资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.2.1 配方法
副标题：一元二次方程的转化求解策略
背景图：展示拼图游戏中通过填补空缺完成正方形的示意图，类比配方法中 “凑完全平方” 的核心思想，搭配一元二次方程转化为完全平方形式的公式演变图。
幻灯片 2：情境回顾与问题引入
旧知回顾：我们已经学习了一元二次方程的定义和一般形式 ax +bx+c=0（a≠0），如何求解这类方程？
特殊方程的启发：
方程 x =4 可通过开平方直接求解，得 x=±2。
方程 (x+3) =5 也可开平方求解，得 x+3=±√5，即 x=-3±√5。
问题转化：对于一般的一元二次方程，能否转化为 (x+m) =n（n≥0）的形式再求解？引出 “配方法” 的概念。
幻灯片 3：完全平方公式回顾
核心公式：(a+b) =a +2ab+b ，(a-b) =a -2ab+b 。
结构特征：完全平方展开式由 “首平方、尾平方、两倍首尾乘积放中央” 组成，即二次项系数为 1 时，形如 x +2mx+m =(x+m) 。
示例应用：
x +6x+9 = x +2×3×x+3 = (x+3) 。
x -8x+16 = x -2×4×x+4 = (x-4) 。
关键结论：当二次项系数为 1 时，若一次项系数是某个数的 2 倍，则加上这个数的平方可凑成完全平方。
幻灯片 4：配方法的定义与基本思路
定义：通过配方将一元二次方程 ax +bx+c=0（a≠0）转化为 (x+m) =n（n≥0）的形式，再利用开平方求解的方法，叫做配方法。
基本思路：
化二次项系数为 1（若系数不为 1）。
移项：把常数项移到方程右边。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方形式。
开方：若右边是非负数，则两边开平方得两个一元一次方程。
求解：解一元一次方程得到原方程的根。
核心思想：“转化”—— 将未知的一元二次方程转化为已知的完全平方形式方程。
幻灯片 5：例题讲解 1（二次项系数为 1）
题目呈现：用配方法解方程 x +6x+5=0。
解答过程：
步骤 1：移项，得 x +6x=-5。
步骤 2：配方（一次项系数 6 的一半是 3，平方为 9），两边加 9：x +6x+9=-5+9。
步骤 3：化为完全平方形式：(x+3) =4。
步骤 4：开平方，得 x+3=±2。
步骤 5：求解，得 x =-3+2=-1，x =-3-2=-5。
验证：将 x=-1 代入原方程，左边 = 1-6+5=0，右边 = 0，成立；同理 x=-5 也成立。
幻灯片 6：例题讲解 2（二次项系数不为 1）
题目呈现：用配方法解方程 2x -4x-1=0。
解答过程：
步骤 1：化二次项系数为 1，两边除以 2：x -2x-\(\frac{1}{2}\)=0。
步骤 2：移项，得 x -2x=\(\frac{1}{2}\)。
步骤 3：配方（一次项系数 - 2 的一半是 - 1，平方为 1），两边加 1：x -2x+1=\(\frac{1}{2}\)+1。
步骤 4：化为完全平方形式：(x-1) =\(\frac{3}{2}\)。
步骤 5：开平方，得 x-1=±√(\(\frac{3}{2}\))=±\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)。
步骤 6：求解，得 x =1+\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)，x =1-\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)。
注意事项：二次项系数不为 1 时，需先除以系数，确保配方步骤正确。
幻灯片 7：配方法的完整步骤总结
化 1：方程两边同除以二次项系数，使二次项系数变为 1。
移项：把常数项移到方程右边，左边只留二次项和一次项。
配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
成形：左边化为 (x+m) 的形式，右边合并同类项。
开方：若右边是非负数（n≥0），则两边开平方得 x+m=±√n。
求解：解两个一元一次方程，得到原方程的两个根。
口诀记忆：一化二移三配方，四成平方五开方，六解求得两根来。
幻灯片 8：例题讲解 3（含分数系数）
题目呈现：用配方法解方程 3x +5x-2=0。
解答过程：
步骤 1：化 1，两边除以 3：x +\(\frac{5}{3}\)x-\(\frac{2}{3}\)=0。
步骤 2：移项，得 x +\(\frac{5}{3}\)x=\(\frac{2}{3}\)。
