资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.3.4 相似三角形的应用
副标题：用相似性质解决生活中的测量与几何问题
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “生活问题→数学建模→相似应用→解决问题” 为路径，提升实践能力
幻灯片 2：课程导入
情境展示：
图片 1：小明站在旗杆旁，想知道旗杆的高度，但无法直接攀爬测量。
图片 2：工程师在河边，需要测量河对岸两点之间的距离，无法直接跨越河流。
图片 3：零件图纸上，一个三角形零件的尺寸标注不全，需要根据相似关系补全。
引导提问：这些问题中，我们都无法直接测量所需的长度，那能不能利用我们学过的相似三角形的性质来解决呢？相似三角形的对应边成比例、对应高成比例等性质，正是解决这类 “间接测量” 问题的关键。今天我们就来探索相似三角形在生活和数学中的具体应用。
幻灯片 3：应用场景 1—— 测量物体高度（利用平行投影）
原理分析：
平行投影特点：在同一时刻，太阳光可以看作平行光线，此时物体的高度与它的影子长度的比是一个固定值。若两个物体都垂直于地面，则它们与各自的影子构成的两个直角三角形相似（AA 判定：直角相等，太阳光与地面夹角相等）。
实例讲解：
问题：在同一时刻，测得小明的身高为 1.6m，他的影子长度为 2m；同时测得旗杆的影子长度为 15m，求旗杆的高度。
解题步骤：
建立模型：设小明身高为\(h_1 = 1.6m\)，影子长\(l_1 = 2m\)；旗杆高度为\(h_2\)（未知），影子长\(l_2 = 15m\)。由于△小明（直角三角形）∽△旗杆（直角三角形），故\(\frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2}\)。
代入计算：\(\frac{1.6}{2} = \frac{h_2}{15}\)，解得\(h_2 = \frac{1.6 15}{2} = 12m\)。
结论：旗杆的高度为 12m。
注意要点：确保物体与地面垂直，且在同一时刻测量（保证平行光线的夹角相同）。
幻灯片 4：应用场景 2—— 测量物体高度（利用标杆）
原理分析：
当没有平行投影条件时，可使用标杆辅助测量。观察者、标杆顶部、物体顶部在同一直线上，观察者与标杆、观察者与物体分别构成两个相似的直角三角形（AA 判定：直角相等，公共角相等）。
实例讲解：
问题：观察者站在距离建筑物 10m 处，眼睛距离地面 1.5m；在观察者与建筑物之间放置一根高 2m 的标杆，标杆距离观察者 3m，且标杆垂直于地面。求建筑物的高度。
解题步骤：
建立模型：设观察者眼睛位置为点 A，标杆顶部为点 B，建筑物顶部为点 C；观察者脚的位置为点 D，标杆底部为点 E，建筑物底部为点 F。则 AD = 1.5m（眼睛高度），BE = 2m（标杆高），DE = 3m（观察者到标杆距离），DF = 10m（观察者到建筑物距离），EF = DF - DE = 7m。△ABE ∽ △ACD（AA 判定：∠A 为公共角，∠AEB = ∠ADC = 90°）。
计算对应边：AE = DE = 3m，AD = DF = 10m，BE - AD = 2 - 1.5 = 0.5m（标杆超出眼睛的高度）。设建筑物超出眼睛的高度为\(x\)，则\(\frac{0.5}{3} = \frac{x}{10}\)，解得\(x = \frac{0.5 10}{3} 1.67m\)。
求建筑物高度：建筑物高度 = 眼睛高度 + \(x\) = 1.5 + 1.67 ≈ 3.17m（或用分数表示为\(\frac{19}{6}m\)）。
图形标注：在幻灯片上画出示意图，标注各点和线段长度，帮助学生理解模型构建。
幻灯片 5：应用场景 3—— 测量两点间距离（无法直接到达）
原理分析：
对于无法直接到达的两点（如河对岸的 A、B 两点），可在地面上选取一点 C，连接 AC、BC 并延长，使 CD = AC，CE = BC，连接 DE。此时△ABC ∽ △DEC（SAS 判定：AC = CD，BC = CE，∠ACB = ∠DCE（对顶角相等）），故 AB = DE，测量 DE 的长度即可得到 AB 的长度。
实例讲解：
问题：测量河对岸 A、B 两点间的距离。在河的这边选取点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD = AC；连接 BC 并延长到 E，使 CE = BC，测量 DE 的长度为 20m，求 AB 的长度。
解题步骤：
证明相似：∵ CD = AC，CE = BC，∠ACB = ∠DCE（对顶角相等），∴ △ABC ∽ △DEC（SAS 判定）。
利用性质：∵ △ABC ∽ △DEC，∴ \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{CD} = 1\)（因 AC = CD），故 AB = DE = 20m。
结论：河对岸 A、B 两点间的距离为 20m。
拓展思考：若 AC = 2CD，CE = 2BC，测量 DE = 15m，那么 AB 的长度是多少？（答案：30m，根据相似比为 2:1，AB = 2DE）
幻灯片 6：应用场景 4—— 几何图形中的计算（补全零件尺寸）
原理分析：
在零件图纸或几何图形中，常利用相似三角形的对应边成比例，补全缺失的尺寸或计算未知线段的长度。
实例讲解：
问题：如图，一个三角形零件 ABC 中，DE ∥ BC，DE 是零件上的一条刻线，已知 AD = 3cm，DB = 6cm，DE = 2cm，求 BC 的长度。
解题步骤：
证明相似：∵ DE ∥ BC，∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等），∴ △ADE ∽ △ABC（AA 判定）。
计算相似比：AB = AD + DB = 3 + 6 = 9cm，相似比\(k = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)。
求 BC 长度：∵ △ADE ∽ △ABC，∴ \(\frac{DE}{BC} = k = \frac{1}{3}\)，即\(\frac{2}{BC} = \frac{1}{3}\)，解得 BC = 6cm。
结论：零件上 BC 的长度为 6cm。
幻灯片 7：课堂练习 1（测量高度）
题目展示：
在同一时刻，测得一根直立在地面上的竹竿高度为 2m，影子长度为 1.5m；同时测得一棵大树的影子长度为 9m，求这棵大树的高度。
解答过程：
建立相似模型：同一时刻太阳光为平行光线，竹竿与影子、大树与影子均构成直角三角形，且两三角形相似（AA 判定：直角相等，光线与地面夹角相等）。
