资源简介

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.3.2 方差在实际问题中的应用
副标题：用数据波动分析解决实际决策问题
背景图：展示方差应用的多场景拼贴，包括工厂零件检测报告、运动员成绩分析表、班级成绩分布直方图和股票收益波动曲线图，体现方差的实用价值。
幻灯片 2：回顾与应用引入
方差核心知识回顾：
定义：各数据与平均数差的平方的平均数，记为\(s^2\)。
意义：方差越小，数据波动越小，稳定性越强；方差越大，数据波动越大，稳定性越弱。
计算公式：\(s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)。
实际应用的必要性：在生产、竞技、教育等领域，仅通过平均数无法全面评估数据特征，方差能补充反映数据的稳定性，为决策提供科学依据。
问题引入：某企业需从 A、B 两家供应商中选择一家合作，两家提供的零件平均尺寸相同，但 A 的方差为 0.02，B 的方差为 0.15，应选择哪家？引出方差在实际决策中的作用。
幻灯片 3：应用场景 1—— 工业质量控制
核心需求：生产过程中需保证产品尺寸、重量等指标的稳定性，方差是监控质量的关键指标。
案例分析：
背景：某汽车零部件厂对两条生产线的零件直径（mm）进行检测，数据如下：
生产线甲：10.0, 10.1, 9.9, 10.0, 10.0（\(\bar{x}=10.0\)，\(s^2=0.002\)）
生产线乙：9.8, 10.2, 9.9, 10.1, 10.0（\(\bar{x}=10.0\)，\(s^2=0.02\)）
分析：甲生产线方差更小，零件尺寸更均匀，质量更稳定。
决策建议：优先选择甲生产线的零件，减少装配误差；对乙生产线进行调试，降低方差。
行业标准：多数工业产品会设定方差阈值，超过阈值需停产检修，如精密零件方差通常要求≤0.01。
幻灯片 4：应用场景 2—— 体育竞技评估
核心需求：评估运动员的发挥稳定性，方差小的运动员在关键比赛中更可靠。
案例分析：
背景：某射击队需选拔一名选手参加决赛，两名候选人近期训练成绩（环）如下：
选手甲：9.8, 9.9, 10.0, 10.1, 10.2（\(\bar{x}=10.0\)，\(s^2=0.012\)）
选手乙：9.5, 9.7, 10.0, 10.3, 10.5（\(\bar{x}=10.0\)，\(s^2=0.16\)）
分析：甲的方差远小于乙，发挥更稳定，决赛中更易保持正常水平。
决策建议：选择选手甲参加决赛，乙需加强稳定性训练。
拓展应用：团队运动中分析球员得分方差，评估其贡献的稳定性（如篮球运动员的场均得分方差）。
幻灯片 5：应用场景 3—— 教育教学评价
核心需求：分析班级成绩的离散程度，评估教学效果和学生差异。
案例分析：
背景：某班两次数学测验成绩的方差变化：
第一次测验：\(s^2=120\)（成绩两极分化严重）
第二次测验：\(s^2=60\)（方差降低，成绩更均衡）
分析：方差下降说明教学调整有效，学困生进步明显，班级整体水平更均衡。
教学建议：针对第一次测验方差大的问题，采取分层教学、个别辅导等措施，降低成绩波动。
数据对比：优秀班级的成绩方差通常较小，说明教学兼顾不同层次学生；方差过大可能需调整教学策略。
幻灯片 6：应用场景 4—— 投资风险分析
核心需求：通过收益方差评估投资风险，方差越小说明收益越稳定，风险越低。
案例分析：
背景：两种投资产品的年收益率（%）如下：
产品 A：5, 6, 5, 7, 7（\(\bar{x}=6\)，\(s^2=0.8\)）
产品 B：3, 9, 5, 8, 5（\(\bar{x}=6\)，\(s^2=5.2\)）
分析：A 产品方差小，收益波动小，适合风险厌恶型投资者；B 产品方差大，收益不稳定，但可能有高回报机会。
决策建议：保守型投资者选择 A，进取型投资者可搭配投资 A 和 B，平衡风险与收益。
金融常识：股票的方差通常大于债券，因此股票风险更高；基金通过分散投资降低整体方差（风险）。
幻灯片 7：例题讲解 1（综合决策）
题目呈现：某学校需从两名食堂承包商中选择一家，每周菜品评分（满分 10 分）如下：
承包商甲：8, 8, 9, 9, 8（\(\bar{x}=8.4\)，\(s^2=0.24\)）
承包商乙：7, 10, 9, 8, 8（\(\bar{x}=8.4\)，\(s^2=1.04\)）
从稳定性角度分析，应选择哪家？说明理由。
解答过程：
比较方差：\(s_ ^2 = 0.24 < s_ ^2 = 1.04\)。
分析：甲的评分波动更小，菜品质量更稳定，学生满意度更均衡；乙的评分忽高忽低，可能存在菜品质量不稳定问题。
