资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.2.2 频率与概率
副标题：辨析频率与概率，掌握用频率估计概率的方法
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “概念对比→试验验证→方法应用→误区规避” 为逻辑，突出 “频率是概率的估计，概率是频率的稳定值” 这一核心关系
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：上节课我们学习了概率的定义，概率的统计定义和古典定义分别是什么？（预设答案：统计定义是大量重复试验中频率的稳定值；古典定义是等可能事件中有利结果数与总结果数的比）
提问 2：频率的计算公式是什么？（预设答案：频率 = 事件发生次数 ÷ 试验总次数，即\(\frac{m}{n}\)）
情境引导：
图片 1：某篮球运动员连续投篮 10 次命中 6 次，频率为 0.6；再投 10 次命中 7 次，累计频率为 0.65；继续投篮，频率在 0.62 附近波动，而他的真实投篮概率约为 0.62。
图片 2：抛硬币试验中，不同小组抛 10 次、100 次、1000 次的频率分别为 0.4、0.48、0.498，逐渐接近概率 0.5。
引导提问：频率和概率都能描述事件发生的可能性，它们之间到底是什么关系？如何通过频率估计概率？今天我们就来专门研究 “频率与概率”。
幻灯片 3：频率与概率的概念辨析（核心对比）
1. 定义本质对比
对比维度
频率
概率
本质属性
动态统计量：基于实际试验结果，随试验次数变化而变化
静态固有属性：事件本身所具有的客观规律，不随试验而改变
计算依据
依赖具体试验数据：必须通过实际操作，记录事件发生的次数\(m\)和总次数\(n\)，计算\(\frac{m}{n}\)
依赖事件本身特征： - 古典定义：无需试验，根据 “有限等可能” 特征，计算\(\frac{ °k}{ °n}\)； - 统计定义：虽与试验相关，但本质是频率的 “稳定值”，是事件的客观属性
取值特点
每次试验后取值不同，可能出现波动（如抛 10 次硬币，频率可能是 0.3、0.5、0.7）
取值唯一确定（如抛硬币正面朝上的概率恒为 0.5，不会因试验次数改变）
2. 示例直观对比
抛硬币试验：
频率：小组 1 抛 10 次，正面朝上 4 次，频率 0.4；小组 2 抛 100 次，正面朝上 48 次，频率 0.48；全班抛 1000 次，正面朝上 498 次，频率 0.498—— 频率随次数变化；
概率：无论谁抛、抛多少次，正面朝上的概率始终是 0.5—— 概率固定不变。
摸球试验（3 红 2 白）：
频率：摸 20 次，摸到红球 11 次，频率 0.55；摸 100 次，摸到红球 58 次，频率 0.58—— 频率波动；
概率：红球占比\(\frac{3}{5}=0.6\)，概率固定为 0.6。
幻灯片 4：频率与概率的联系（试验验证）
1. 核心联系：频率趋近于概率（大数定律）
规律描述：当试验次数\(n\)逐渐增大时，事件 A 发生的频率\(\frac{m}{n}\)会逐渐稳定在事件 A 的概率\(P(A)\)附近，试验次数越多，频率与概率的偏差越小，这种规律称为 “大数定律”。
试验数据验证（抛硬币试验）：
| 试验次数\(n\) | 正面朝上次数\(m\) | 频率\(\frac{m}{n}\) | 与概率 0.5 的偏差 |
|--------------|-------------------|---------------------|------------------|
| 10 | 4 | 0.4 | -0.1 |
| 50 | 23 | 0.46 | -0.04 |
| 100 | 48 | 0.48 | -0.02 |
| 500 | 247 | 0.494 | -0.006 |
| 1000 | 498 | 0.498 | -0.002 |
| 10000 | 4997 | 0.4997 | -0.0003 |
结论：随着试验次数从 10 增加到 10000，频率从 0.4 逐渐趋近于 0.5，与概率的偏差从 0.1 缩小到 0.0003，充分验证 “频率趋近于概率” 的规律。
2. 频率的作用：估计概率
当试验不满足 “有限等可能”（如投篮命中、下雨概率），无法用古典定义计算概率时，可通过大量重复试验，用事件发生的频率作为概率的估计值。
示例：
某运动员投篮 1000 次，命中 620 次，频率 0.62，可估计其投篮命中概率约为 0.62；