设未知数：设大树高度为\(h\)，根据相似三角形对应边成比例，得\(\frac{2}{1.5} = \frac{h}{9}\)。
求解：\(h = \frac{2 9}{1.5} = 12m\)。
答案：这棵大树的高度为 12m。
幻灯片 8：课堂练习 2（测量距离）
题目展示：
为测量池塘两端 A、B 的距离，小明在池塘外选取一点 O，连接 OA、OB，分别取 OA、OB 的中点 C、D，连接 CD。若测量得 CD = 10m，求池塘两端 A、B 的距离。
解答过程：
证明相似：∵ C、D 分别是 OA、OB 的中点，∴ OC = \(\frac{1}{2}\)OA，OD = \(\frac{1}{2}\)OB，且∠COD = ∠AOB（公共角）。∴ △COD ∽ △AOB（SAS 判定：两边成比例且夹角相等，相似比为\(\frac{1}{2}\)）。
利用相似性质：∵ △COD ∽ △AOB，∴ \(\frac{CD}{AB} = \frac{1}{2}\)，即\(\frac{10}{AB} = \frac{1}{2}\)。
求解：AB = 10×2 = 20m。
答案：池塘两端 A、B 的距离为 20m。
幻灯片 9：课堂练习 3（几何图形计算）
题目展示：
如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于 D，已知 AC = 6cm，BC = 8cm，求 CD 的长度。
解答过程：
证明相似：∵ ∠ACB = 90°，CD⊥AB，∴ ∠ADC = ∠ACB = 90°，且∠A 为公共角，∴ △ACD ∽ △ABC（AA 判定）。
计算 AB 长度：在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB = \(\sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10cm\)。
利用相似性质求 CD：∵ △ACD ∽ △ABC，∴ \(\frac{CD}{BC} = \frac{AC}{AB}\)（对应高的比等于相似比，CD 是△ACD 的高，BC 是△ABC 的高）。代入数据得\(\frac{CD}{8} = \frac{6}{10}\)，解得 CD = \(\frac{6 8}{10} = 4.8cm\)。
答案：CD 的长度为 4.8cm。
幻灯片 10：应用总结与解题技巧
应用场景分类：
应用类型
常见问题
核心模型
关键步骤
测量高度
旗杆、大树、建筑物高度
直角三角形相似（平行投影、标杆辅助）
1. 构建相似三角形；2. 确定对应边；3. 列比例式求解
测量距离
河宽、池塘两端距离
一般三角形相似（延长线段、中点构造）
1. 构造全等或相似的三角形；2. 利用对顶角、公共角证明相似；3. 由比例求未知距离
几何计算
零件尺寸、图形中未知线段
三角形相似（平行线、直角、公共角构造）
1. 寻找相似条件（AA、SAS、SSS）；2. 计算相似比；3. 结合性质求未知量
解题技巧：
建模优先：将实际问题或复杂图形转化为 “相似三角形模型”，明确已知量和未知量。
找相似条件：优先利用公共角、对顶角、平行线产生的角，快速证明三角形相似。
定对应关系：标注相似三角形的对应顶点，避免对应边混淆（可通过角的位置确定对应边）。
验计算结果：计算后结合实际场景验证结果是否合理（如高度、距离应为正数，且符合实际尺寸范围）。
幻灯片 11：课堂总结
知识回顾：
相似三角形的应用主要集中在 “间接测量” 和 “几何计算” 两大领域，核心是利用 “对应边成比例”“对应高成比例” 等性质。
常见应用场景：测量物体高度（平行投影、标杆）、测量两点距离（无法直接到达）、补全图形尺寸、计算几何图形中的未知线段。
能力提升：
通过本节课学习，学会将实际问题转化为数学问题，培养 “数学建模” 思维；
熟练运用相似三角形的判定和性质，提升逻辑推理和计算能力。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成 2 道测量高度和 1 道测量距离的题目，写出完整的建模过程和解题步骤；
填空题：在同一时刻，测得一座塔的影子长为 24m，一根长 1.5m 的竹竿影子长为 1.2m，这座塔的高度为______m。
提高层（选做）：
应用题：如图，小明用一面镜子放在地面上，恰好能看到教学楼顶部。已知小明眼睛距离地面 1.6m，小明到镜子的距离为 2m，镜子到教学楼的距离为 20m，求教学楼的高度（提示：利用光的反射定律，入射角等于反射角，构建相似三角形）；
几何题：在△ABC 中，DE ∥ BC，AD:DB = 2:3，若△ADE 的面积为 16cm ，求△ABC 的面积。
实践层（拓展）：
分组实践：选择校园内的一棵大树，利用 “平行投影” 或 “标杆” 法测量其高度，记录测量数据和计算过程，下节课展示小组成果；
调查研究：收集 1-2 个相似三角形在工业生产（如零件制造）或建筑设计中的应用案例，用文字描述其原理，下节课分享。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.4 相似三角形的应用
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 判定两三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似三角形的性质有哪些？
观察与思考
乐山大佛
世界上最高的树
—— 红杉
台湾最高的楼
——台北101大楼
怎样测量这些非常高大物体的高度？
世界上最宽的河
— —亚马逊河
怎样测量河宽？
利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题.
据史料记载，古希腊数学家，天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，如果木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测 OA 长为 201 m，
求金字塔的高度 BO.
利用相似三角形测量高度
B
O
E
A(F)
D
解：太阳光是平行的光线，因此∠BAO =∠EDF.
因此金字塔的高为 134 m.
又∵ ∠AOB =∠DFE = 90°，
∴△ABO∽△DEF.
B
O
E
A(F)
D
A
F
E
B
O
┐
┐
还可以有其他方法测量吗？
OB
EF
=
OA
AF
△ABO∽△AEF
OB =
OA · EF
AF
平面镜
