资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.3.1 方差的计算
副标题：衡量数据波动程度的统计量
背景图：展示两组数据的分布对比图，一组数据密集集中，另一组数据分散波动，直观呈现数据波动差异，凸显方差的作用。
幻灯片 2：情境引入与概念需求
生活中的数据波动问题：
情境 1：甲、乙两名运动员近期 5 次射击成绩（环）分别为：甲：9、8、10、9、9；乙：10、7、9、10、9。两人平均成绩相同，但稳定性不同，如何量化这种差异？
情境 2：A、B 两台机床生产的零件直径（mm）平均值相同，但 A 机床零件尺寸更均匀，B 机床零件尺寸波动大，如何描述这种波动程度？
现有统计量的局限：平均数、中位数、众数仅反映数据的集中趋势，无法描述数据的离散程度（波动大小），因此需要引入方差。
问题引入：如表是两组学生的数学测验成绩，计算两组的平均数后发现相同，但成绩分布差异明显，如何衡量这种差异？引出方差概念。
组别
成绩（分）
甲组
70, 80, 80, 90
乙组
60, 70, 90, 100
幻灯片 3：方差的定义与意义
定义：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，它是各数据与这组数据平均数的差的平方的平均数。
符号表示：设一组数据为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则方差记为\(s^2\)。
计算公式：\(s^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + ... + (x_n - \bar{x})^2]\)。
意义：方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。
幻灯片 4：方差的计算步骤
计算平均数：先求出这组数据的算术平均数\(\bar{x}\)。
计算偏差：分别求出每个数据与平均数的差\((x_i - \bar{x})\)。
偏差平方：将每个偏差平方，得到\((x_i - \bar{x})^2\)，消除正负影响。
求平均偏差平方：将所有偏差平方的和除以数据个数 n，得到方差\(s^2\)。
步骤口诀：先算平均，再求偏差，平方偏差，最后平均。
幻灯片 5：方差计算例题（1）
题目呈现：计算情境引入中两组学生成绩的方差（甲组：70, 80, 80, 90；乙组：60, 70, 90, 100）。
解答过程（甲组）：
步骤 1：计算平均数\(\bar{x}_ = \frac{70 + 80 + 80 + 90}{4} = 80\)分。
步骤 2：计算偏差：\(70 - 80 = -10\)，\(80 - 80 = 0\)，\(80 - 80 = 0\)，\(90 - 80 = 10\)。
步骤 3：偏差平方：\((-10)^2 = 100\)，\(0^2 = 0\)，\(0^2 = 0\)，\(10^2 = 100\)。
步骤 4：方差\(s_ ^2 = \frac{100 + 0 + 0 + 100}{4} = 50\)。
解答过程（乙组）：
步骤 1：计算平均数\(\bar{x}_ = \frac{60 + 70 + 90 + 100}{4} = 80\)分。
步骤 2：计算偏差：\(60 - 80 = -20\)，\(70 - 80 = -10\)，\(90 - 80 = 10\)，\(100 - 80 = 20\)。
步骤 3：偏差平方：\((-20)^2 = 400\)，\((-10)^2 = 100\)，\(10^2 = 100\)，\(20^2 = 400\)。
步骤 4：方差\(s_ ^2 = \frac{400 + 100 + 100 + 400}{4} = 250\)。
结论：\(s_ ^2 < s_ ^2\)，说明甲组成绩波动更小，更稳定。
幻灯片 6：方差计算例题（2）
题目呈现：甲、乙两名选手在射击训练中的成绩（环）如下，计算方差并比较稳定性。
甲：9.8, 9.9, 10.0, 10.1, 10.2
乙：9.4, 9.7, 10.0, 10.3, 10.6
解答过程：
甲的平均数\(\bar{x}_ = 10.0\)环，方差\(s_ ^2 = \frac{( -0.2)^2 + (-0.1)^2 + 0^2 + 0.1^2 + 0.2^2}{5} = 0.012\)。
乙的平均数\(\bar{x}_ = 10.0\)环，方差\(s_ ^2 = \frac{( -0.6)^2 + (-0.3)^2 + 0^2 + 0.3^2 + 0.6^2}{5} = 0.108\)。
结论：\(s_ ^2 < s_ ^2\)，甲的射击成绩更稳定。
幻灯片 7：方差的简化计算公式
原始公式：\(s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)。
展开公式：\(s^2 = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2)\)，推导过程：\(
\begin{align*}