气象站记录 1000 天中，某地区 7 月 1 日下雨的天数为 320 天，频率 0.32，可估计该地区 7 月 1 日下雨的概率约为 0.32。
幻灯片 5：用频率估计概率的方法与步骤
1. 适用场景
试验结果无限（如射箭命中靶心的概率，靶心位置可视为无限个点）；
试验结果非等可能（如投篮命中，受姿势、力度等影响，结果非等可能）；
无法通过古典定义计算概率的场景（如产品不合格率、交通肇事概率）。
2. 具体步骤
设计试验：明确试验目的（如估计 “掷图钉针尖朝上” 的概率），确定试验方法（如从同一高度抛图钉，记录结果），保证每次试验条件相同（如同一图钉、同一抛射高度）；
重复试验：进行大量重复试验，记录事件 A 发生的次数\(m\)和试验总次数\(n\)（次数越多，估计结果越准确，通常建议至少 100 次）；
计算频率：根据公式\(\frac{m}{n}\)计算事件 A 发生的频率；
估计概率：用计算得到的频率作为事件 A 概率的估计值（若多次试验频率稳定在某个数值附近，取该稳定值作为估计值）。
3. 示例：估计 “掷图钉针尖朝上” 的概率
试验步骤：
准备 1 枚标准图钉，从离桌面 30cm 高度自由落下，记录 “针尖朝上”（事件 A）或 “针尖朝下”；
重复试验 200 次，记录事件 A 发生的次数\(m=82\)；
计算频率：\(\frac{82}{200}=0.41\)；
估计概率：“掷图钉针尖朝上” 的概率约为 0.41。
幻灯片 6：频率估计概率的实际应用
1. 产品质量检测
场景：工厂生产一批零件，估计零件的不合格率；
方法：随机抽取 1000 个零件进行检测，发现 12 个不合格，频率为\(\frac{12}{1000}=0.012\)，估计该批零件的不合格率约为 1.2%；
意义：无需检测所有零件（避免破坏性检测或节省成本），用样本频率估计总体概率，指导生产决策（如不合格率过高则改进工艺）。
2. 医学概率估计
场景：估计某种新药治疗疾病的有效率；
方法：选取 500 名患者试用新药，其中 420 名患者病情好转，频率为\(\frac{420}{500}=0.84\)，估计该新药的有效率约为 84%；
意义：为临床用药提供数据支持，判断药物是否具有推广价值。
3. 体育成绩预测
场景：估计某运动员在比赛中跳远距离超过 8 米的概率；
方法：记录该运动员平时训练中 100 次试跳，其中 68 次超过 8 米，频率为 0.68，估计其比赛中跳超 8 米的概率约为 0.68；
意义：为教练制定战术、运动员调整状态提供参考。
幻灯片 7：常见误区与规避方法
1. 误区 1：频率等于概率
错误示例：认为 “抛 10 次硬币，正面朝上 6 次，频率 0.6，故正面朝上的概率为 0.6”；
规避方法：明确 “频率是概率的估计值，而非等于概率”，只有当试验次数足够大时，频率才会接近概率，单次或少量试验的频率与概率可能存在较大偏差。
2. 误区 2：用少量试验的频率估计概率
错误示例：仅抛 5 次硬币，正面朝上 3 次，频率 0.6，就估计概率为 0.6；
规避方法：强调 “大量重复试验” 是用频率估计概率的前提，试验次数越多，随机误差越小，估计结果越可靠（通常建议试验次数不低于 50 次，条件允许时越多越好）。
3. 误区 3：认为 “频率趋近于概率” 是 “频率等于概率”
错误示例：认为 “抛 10000 次硬币，频率 0.4998，与概率 0.5 几乎相等，故频率等于概率”；
规避方法：理解 “趋近于” 是 “无限接近但不一定完全相等”，即使试验次数极大，频率也可能在概率附近微小波动，这是随机试验的正常现象，不影响 “用频率估计概率” 的合理性。
幻灯片 8：课堂练习 1（频率计算与概率估计）
题目展示：
某同学做 “掷骰子试验”，记录每次掷出的点数，试验结果如下表：
| 试验次数\(n\) | 10 | 50 | 100 | 200 | 500 |
|--------------|----|----|-----|-----|-----|
| 出现点数 “3” 的次数\(m\) | 1 | 8 | 17 | 32 | 85 |
| 频率\(\frac{m}{n}\) | | | | | |
（1）计算表格中各试验次数对应的频率；
（2）估计 “掷骰子出现点数‘3’” 的概率。
某商场为估计 “五一” 期间顾客抽奖的中奖率，随机抽取 1000 名抽奖顾客，发现有 120 人中奖，求中奖频率，并估计该商场抽奖的中奖概率。
解答过程：
掷骰子试验：
（1）频率计算：
\(n=10\)：\(\frac{1}{10}=0.1\)；
