资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.6.2 图形的变换与坐标
副标题：探究平移、对称、旋转下的坐标变化规律
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “单一图形变换→坐标变化规律→多变换综合应用” 为路径，实现从点的坐标变换到图形整体变换的过渡
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：上节课我们学习了用坐标确定位置，平面内任意一点的坐标如何表示？（预设答案：有序数对（横坐标，纵坐标），记作 P（a，b））
提问 2：生活中常见的图形变换有哪些？（学生可能回答：推动桌子是平移，照镜子是对称，钟表指针转动是旋转）
情境展示：
动态图 1：一个顶点坐标为（2，3）的三角形，向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，观察顶点坐标的变化；
动态图 2：一个点（3，2）关于 x 轴、y 轴、原点对称后，标注新点的坐标；
动态图 3：一个点（1，1）绕原点顺时针旋转 90°，标注旋转后点的坐标。
引导提问：当图形发生平移、对称、旋转等变换时，图形上各点的坐标会如何变化？掌握这些变化规律，就能通过坐标精准描述图形的变换过程。今天我们就来学习 “图形的变换与坐标”。
幻灯片 3：图形的平移与坐标变化
平移的定义回顾：
平移是指图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的形状、大小和方向都不改变，只改变位置。
点的平移与坐标变化规律（分方向探究）：
水平方向平移（左右平移）：
规律：点（a，b）向右平移 h 个单位，横坐标加 h，纵坐标不变，新坐标为（a + h，b）；
规律：点（a，b）向左平移 h 个单位，横坐标减 h，纵坐标不变，新坐标为（a - h，b）；
实例：点（2，3）向右平移 4 个单位→（2 + 4，3）=（6，3）；点（5，1）向左平移 3 个单位→（5 - 3，1）=（2，1）。
垂直方向平移（上下平移）：
规律：点（a，b）向上平移 k 个单位，横坐标不变，纵坐标加 k，新坐标为（a，b + k）；
规律：点（a，b）向下平移 k 个单位，横坐标不变，纵坐标减 k，新坐标为（a，b - k）；
实例：点（-1，2）向上平移 5 个单位→（-1，2 + 5）=（-1，7）；点（3，-4）向下平移 2 个单位→（3，-4 - 2）=（3，-6）。
复合平移（先水平后垂直或反之）：
规律：点（a，b）先向右平移 h 个单位，再向上平移 k 个单位，新坐标为（a + h，b + k）；
实例：点（1，-3）先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位→（1 - 2，-3 - 1）=（-1，-4）。
图形平移的本质：
图形平移时，图形上所有点的坐标都按照相同的规律发生变化，因此只需确定一个关键点的坐标变化，就能推出整个图形的坐标变化。
幻灯片 4：图形的对称与坐标变化（三种对称类型）
1. 关于 x 轴对称的坐标变化：
对称特征：对称轴为 x 轴，对应点的连线垂直于 x 轴，且到 x 轴的距离相等；
规律：点（a，b）关于 x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，新坐标为（a，-b）；
实例：点（2，5）关于 x 轴对称→（2，-5）；点（-3，-1）关于 x 轴对称→（-3，1）。
2. 关于 y 轴对称的坐标变化：
对称特征：对称轴为 y 轴，对应点的连线垂直于 y 轴，且到 y 轴的距离相等；
规律：点（a，b）关于 y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，新坐标为（-a，b）；
实例：点（4，-2）关于 y 轴对称→（-4，-2）；点（-1，3）关于 y 轴对称→（1，3）。
3. 关于原点对称的坐标变化：
对称特征：对称中心为原点，对应点的连线经过原点，且到原点的距离相等；
规律：点（a，b）关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数，新坐标为（-a，-b）；
实例：点（3，4）关于原点对称→（-3，-4）；点（-2，-5）关于原点对称→（2，5）。
对称变换的验证：
在平面直角坐标系中描出点（2，3）及其关于 x 轴、y 轴、原点的对称点，观察坐标是否符合规律，直观验证对称与坐标变化的关系。
，b）的新坐标
关键特征
平移
向右平移 h 个单位
（a + h，b）
横坐标变，纵坐标不变
平移
向左平移 h 个单位
（a - h，b）
横坐标变，纵坐标不变
平移
向上平移 k 个单位
（a，b + k）
纵坐标变，横坐标不变
平移
向下平移 k 个单位
（a，b - k）
纵坐标变，横坐标不变
对称
关于 x 轴对称
（a，-b）
横坐标不变，纵坐标相反
对称
关于 y 轴对称
（-a，b）
纵坐标不变，横坐标相反
对称
关于原点对称
（-a，-b）
横、纵坐标均相反
旋转
绕原点顺时针转 90°
（b，-a）
横、纵坐标交换，纵坐标变号
旋转
绕原点逆时针转 90°
（-b，a）
横、纵坐标交换，横坐标变号
旋转
绕原点转 180°
（-a，-b）
横、纵坐标均相反（同原点对称）
幻灯片 7：课堂练习 1（平移与坐标变化）
题目展示：
已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，2）、B（3，4）、C（-1，3）。