结论：应选择承包商甲。
幻灯片 8：例题讲解 2（问题改进）
题目呈现：某班 4 名同学的数学模拟考试成绩（分）如下：
第一次：75, 85, 90, 95（\(\bar{x}=86.25\)，\(s^2=78.125\)）
第二次：80, 85, 85, 95（\(\bar{x}=86.25\)，\(s^2=46.875\)）
两次平均分相同，第二次方差降低的原因是什么？对教学有何启示？
解答过程：
原因分析：第二次考试中低分同学（75→80）成绩提升，高分段波动减小，导致整体方差降低。
教学启示：针对性辅导学困生能有效降低成绩波动，提高班级整体稳定性，后续可继续加强分层教学。
幻灯片 9：方差与其他统计量的综合应用
“三数”+ 方差的全面分析：
平均数：反映整体水平。
中位数：反映中等水平。
众数：反映多数情况。
方差：反映波动程度。
案例综合分析：某电商平台两款手机的用户评分数据：
手机 A：评分（5 分制）4,4,5,5,5（\(\bar{x}=4.6\)，中位数 = 5，众数 = 5，\(s^2=0.24\)）
手机 B：评分（5 分制）3,4,5,5,6（\(\bar{x}=4.6\)，中位数 = 5，众数 = 5，\(s^2=1.04\)）
结论：A 手机评分更稳定，用户评价更一致，购买风险更低。
决策原则：综合参考集中趋势和离散程度，重要决策需多指标验证。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：某饮料厂两条生产线的日产量（箱）方差分别为\(s_ ^2=25\)，\(s_ ^2=16\)，______生产线的日产量更稳定。
题目 2：两名运动员的 100 米跑成绩（秒）方差：甲 0.02，乙 0.05，______更适合参加奥运会（需稳定发挥）。
题目 3：某班英语成绩方差从 80 降至 40，说明班级成绩______（填 “更稳定” 或 “更波动”）。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合决策）
题目 4：某农场需选择小麦品种，A 品种的亩产量（kg）数据：500, 520, 490, 510, 480；B 品种：450, 550, 500, 500, 500。
计算两种品种的平均数和方差。
从产量稳定性角度，推荐种植哪种品种？
题目 5：某公司招聘，甲、乙两人面试成绩平均分相同，甲的成绩方差为 1.2，乙的为 0.8，若岗位需稳定发挥，应录用谁？
幻灯片 12：实际应用中的注意事项
结合数据背景：方差仅反映波动程度，需结合实际需求判断优劣，如投资中高风险可能伴随高回报，并非方差越小越好。
样本量影响：小样本方差可能存在偶然性，需足够数据量才能准确反映真实波动（如工业检测通常需≥30 个样本）。
单位一致性：比较方差时需确保数据单位一致，避免不同单位的方差直接对比（如 kg 与 g 不可直接比较）。
极端值处理：数据中存在异常值时，需先验证是否为误差，必要时剔除后再计算方差（如比赛评分常去掉最高分和最低分）。
幻灯片 13：课堂总结
核心应用领域：方差在工业质量控制、体育竞技、教育评价、投资分析等领域发挥关键作用，用于评估数据稳定性。
决策逻辑：方差越小，数据越稳定，适合对稳定性要求高的场景（如精密制造、关键比赛）；方差分析需结合平均数等统计量综合判断。
实践价值：通过方差监控可及时发现问题（如生产线波动增大），为优化改进提供方向，提升效率和质量。
学习启示：不仅要会计算方差，更要理解其实际意义，培养用数据波动分析问题的思维。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）某品牌两种型号电池的续航时间（小时）：A 型：5, 6, 5, 7, 7；B 型：4, 8, 6, 6, 6。计算方差并判断哪种型号续航更稳定。
（2）某班 3 次数学测验的方差分别为 90、70、50，分析班级成绩的变化趋势。
拓展作业：调查学校附近两家超市的同一种零食价格（连续 5 天），计算方差并分析哪家价格更稳定，为购买决策提供建议。
实践作业：记录自己一周内每天的睡眠时间和作业完成质量（1-5 分），分别计算方差，分析睡眠稳定性与作业质量的关系。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.2 方差在实际问题中的应用
第二十三章 数据分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．能计算一组数据的方差，并会用方差分析数据的离散程度.