\(n=50\)：\(\frac{8}{50}=0.16\)；
\(n=100\)：\(\frac{17}{100}=0.17\)；
\(n=200\)：\(\frac{32}{200}=0.16\)；
\(n=500\)：\(\frac{85}{500}=0.17\)；
（2）概率估计：随着试验次数增加，频率稳定在 0.17 附近，且 “掷骰子出现点数‘3’” 的古典概率为\(\frac{1}{6} 0.167\)，故估计概率约为 0.17（或 0.167）。
商场抽奖问题：
中奖频率 = \(\frac{ °}{ °}=\frac{120}{1000}=0.12\)；
估计中奖概率约为 0.12。
答案：1. （1）0.1、0.16、0.17、0.16、0.17；（2）约 0.17；2. 频率 0.12，概率约 0.12。
幻灯片 9：课堂练习 2（误区判断与纠正）
题目展示：
判断下列说法是否正确，若错误，请说明理由并纠正：
小明掷 10 次硬币，正面朝上 7 次，他认为 “正面朝上的概率为 0.7”；
某品牌灯泡使用寿命试验中，测试 100 个灯泡，95 个使用超过 5000 小时，频率 0.95，故该品牌所有灯泡使用寿命超过 5000 小时的概率为 0.95；
因为 “掷硬币正面朝上” 的概率为 0.5，所以掷 2 次硬币一定有 1 次正面朝上。
解答过程：
错误。理由：仅 10 次试验，次数过少，频率 0.7 不能代表概率；纠正：需进行大量重复试验，当频率稳定在 0.5 附近时，估计正面朝上的概率为 0.5。
不完全正确。理由：100 次试验虽有一定代表性，但 “概率为 0.95” 的表述过于绝对，频率 0.95 是概率的估计值，而非精确值；纠正：该品牌灯泡使用寿命超过 5000 小时的概率约为 0.95，若增加试验次数，估计值可能会微小调整。
错误。理由：概率 0.5 反映的是 “长期重复试验中的平均规律”，而非单次或少量试验的必然结果；纠正：掷 2 次硬币，可能出现 0 次、1 次或 2 次正面朝上，每种结果都有可能，长期来看，平均每 2 次会有 1 次正面朝上。
幻灯片 10：课堂总结
知识梳理（框架图）：
核心能力：
能清晰区分频率与概率的本质差异，避免常见概念误区；
能掌握用频率估计概率的方法，完成简单的试验设计与数据处理；
能运用频率与概率的关系，分析生活中的实际问题（如产品质量、中奖率）。
幻灯片 11：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
某同学做 “摸球试验”（袋子中有 4 白 6 黑），摸球 50 次（有放回），记录摸到白球的次数为 18 次，计算摸到白球的频率，并估计摸到白球的概率；
简述用频率估计概率的步骤，并说明为什么试验次数越多，估计结果越准确。
提高层（选做）：
某工厂生产一批玩具，随机抽取 200 个检测，发现 15 个不合格，估计这批玩具的不合格率；若这批玩具共 10000 个，估计不合格的玩具数量；
设计一个 “估计掷瓶盖正面朝上概率” 的试验方案，写出试验工具、步骤及预期结果（提示：瓶盖质地不均匀，结果非等可能，需用频率估计）。
实践层（拓展）：
小组合作完成 “投篮命中率估计” 试验：选择
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.2.2 频率与概率
第25章 随机事件的概率
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
必然事件
能预先确定它们在每次试验中都一定会发生.
不可能事件
在每次试验中都一定不会发生的事件.
随机事件
无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件.
回顾与思考
概率的定义：
一个事件发生的可能性就叫做该事件 A 的概率，记作P(A). 0≤P(A)≤1.
必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0.
问题1 掷一枚硬币，落地后会出现几种结果？
正面、反面向上 2 种，可能性相等
问题2 抛掷一个骰子，它落地时向上的数有几种可能？
6 种等可能的结果
问题3 从分别标有 1，2，3，4，5的 5 根纸签中随机抽取一根，抽出的签上的标号有几种可能？
5 种等可能的结果
等可能性事件
等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有限多个；
2.各结果发生的可能性相等；
等可能性事件的概率可以用列举法而求得.