将△ABC 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，求平移后△A'B'C' 的各顶点坐标；
若平移后点 A 的对应点 A'' 坐标为（-2，5），求△ABC 的平移方向和距离。
解答过程：
求△A'B'C' 的坐标：
A（1，2）向右平移 2 个单位（1 + 2 = 3），向下平移 1 个单位（2 - 1 = 1）→ A'（3，1）；
B（3，4）向右平移 2 个单位（3 + 2 = 5），向下平移 1 个单位（4 - 1 = 3）→ B'（5，3）；
C（-1，3）向右平移 2 个单位（-1 + 2 = 1），向下平移 1 个单位（3 - 1 = 2）→ C'（1，2）。
求平移方向和距离：
横坐标变化：-2 - 1 = -3（向左平移 3 个单位）；
纵坐标变化：5 - 2 = 3（向上平移 3 个单位）；
平移距离：水平平移 3 个单位，垂直平移 3 个单位，可通过勾股定理计算直线距离：\(\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\)个单位。
答案：1. A'（3，1）、B'（5，3）、C'（1，2）；2. 向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位，直线距离为\(3\sqrt{2}\)个单位。
幻灯片 8：课堂练习 2（对称与坐标变化）
题目展示：
已知点 P（-2，3），求：
点 P 关于 x 轴对称的点 P 的坐标；
点 P 关于 y 轴对称的点 P 的坐标；
点 P 关于原点对称的点 P 的坐标；
连接 P 、P 、P ，判断△P P P 的形状。
解答过程：
P（-2，3）关于 x 轴对称→ P （-2，-3）（横坐标不变，纵坐标相反）；
P（-2，3）关于 y 轴对称→ P （2，3）（纵坐标不变，横坐标相反）；
P（-2，3）关于原点对称→ P （2，-3）（横、纵坐标均相反）；
判断△P P P 的形状：
计算边长：P P = \(\sqrt{(2 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}\)；
P P = \(\sqrt{(2 - 2)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6\)；
P P = \(\sqrt{(2 - (-2))^2 + (-3 - (-3))^2} = \sqrt{16 + 0} = 4\)；
验证勾股定理：\(4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52 = (\sqrt{52})^2\)，且 P P 为斜边，因此△P P P 是直角三角形。
答案：1. P （-2，-3）；2. P （2，3）；3. P （2，-3）；4. 直角三角形。
幻灯片 9：课堂练习 3（旋转与坐标变化）
题目展示：
已知点 M（4，1），将点 M 绕坐标原点按下列方式旋转，求旋转后点 M' 的坐标：
顺时针旋转 90°；
逆时针旋转 90°；
旋转 180°。
解答过程：
绕原点顺时针旋转 90°：根据规律（a，b）→（b，-a），M（4，1）→ M'（1，-4）；
绕原点逆时针旋转 90°：根据规律（a，b）→（-b，a），M（4，1）→ M'（-1，4）；
绕原点旋转 180°：根据规律（a，b）→（-a，-b），M（4，1）→ M'（-4，-1）。
答案：1. （1，-4）；2. （-1，4）；3. （-4，-1）。
幻灯片 10：综合应用 —— 利用坐标描述图形变换过程
题目展示：
如图，在平面直角坐标系中，△DEF 的顶点坐标为 D（2，1）、E（3，3）、F（1，4）。将△DEF 先关于 y 轴对称得到△D E F ，再将△D E F 向右平移 3 个单位得到△D E F ，求△D E F 的各顶点坐标，并描述整个变换过程。
解答过程：
第一步：关于 y 轴对称得到△D E F ：
D（2，1）关于 y 轴对称→ D （-2，1）；
E（3，3）关于 y 轴对称→ E （-3，3）；
F（1，4）关于 y 轴对称→ F （-1，4）。
第二步：向右平移 3 个单位得到△D E F ：
D （-2，1）向右平移 3 个单位→ D （-2 + 3，1）=（1，1）；
E （-3，3）向右平移 3 个单位→ E （-3 + 3，3）=（0，3）；
F （-1，4）向右平移 3 个单位→ F （-1 + 3，4）=（2，4）。
变换过程描述：
△DEF 先以 y 轴为对称轴进行对称变换，各顶点的横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，得到△D E F ；
再将△D E F 沿 x 轴正方向（向右）平移 3 个单位，各顶点的横坐标增加 3，纵坐标不变，最终得到△D E F 。
答案：△D E F 的顶点坐标为 D （1，1）、E （0，3）、F （2，4）。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理（框架图）：
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.6.2图形的变换与坐标
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 作位似图形有哪些步骤？
问题2 怎样用坐标来确定位置？
观察与思考
矩形公园 ABCD 的长宽分别是 6 km，4 km，以公园中心为原点建立坐标系，写出各顶点的坐标.找出各点的关系 .