步骤 3：配方（一次项系数\(\frac{5}{3}\)的一半是\(\frac{5}{6}\)，平方为\(\frac{25}{36}\)），两边加\(\frac{25}{36}\)：
x +\(\frac{5}{3}\)x+\(\frac{25}{36}\)=\(\frac{2}{3}\)+\(\frac{25}{36}\)。
步骤 4：成形：(x+\(\frac{5}{6}\)) =\(\frac{24}{36}\)+\(\frac{25}{36}\)=\(\frac{49}{36}\)。
步骤 5：开方：x+\(\frac{5}{6}\)=±\(\frac{7}{6}\)。
步骤 6：求解：x =\(\frac{7}{6}\)-\(\frac{5}{6}\)=\(\frac{1}{3}\)，x =-\(\frac{7}{6}\)-\(\frac{5}{6}\)=-2。
幻灯片 9：配方后右边为负数的情况
问题提出：用配方法解方程 x +2x+3=0，会出现什么结果？
解答过程：
移项得 x +2x=-3，配方得 (x+1) =-2。
分析：由于任何实数的平方都非负，即 (x+1) ≥0，而右边是 - 2，矛盾。
结论：当配方后方程右边为负数时，原一元二次方程无实数根。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：用配方法解方程 x -4x+3=0，步骤如下：
移项得______，配方得______，开方得______，解得 x =，x =。
题目 2：方程 2x +8x-1=0 化为 (x+m) =n 的形式是______，解为______。
题目 3：判断方程 x -6x+10=0 是否有实数根：______（填 “是” 或 “否”）。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合提升）
题目 4：用配方法解方程：
（1）x +10x-2=0 （2）3x -6x+1=0
题目 5：当 k 为何值时，方程 x -2x+k=0 有实数根？（提示：配方后右边≥0）
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：配方时只在左边加一次项系数一半的平方，忘记在右边加，导致等式不成立。
示例：解方程 x +4x=5 时，误写成 (x+2) =5，遗漏右边加 4。
易错点 2：二次项系数不为 1 时，未先化为 1 就直接配方，步骤错误。
示例：解方程 2x -4x=1 时，直接配方为 (2x-2) =5，忽略系数化 1。
易错点 3：计算一次项系数一半的平方时出错，尤其是分数系数。
示例：方程 x +\(\frac{3}{2}\)x=1 中，误将一次项系数一半的平方算为\(\frac{9}{4}\)（正确应为\(\frac{9}{16}\)）。
易错点 4：开平方后忘记取正负号，只得到一个根。
示例：(x-1) =4 时，误得 x-1=2，漏掉 x-1=-2 的情况。
幻灯片 13：配方法的应用价值
解方程：直接求解一元二次方程，尤其是二次项系数为 1 的方程更简便。
公式推导：为推导一元二次方程的求根公式奠定基础。
二次函数性质研究：通过配方将二次函数化为顶点式，分析最值和对称轴。
非负性应用：证明代数式的最值（如 x -2x+3=(x-1) +2≥2，最小值为 2）。
幻灯片 14：课堂总结
核心方法：配方法通过 “化 1→移项→配方→开方→求解” 步骤，将一元二次方程转化为 (x+m) =n 的形式求解。
关键技巧：配方时需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，确保等式成立。
根的情况：配方后若右边 n≥0，方程有两个实数根；若 n<0，方程无实数根。
思想本质：体现 “转化与化归” 的数学思想，将未知问题转化为已知问题解决。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：用配方法解下列方程：
（1）x -2x-8=0 （2）x +5x+6=0 （3）2x -7x+3=0
拓展作业：
（1）用配方法求代数式 2x -4x+5 的最小值。
（2）已知方程 x +ax+b=0 通过配方得 (x-2) =1，求 a 和 b 的值。
实践作业：自编一道能用配方法求解的一元二次方程，并写出完整的解题步骤。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.1 配方法
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化、降次的数学思想方法.