s^2 &= \frac{1}{n}[(x_1^2 - 2x_1\bar{x} + \bar{x}^2) + ... + (x_n^2 - 2x_n\bar{x} + \bar{x}^2)] \\
&= \frac{1}{n}[\sum x_i^2 - 2\bar{x}\sum x_i + n\bar{x}^2] \\
&= \frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2 \quad (\text{ }\sum x_i = n\bar{x})
\end{align*}
\)
适用场景：数据数值较大时，用展开公式可简化计算，减少偏差运算的误差。
例题验证：用展开公式计算甲组成绩方差，\(\sum x_i^2 = 70^2 + 80^2 + 80^2 + 90^2 = 25800\)，\(s^2 = \frac{25800}{4} - 80^2 = 6450 - 6400 = 50\)，结果一致。
幻灯片 8：方差与数据波动的关系
极端值对谈方差的影响：方差通过平方运算放大偏差，极端值会导致方差显著增大，更敏感地反映波动。
示例：数据 1, 2, 3, 4, 5 的方差为 2；加入极端值 10 后，方差变为 11.2，波动明显增大。
方差为 0 的情况：当所有数据都相等时，方差为 0，说明数据无波动（完全稳定）。
示例：数据 5, 5, 5, 5 的方差\(s^2 = 0\)。
不同方差的直观对比：展示三组数据的散点图，方差从小到大对应数据从集中到分散的分布。
幻灯片 9：方差的应用场景
质量控制：工厂生产中，通过计算零件尺寸的方差监控生产稳定性，方差越小说明质量越稳定。
体育竞技：评估运动员成绩的稳定性，方差小的运动员发挥更稳定，更适合关键比赛。
教育评价：分析班级成绩的离散程度，方差小说明班级成绩均衡，方差大说明两极分化严重。
投资分析：比较不同股票的收益方差，方差小的股票风险低，收益更稳定。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础计算）
题目 1：计算数据 3, 4, 5, 6, 7 的方差，结果为______。
题目 2：一组数据为 2, 2, 3, 3, 4，其平均数为______，方差为______。
题目 3：甲、乙两组数据的平均数相同，甲组方差为 0.1，乙组方差为 0.5，______组数据更稳定。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合应用）
题目 4：某篮球队两名队员近 5 场得分如下：
队员 A：12, 15, 14, 16, 13
队员 B：10, 18, 13, 15, 14
计算两人得分的方差，判断谁的得分更稳定。
题目 5：若一组数据\(x_1, x_2, x_3\)的方差为 2，则数据\(2x_1, 2x_2, 2x_3\)的方差为______（提示：数据扩大 n 倍，方差扩大\(n^2\)倍）。
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：计算方差时忘记求平均数，直接计算数据与某个固定值的偏差平方和，导致结果错误。
易错点 2：偏差平方时符号错误，如\((x_i - \bar{x})\)为负数时，平方后误记为负数，忽略平方的非负性。
易错点 3：公式记忆错误，将方差公式中的 “除以 n” 误记为 “除以 n-1”（样本方差与总体方差的混淆，初中阶段统一除以 n）。
易错点 4：数据单位处理不当，方差的单位是原数据单位的平方，描述时需注意单位表述（如 “分 ”）。
幻灯片 13：课堂总结
核心概念：方差是衡量数据波动大小的统计量，计算公式为\(s^2 = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar{x})^2\)。
计算步骤：先求平均数，再算偏差、偏差平方，最后求平均偏差平方。
意义解读：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定；方差为 0 时数据完全相同。
应用价值：广泛应用于质量控制、体育竞技、教育评价等领域，为决策提供数据稳定性依据。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）计算数据 8, 9, 10, 11, 12 的方差。
（2）某小组 5 名同学的跳绳次数（次 / 分钟）为：180, 175, 185, 190, 170，求方差。
拓展作业：甲、乙两台机器生产同一种零件，各抽取 5 个零件测量直径（mm）：
甲：10.0, 10.1, 9.9, 10.0, 10.0
乙：10.2, 9.8, 10.1, 9.9, 10.0
计算方差并判断哪台机器生产更稳定。
实践作业：记录自己一周内每天的数学作业完成时间（分钟），计算方差，分析自己的作业时间是否稳定，并提出改进建议。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.1 方差的计算
第二十三章 数据分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．了解方差是刻画数据相对于平均数的离散程度的度量,能借助计算器计算一组数据的方差.