列表法就是把要求的对象一一用表格表示出来分析求解的方法．
用列表法求概率
这个游戏对小亮和小明公平吗？
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌，分别是红桃和黑桃的1，2，3，4，5，6，小明建议:我从红桃中抽取一张牌，你从黑桃中取一张，当两张牌数字之积为奇数时，你得 1 分，为偶数我得 1 分，先得到 10 分的获胜”.如果你是小亮，你愿意接受这个游戏的规则吗
思考：
你能求出小亮得分的概率吗
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
红桃
黑桃
用表格表示
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
总结经验:
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表的办法.
解：由表中可以看出，在两堆牌中分别取一张，它可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等，满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件 A)的有
(1，1)(1，3)(1，5)(3，1)(3，3)(3，5)(5，1)(5，3)(5，5)
这 9 种情况，所以 P(A) = .
现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子（馒头除外），那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少？
用画树状图求概率
A
B
C
酸
酸
糖
韭
酸
糖
酸
糖
酸
糖
韭
酸
糖
韭
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
糖
解：画树状图：
由树状图，得所以可能出现的结果有 18 种，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包的结果有 3 种，故 P(全是酸菜包) =
从一定高度落下的图钉，落定会有几种可能的结果？
它们发生的可能性相等吗？
　做做试验
用频率估计概率
试验累计 次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
钉帽着地的频率( %) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5
试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
56.5
(%)
从上面问题可以看出：
1.通过重复试验用频率估计概率，必须要求试验是在相同条件下进行的，比如，以同样的方式抛掷同一种图钉；
2.在相同条件下，试验次数越多，就越有可能得到较好的估计值，但不同小组试验所得的估计值也并不一定相同.
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般可以通过统计频率来估计概率.
在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．
利用频率估计概率
归纳
1.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，如果这三种可能性的大小相同．三辆汽车经过这个十字路口，（画树状图）求下列事件的概率：
（1）三辆汽车继续直行的概率；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转的概率；
（3）至少有两辆车向左转的概率．
解：画树状图得：

∴一共有 27 种等可能的情况.
（1）∵三辆汽车继续直行的有 1 种情况，
∴三辆汽车继续直行的概率为： ；
（2）两辆车向右转，一辆车向左转的有 3 种，
∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为 ；
（3）至少有两辆车向左转的有 7 种：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，
则至少有两辆车向左转的概率为： ．
2.如图，甲、乙用 4 张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同．
解：画树状图得：

∵共有 12 种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有 5 种情况，小于等于乙的有 7 种情况，
∴P(甲胜) = ，P(乙胜) = .
∴甲、乙获胜的机会不相同．
1.某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下：
每批粒数n 发芽的频数m
2 2 1.000
5 4 0.800
10 9 0.900
50 44 0.880
100 92 0.920
这种绿豆发芽的概率的估计值为________(精确到0.01)．
每批粒数n 发芽的频数m
500 463 0.926
1 000 928 0.928
1 500 1 396 0.931
2 000 1 866 0.933
3 000 2 794 0.931
0.93
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【点拨】当试验次数增多时，发芽的频率越来越稳定在0.93左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率是0.93.
2.[2023·鞍山]在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有________个．
3
【点拨】根据频率确定试验对象个数的方法：先用频率的稳定值估计出事件发生的概率，再根据概率公式列出方程求解．
返回
3.[2023·恩施州]县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
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根据表中的信息，估计银杏树苗在该条件下移植成活的概率为(精确到0.1)(　　)
A．0.905 B．0.90
C．0.9 D．0.8
C
4.[2022·桂林]当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊(Pearson)曾在试验中掷质地均匀的硬币24 000次，正面朝上的次数是12 012次，频率约为0.5，则估计掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是______．
0.5
【点拨】根据大量重复试验中事件发生的频率可以估计出概率．
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5.某学习小组做拋掷一枚瓶盖的试验，整理的试验数据如下表：
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
50 28 0.560 0
100 54 0.540 0
200 106 0.530 0
300 158 0.526 7
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
500 264 0.528 0
1 000 527 0.527 0
2 000 1 056 0.528 0
3 000 1 587 0.529 0
5 000 2 650 0.530 0
下面有两个推断：
①第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”；
②随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53.
其中正确的是________．(填序号)
②
【点拨】①第2 000次试验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；②随着试验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．
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当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表的办法.
当一次试验要涉及两个以上因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用画树状图的办法.
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生概率.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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