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在河的这一边取点 Q 和 S，使点 P、Q、S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT
与过点 Q 且垂直 PS的直线 b 的交
点为 R.如果测得 QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，求河
的宽度 PQ.
利用相似三角形测量宽度
P
Q
S
T
R
a
b
因此河宽大约为 90 m.
P
Q
S
T
R
a
b
60 m
45 m
90 m
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
测距的方法
方法归纳
例 已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树的根部的距离 BD = 5 m，一个身高 1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点 C 了？
典例精析
分析：如图，设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F，画出观察者的水平视线 FG，它交 AB，CD 于点 H，K.视线 FA，FG 的夹角 ∠AFH 是观察点 A 的仰角. 类似地，∠CFK 是观察点 C 时的仰角，由于树的遮挡，区域 Ⅰ 和Ⅱ 都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C 点了.
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于 8 m 时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端 C .
解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵树的顶端点 A，C 恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD. ∴△AEH ∽ △CEK.
∴ .
即
解得 EH = 8.
1. 如图，铁道口的栏杆短臂长 1 m，长臂长 16 m，当短臂端点下降 0.5 m 时，长臂端点升高______m.
8
O
B
D
C
A
┏
┛
1 m
16 m
0.5 m
？
2.某一时刻树的影长为 8 米，同一时刻身高为 1.5 米的人的影长为 3 米，则树高为______米.
4
解：设正方形 PQMN 是符合要求的，△ABC 的高 AD 与 PN 相交于点 E.设正方形 PQMN 的边长为 x mm.
因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC.
所以 .
3. △ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解得 x = 48 (mm).
因此 ，
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1.[2024·哈尔滨]古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长为2 m，它的影长FD是4 m，同一时刻测得OA是268 m，则金字塔的高度BO是____________m.
134
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2.在《数书九章》(宋·秦九韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米．
人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿
的顶端D，可求出塔的高度，根据以上
信息，塔的高度为________米.
18.2
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3.[2023·南充]如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与
旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度
为(　　)
A．6.4 m　B．8 m　C．9.6 m　D．12.5 m
B
4.[2023·湖州]某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架(EF)放在离树(AB)适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架(EF)上的点E处，然后沿着直线BF后退至D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观察者目高(CD)的长，利用测得
的数据可以求出这棵树的高度．
已知CD⊥BD于点D，EF⊥BD于点F，AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度(AB的长)是________米.
4.1
【点拨】如图，过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H.
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
易得DH＝EF＝GB＝0.5米，
EH＝DF＝2米，
EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD－DH＝1.7－0.5＝1.2(米)，
1. 相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高
测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解.
（不能直接使用皮尺或刻度尺测量）
（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
（2）测距
2. 解相似三角形实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）构建图形；
（3）利用相似解决问题.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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