B
C
D
A
解：公园各顶点坐标为 A(3，2)，B(-3，2)，
C(-3，-2)，D(3，-2) .
x
y
O
(-3，-2 )
(-3，2)
(3，2)
( 3，-2)
图形的变换与坐标
点 A 与点 D 关于 x 轴对称
横坐标相同，纵坐标互为相反数
点 A 与点 B 关于 y 轴对称
纵坐标相同，横坐标互为相反数
点 A 与点 C 关于原点对称
横坐标、纵坐标均互为相反数
B
C
D
A
x
y
O
(-3，-2 )
(-3，2)
(3，2)
( 3，-2)
y
观察：(1)由点 B 到点 A 是怎样移动得到的？它们的坐标有何关系？
(2)在图中，你还能
看到哪些点的移动？
x
D
A
O
(-3，2)
(3，2)
( 3，-2)
(-3，-2 )
如果△AOB 向右移动 3 个单位长度，得到△A′O′B′，各顶点的坐标又有什么变化？你能用自己的语言归纳这个规律吗？
O′
B′
y
x
A′
O
A
B
规律(1)左右移动时，横坐标左减右加，纵坐标不变.
你能画图说明△AOB 向左移动时，对应点的坐标又有什么规律吗？
将△AOB 向上或向下移动几个单位长度，你能探索出图形上下移动的规律吗？
O′
B′
y
x
A′
O
A
B
规律：（ 2 ）上下移动时，横坐标不变，纵坐标上加下减.
将△AOB 沿着 x 轴对折，得到△A′OB，画图并说明对应顶点有什么变化？
规律：对应点关于 x 轴对称.即对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数.
y
x
A′
O
A
B
画出△ABC，A（2，1），B（4，0），C（5，2）沿 y 轴对折后的△A′B′C′，并观察对应顶点又有什么样的变化？
规律：对应点关于 y 轴对称.即对应点的横坐标互为相反数、纵坐标相等.
y
x
A′
O
A
B
C
B′
C′
画△AOB 关于原点对称的△A′O B′ 你有什么发现？
规律：对应点关于原点对称.即对应点的横坐标和纵坐标互为相反数.
x
y
A
B
B′
A′
O
如果将△AOB 缩小，变成△COD，它们的相似比是多少？对应点的坐标有什么变化？
规律： 横坐标和纵坐标都缩小相同的倍数.
x
6
3
3 6
y
C
D
A
B
O
O
x
y
4
-4
-2
A
B
C
2
4
-4
1.画出△ABC 向下平移 4 个单位后的图形；
2 .画出△ABC 关于原点对称的图形；
3.以 O 为位似中心，将△ABC 放大 2 倍.
在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩
小，观察对应点之间坐标的变化.你有什么发现？
图形的位似变换与坐标
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将
△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化.你有什么发现？
2
4
6
4
6
－2
－4
－4
x
y
A
B
2
8
10
C
－2
－6
－8
－10
－6
B'
A'
C'
A"
B"
C"
O
如图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为
A' ( ， )，B' ( ， )，C' ( ， )；
A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ).
4
6
4
2
10
4
－4
－6
－4
－2
－10
－4
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 -k．
归纳：
1.△ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，－2)，B (4，－5)，
C (5，－2)，以原点 O 为位似中心，将这个三角形放
大为原来的 2 倍．
O
C
2
4
6
－4
x
y
A
B
2
－2
答案：
A' (4，－4)，
B' (8， －10)，
C' (10，－4)；
B'
A'
C'
A"
B"
C"
A″ (－4，4)，
B″ (－8，10)，
C″ (－10，4).
O
2.至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中，你能找
到这些变换吗？
1.在直角坐标系中，把点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
返回
【点拨】∵把点A(m，2)先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B.∴点B的坐标为(m＋1，2＋3)．
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m＋1＝5，∴m＝4.故选C.
【答案】C
2.[2023·黄石]如图，已知点A(1，0)，B(4，m)，若将线段AB平移至CD，其中点C(－2，1)，D(a，n)，则m－n的值为(　　)
A．－3
B．－1
C．1
D．3
返回
【点拨】∵线段CD由线段AB平移得到，
且A(1，0)，C(－2，1)，B(4，m)，D(a，n)，
∴m－n＝0－1＝－1.故选B.
【答案】B
返回
3.[2023·怀化]在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是(　　)
A．(－2，－3) B．(－2，3)
C．(2，－3) D．(2，3)
D
【点拨】点P(2，－3)关于x轴对称的点P′的坐标是(2，3)．故选D.
返回
4.[2023·临沂]某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为
(－6，2)，则点B的坐标为(　　)
A．(6，2) B．(－6，－2)
C．(2，6) D．(2，－6)
A
5.[2023·聊城]如图，在平面直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(－4，4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1，
再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.
若B2(2，1)，则点A2的坐标为(　　)
A．(1，5) B．(1，3)
C．(5，3) D．(5，5)
返回
A
图形左右移动时，对应的横坐标左减右加，纵坐标不变.
图形上下移动时，对应的横坐标不变，纵坐标上加下减.
对应点关于 x 轴对称.即对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数.
对应点关于 y 轴对称.即对应点的横坐标互为相反数、纵坐标相等.
对应点关于原点对称.即对应点的横坐标和纵坐标都互为相反数.
规律：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 -k．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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