资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.1 一元二次方程
副标题：从实际问题到代数模型的转化
背景图：展示与一元二次方程相关的生活场景，如矩形场地面积计算、物体自由下落运动轨迹、增长率问题的图表等，体现方程的实际应用价值。
幻灯片 2：情境引入与问题提出
生活中的数学问题：
情境 1：某学校要建一个面积为 200 平方米的矩形花坛，长比宽多 10 米，求花坛的长和宽。设宽为 x 米，则长为 (x+10) 米，可列方程：x (x+10)=200。
情境 2：某商品原价为 100 元，经过两次降价后售价为 81 元，设平均每次降价的百分率为 x，可列方程：100 (1-x) =81。
情境 3：一个正方形的边长增加 3 厘米后，面积增加了 39 平方厘米，求原正方形的边长。设原边长为 x 厘米，可列方程：(x+3) - x =39。
方程的共同特征：这些问题列出的方程都只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2，引出 “一元二次方程” 的概念。
幻灯片 3：一元二次方程的定义
定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
关键词解析：
整式方程：方程两边都是关于未知数的整式（分母不含未知数，根号下不含未知数）。
一元：只含有一个未知数（如 x、y 等）。
二次：未知数的最高次数是 2（即含未知数平方的项，且该项系数不为 0）。
判断示例：
是一元二次方程：x -5x+6=0，2y =3y+1，(x+2)(x-3)=x-1。
不是一元二次方程：x -2x =0（未知数最高次数为 3），x+y =1（含两个未知数），\(\frac{1}{x }\)+x=2（不是整式方程）。
幻灯片 4：一元二次方程的一般形式
一般形式：ax +bx+c=0（a≠0），其中：
ax 叫做二次项，a 是二次项系数（a≠0，否则方程不是二次方程）。
bx 叫做一次项，b 是一次项系数。
c 叫做常数项。
转化步骤：将一元二次方程通过去括号、移项、合并同类项等变形，化为一般形式。
示例转化：
方程 x (x+1)=3 (x-2)，展开得 x +x=3x-6，移项合并得 x -2x+6=0（其中 a=1，b=-2，c=6）。
方程 2x =5x-3，移项得 2x -5x+3=0（其中 a=2，b=-5，c=3）。
幻灯片 5：例题讲解 1（识别一元二次方程）
题目呈现：下列方程中，哪些是一元二次方程？为什么？
（1）3x +2x-1=0 （2）x +y=5 （3）x +\(\frac{1}{x}\)=2 （4）(x+2)(x-2)=x -1
解答过程：
（1）是一元二次方程：只含一个未知数 x，最高次数 2，是整式方程。
（2）不是：含有两个未知数 x 和 y，是二元方程。
（3）不是：分母含未知数 x，不是整式方程。
（4）不是：化简后得 x -4=x -1，即 - 4=-1，不含二次项，是矛盾方程。
幻灯片 6：例题讲解 2（化为一般形式并确定系数）
题目呈现：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）5x =3x （2）(x+2)(x-3)=1 （3）2x (x-1)=x -2
解答过程：
（1）移项得 5x -3x=0，一般形式：5x -3x=0。二次项系数 5，一次项系数 - 3，常数项 0。
（2）展开得 x -3x+2x-6=1，合并得 x -x-7=0。一般形式：x -x-7=0。二次项系数 1，一次项系数 - 1，常数项 - 7。
（3）展开得 2x -2x=x -2，移项合并得 x -2x+2=0。一般形式：x -2x+2=0。二次项系数 1，一次项系数 - 2，常数项 2。
幻灯片 7：一元二次方程的解（根）的概念
定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
验证方法：将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则该值是方程的根。
示例验证：
判断 x=2 是否是方程 x -3x+2=0 的根：代入左边 = 2 -3×2+2=4-6+2=0，右边 = 0，左边 = 右边，故 x=2 是方程的根。
判断 x=1 是否是方程 2x -5x+3=0 的根：代入左边 = 2×1-5×1+3=0，右边 = 0，故 x=1 是方程的根。
幻灯片 8：例题讲解 3（检验方程的根）
题目呈现：已知方程 x -5x+6=0，检验 x=2 和 x=3 是否是该方程的根。
解答过程：
当 x=2 时，左边 = 2 -5×2+6=4-10+6=0，右边 = 0，左边 = 右边，所以 x=2 是方程的根。
当 x=3 时，左边 = 3 -5×3+6=9-15+6=0，右边 = 0，左边 = 右边，所以 x=3 是方程的根。
结论：x=2 和 x=3 都是方程 x -5x+6=0 的根。
幻灯片 9：列一元二次方程解决实际问题
步骤：
审题：明确问题中的数量关系和未知量。
设元：设未知数（直接设或间接设）。
列方程：根据等量关系列出一元二次方程。
整理：化为一般形式（可选，根据需求）。
例题：
题目：一个直角三角形的两条直角边的和为 14cm，面积为 24cm ，求两条直角边的长。
解答：设一条直角边为 x cm，则另一条为 (14-x) cm，根据面积公式列方程：\(\frac{1}{2}\)x (14-x)=24，整理得 x -14x+48=0。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础概念）
题目 1：下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. 2x+1=0 B. x +y=0 C. x -3x=4 D. x +\(\sqrt{x}\)=2
题目 2：方程 3x -5x=2 化为一般形式是______，二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______。
题目 3：检验 x=-1 是否是方程 x -2x-3=0 的根：______（填 “是” 或 “否”）。
幻灯片 11：课堂练习 2（列方程解决问题）
题目 4：一个长方形的周长是 30cm，面积是 54cm ，设长为 x cm，可列方程为______。
题目 5：某厂今年 1 月份的产值为 100 万元，3 月份的产值为 121 万元，设平均每月增长的百分率为 x，可列方程为______。
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：忽略一元二次方程一般形式中 “a≠0” 的条件，如认为方程 ax +bx+c=0 一定是一元二次方程，未考虑 a=0 的情况。
易错点 2：列方程时等量关系错误，如面积问题中混淆周长与面积公式，增长率问题中未正确理解 “增长后的量 = 原量 ×(1 + 增长率) ”。
易错点 3：检验方程的根时计算错误，代入后未正确化简左右两边，导致判断失误。