2．能在具体的问题情境中运用方差刻画一组数据的波动大小.
3．探索方差产生的过程，发展合情推理的能力.
平均数刻画数据的“平均水平”，但评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差等，只用平均数是不够的，还需要用一个新的数，即方差，来刻画一组数据的波动情况.
学生活动一 【一起探究】
甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，每人各射10发子弹，成绩如图23-3-1所示.
(1) 观察图23-3-1，甲、乙射击成绩的平均数、中位数各是多少
两个人射击成绩的平均数和中位数都是7环.
(2)甲、乙射击成绩的平均数是否相同 若相同，他们的射击水平就一样吗
两人射击成绩的平均数相同，并不能说明射击水平就一定相同.
(3)哪一组数据相对于其平均数波动较大 波动大小反映了什么
甲射击成绩波动较大，波动的大小反映射击水平的稳定性有差异.
学生活动二 【一起探究】
请同学们思考：
1.如何描述每个数据与平均数的偏差
2.把所有的偏差直接相加能表示所有数据的总偏差吗
3.如何防止正负偏差相互抵消
4.如何消除数据个数的影响
不能，因为正负偏差会相互抵消.
将各偏差平方后再求和.
将各偏差平方求和后相加再求平均数.
当数据分布比较分散的时候，各个数据与平均数的差的平方和较大，所以，方差就越大，数据的波动也越大；当数据分布比较集中的时候，各个数据与平均数的差的平方和较小，所以，方差就较小，数据的波动就会越小.因此，方差的大小反映了数据波动(或离散程度)的大小，通常，如果一组数据的方差越小，我们就说它越稳定.
学生活动三 【习题练习】
两个小组各5名同学，用分度值是1cm的刻度尺测量同一支铅笔的长度，测量误差数据(单位:mm)如下:
第一组:-2 -1 0 1 2
第二组:-3 -2 0 2 3
从直观上看，哪一组同学测量得较准确
第一组测量得较准确.
两个小组各5名同学，用分度值是1cm的刻度尺测量同一支铅笔的长度，测量误差数据(单位:mm)如下:
第一组:-2 -1 0 1 2
第二组:-3 -2 0 2 3
(2)分别计算两组数据的方差，并进行比较，验证你的结论。
两组数据的方差分别为
第一组测量的方差较小，所以测量的准确.
学生活动四 【习题练习】
完成课本P20练习
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B
1.
A．最小值 B．平均数
C．中位数 D．众数
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2.
A
已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．10
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3.
D
[教材P24习题A组T1变式]甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：s2甲＝2.1，s2乙＝3.5，s2丙＝9，s2丁＝0.7，则成绩最稳定的是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
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4.
B
[2024上海中考]已知某人要种植培育的种子有四种类型，分别是甲、乙、丙、丁，对于每一种种子，发芽天数与稳定性(方差)如下表所示，在同时考虑稳定性和快速发芽的情况下，他应该选择的种子类型是(　　)
A．甲种类
B．乙种类
C．丙种类
D．丁种类
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数 2.3 2.3 3.1 2.8
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
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5.
甲
[2024长沙中考]为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知______种秧苗长势更整齐(填“甲”“乙”或“丙”)．
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6.
＜
[2024青岛中考]图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地2024年5月27日至31日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为s2甲，s2乙，则s2甲________s2乙．(填“>”“＝”“<”)
7.
80
某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛(满分100分)，并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：m＝________，n＝________；
平均数/分 众数/分 中位数/分
七年级参赛 学生成绩 85.5 m 87
八年级参赛 学生成绩 85.5 85 n
86
＞
(2)七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为s12，s22，请判断s12________s22(填“＞”“＜”或“＝”)；
(3)从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
解：因为两个年级参赛学生成绩的平均数相同，七年级参赛学生成绩的中位数较大，所以七年级参赛学生的成绩较好．
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1.方差的概念.
2.方差的大小反应了一组数据的波动的大小.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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