2．学会从实际问题中提取信息，用合适的统计量去分析数据，解决问题.
3．学生通过独立思考，提出解决问题的设想和策略，能够合理的解决问题，提高决策能力.
在上节课的学习中，我们学习了方差的定义，并学会了
如何求一组数据的方差，下面谁能说一下方差的定义呢？
方差是用来衡量一组数据的波动大小的数据(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
学生活动一 【一起探究】
张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择，他做了一番试验.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A 线路所用时间 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40
B 线路所用时间 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示.
（1）从图形看，哪条线路平均用时少，哪条路线用时的波动大？
（2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差.
A的平均用时少，波动大.
（3）如果某天上班可用时间40min，应选择走哪条路线？
（4）如果某天上班可用时间为50min，应选择走哪条路线？
选择A路线.
选择B路线.
学生活动二 【例题分析】
例 测试甲、乙两个品牌的手表各50只，根据日走时误差数据绘制的统计图如下图所示，从日走时误差角度分析这两个品牌手表的优劣.
（1）你会想到用哪个统计量去做比较？平均数越大越好吗？
解：平均数是首选，因为平均数代表的是平均水平.
由于我们考察的数据是手表日走时误差，所以平均数与0越
接近，说明误差越小，质量越好.
（1）你会想到用哪个统计量去做比较？平均数越大越好吗？
计算甲、乙两品牌手表日走时误差的平均数：
通过计算，我们会发现两个品牌的平均数相同，
所以单从平均数角度已无法判断甲、乙的优劣.
（2）平均数相同的情况下，我们还可以通过什么统计量来
比较甲、乙两个品牌手表日走时误差的优劣？
所以从日走时误差方差的的角度看，甲品牌优于乙品牌.
（3）观察两种手表日走时误差的分布范围，你有什么发现？你能通过图示，说明两种手表的方差的大小吗？
解：甲品牌的误差分布范围在-2到2之间，乙品牌的误差范围在-3到3之间，甲品牌的误差范围较小，所以甲品牌手表优于乙品牌手表.
（4）若规定日走时误差的绝对值不超过1s为优秀，判断甲、乙的优劣.
解：甲的优秀率=（11+17+13）÷50×100％=82％.
乙的优秀率=（11+14+8）÷50×100％=66％.
82％>66％
∴甲品牌优于乙品牌.
学生活动三 【习题练习】
现有两组数据如下:
A:300 400 500 600 700 800 900
B:570 580 590 600 610 620 630
这两组数据的平均数都是600，那么，平均数对哪一组数据的代表性较好呢？请用平均数和方差进行分析.
平均数对B组数据的代表性较好.
由于A,B两组数据的平均数都是600，
方差分别是
一组数据的方差较大时，平均数对数据的代表性较差，
方差较小时，平均数对数据的代表性较好.
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8.
B
[2024宜宾中考]某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间(单位：min)：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80.对这组数据判断正确的是(　　)
A．方差为0
B．众数为75
C．中位数为77.5
D．平均数为75
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9.
C
若一组数据a1，a2，…，an的平均数为10，方差为4，则数据2a1＋3，2a2＋3，…，2an＋3的平均数和方差分别是(　　)
A．23，4
B．23，8
C．23，16
D．23，19
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10.
D
甲、乙两人在相同条件下，各射击10次．经计算，甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.6.下列说法不正确的是(　　)
A．甲、乙成绩的总环数相同
B．甲的成绩比乙的成绩稳定
C．甲、乙成绩的中位数可能相同
D．甲、乙成绩的众数一定相同
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11.
＞
[2024常州中考]小丽进行投掷标枪训练，总共投掷
10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s12.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s22，则s12________s22(填“＞”“＝”或“＜”)．
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12.
1或6
若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据25，26，27，28，29的方差相等，则x的值为________．
13.
某景区有甲、乙两条上山的小路，均由连续的台阶构成，如图所示是甲、乙两路段的部分台阶示意图(图中数据表示每一级台阶的高度，
单位：cm)．
(1)分别求出两路段台阶高度的中位数；
(2)嘉淇计算了甲路段台阶高度的方差，请参照她的计算方法，计算乙路段台阶高度的方差，并分析哪段台阶走起来更舒服．
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1.方差含义与作用.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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