAC＝∠DAE，得出∠BAD＝∠FAE，由相似三角形的性质得出∠FAE＝∠CDF，进而得出∠BAD＝∠CDF，可判断结论③正确．
【答案】D
4.[2023·济南高新区期末]如图所示，将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若AB＝4，则GH＝________.
返回
相似三角形的判定定理3:如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
简单地说:三边对应成比例，两三角形相似.
相似三角形的判定定理:
相似三角形的判定定理1:两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2:如果两个三角形两边对应成比例，两条对应边的夹角相等，那么两个三角形相似.
注意:对应相等的角一定要是两条对应边的夹角.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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