易错点 4：将不是整式的方程误判为一元二次方程，如含分式或根号下含未知数的方程。
幻灯片 13：课堂总结
核心概念：一元二次方程是只含一个未知数，未知数最高次数为 2 的整式方程，一般形式为 ax +bx+c=0（a≠0）。
关键要素：二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c，需通过化为一般形式确定，且 a 不能为 0。
方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值，可通过代入检验判断。
应用步骤：解决实际问题时，需通过审题设元、列方程，将实际问题转化为数学模型。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）将方程 (2x-1) =3x 化为一般形式，并写出各项系数。
（2）检验 x=3 和 x=4 是否是方程 x -7x+12=0 的根。
拓展作业：
（1）一个两位数，十位数字与个位数字的积是 24，且十位数字比个位数字大 2，求这个两位数（列出方程即可）。
（2）某小区要建一个圆形喷水池，其面积为 314 平方米，求喷水池的半径（π 取 3.14，列出方程即可）。
实践作业：观察生活中可以用一元二次方程解决的问题，记录一个实例并尝试列出方程。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.1 一元二次方程
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解一元二次方程的概念.掌握一元二次方程的一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.
2.通过一元二次方程的引入,培养学生建模思想,归纳、分析问题及解决问题的能力.
3.体会数学来源于生活,又回归生活的理念;体会数学知识与现实世界的联系.
如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
根据题意,得
解：设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为（100－2x)cm,
宽为(50－2x)cm,
（100－2x)(50－2x)=3600
化简，得
x2-75x+350=0
某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2，求这个长方形存车处的长和宽.
学生活动一 【观察与思考】
小明：设长方形存车处的宽（靠墙的一边）为x m，则它的长为 m.根据题意，可得方程 .
整理，得x2-90x+1400=0.
小亮：设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为x m，则它的宽为（90-2x）m.根据题意，可得方程（90-2x）·x=700.
整理，得x2-45x+350=0.
学生活动二 【做一做】
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？
解：设梯子的底端在地面上滑动的距离x m,
于是得方程 102=(8-1)2+(6+x )2.
整理得 x2+12x－15=0.
10
8
6
学生活动三 【思考】
在上面的两个问题中，我们得到方程：x2-90x+1400=0，x2-45x+350=0，x2+12x－15=0.观察这三个方程，它们有什么共同特征？你能类比一元一次方程的概念,给出一元二次方程的定义吗
1.只含有一个未知数；
2.未知数的最高次数都是2；
3.都是整式方程.
01 一元一次方程的定义及一般式
定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，
b是一次项系数，c是常数项.
【做一做】将下列一元二次方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）
（2）
（3)
（4）
02 一元一次方程的根
定义： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.
在活动一中我们设长方形存车处的长（与墙垂直的一边）为xm，得到的方程为 x2-45x+350=0
想一想：存车处的长可以是10m吗？可以是20m吗？
做一做：在下列各题中，括号内未知数的值，哪些是它前面方程的根？
（1）
（2）
（3）
返回
B
1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
2.
2
已知关于x的方程(m＋2)·x|m|－3x＋2＝0是一元二次方程，则m＝________．
返回
3.
B
一元二次方程3x2－4x＋2＝0的二次项系数是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．－4
返回
4.
B
将一元二次方程3x＋4＝2x2化为一般形式为(　　)
A．2x2－3x＋4＝0
B．2x2－3x－4＝0
C．2x2＋3x－4＝0
D．2x2＋3x＋4＝0
5.
解：移项，得3x2－4x＝0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－4，常数项为0.
将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)3x2＝4x;
(2)2y2＝3y－4；
移项，得2y2－3y＋4＝0.
其中二次项系数为2，一次项系数为－3，常数项为4.
去括号，得6x2＋2x＝17，移项，得6x2＋2x－17＝0.
其中二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为－17.
(3)2x(3x＋1)＝17； 　
(4)(2x－2)2＝8(x＋2)．
去括号，得4x2－8x＋4＝8x＋16，
移项、合并同类项、二次项系数化为1，得x2－4x－3＝0.
其中二次项系数为1，一次项系数为－4，常数项为－3.
返回
返回
6.
C
[2025保定期中]下列x的值中，能使方程x2－x＝2成立的是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
返回
7.
C
若一元二次方程(k－1)x2＋3x＋k2－1＝0的一个解为x＝0，则k的值为(　　)
A．±1
B．1
C．－1
D．0
返回
8.
－4
[2025邢台校级月考]已知x＝2是一元二次方程
x2＋bx－c＝0的解，则2b－c＝________．
一元二次方程
一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).二次项，一次项，常数.
一元二次方程的解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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