3.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神，感受数学的严谨性.
问题1：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；
如果没有，请说明理由.
（1）0 （2）（-1.2）2 （3）-a2
（4）- 1 （5）12 （6）52
问题2：试着做做：根据平方根的意义，解下列方程.
（1） x2=4 （2）（x+1）2=4
（3）（x-6）2=4 （4）（2x-2）2=25
一般地，对于方程x2＝p,
(1) 当p>0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
x1＝－ ，x2＝ ；
(2) 当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
(3) 当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根．
【做一做】:将下列方程化为(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)的
形式,再求出方程根.
（1）x2+2x=48；
（2）x2-4x=12；
（3）x2-6x+5=0；
（4）x2+x- =0；
x1 =6, x2 =-8
x1 =6, x2 =-2
x1 =5, x2 =1
x1 =, x2 =-
学生活动
通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例1:用配方法解下列方程．
(1)x2－10x－11＝0; (2)x2＋2x－1＝0.
解：
(2)移项，得x2＋2x＝1.
　 配方，得 x2＋2x＋12＝1＋12，
　 即 (x＋1)2＝2.
　 两边开方，得
所以　　
(1)移项得　x2－10x＝11.
配方得x2－10x＋52＝11＋52，
即　(x－5)2＝36.
两边开方，得
所以　　
配方时，先将常数项移至另一边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.
用配方法解一元二次方程的步骤：
形如x2＋px＋q=0型：
第一步移项，把常数项移到右边；
第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；
第三步左边写成完全平方式；
第四步，直接开方即可．
例2:用配方法解方程：2x2+3＝6x.
解：
移项，并将二次项系数化为1，得 x2－3x＝
配方，得 x2－3x＋
即　　
两边开方，得
所以　　
对于用配方法解一元二次方程，一般地，首先将二次项系数化为1，并将常数项移到方程的右边，再将方程的两边都加上一次项系数一半的平方，然后写成完全平方的形式，用直接开平方法求得方程的两个根．
做一做：用配方法解方程：2x2+4x+1＝0.
用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
与同学交流你的想法。
（1）移项:把常数项移到方程的右边;
（2）二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项系数；
（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
（4）开方：根据平方根的概念，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；
（5）求解：解一元一次方程得到一元二次方程的解．
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k -4k+5的值必定大于零.
解：k -4k+5=k -4k+4-4+5
=（k-2） +1，
∵ （k-2） ≥0，
∴ （k-2） +1≥1
∴ k -4k+5的值必定大于零.
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D
1.
老师出示问题：“解方程x2－4＝0.”四位同学给出了以下答案：甲：x＝2；乙：x1＝x2＝2；丙：x1＝x2＝－2；丁：x1＝2，x2＝－2.下列判断正确的是(　　)
A．甲正确
B．乙正确
C．丙正确
D．丁正确
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2.
方程(x－1)2＝6的解是____________________________．
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3.
解：移项、合并同类项，得x2＝81，
两边开平方，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.
用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－1＝80；　 　
(2)(x－2)2－4＝0.
移项，得(x－2)2＝4，两边开平方，得x－2＝±2，
∴x1＝4，x2＝0.
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4.
C
[2025邯郸期中]用配方法解一元二次方程x2－8x＝－10时，左、右两边需同时加上 (　　)
A．4
B．8
C．16
D．64
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5.
B
[2025保定期中]用配方法解方程x2＋2x＝3时，下列配方正确的是(　　)
A．(x＋1)2＝2
B．(x＋1)2＝4
C．(x＋2)2＝5
D．(x＋2)2＝7
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6.
用配方法解方程：x2－5x－1＝0，把下面的步骤补充完整．
解：移项，得x2－5x＝1，
两边同时加上______，得x2－5x＋______＝1＋________，即(x－________)2＝________，
开平方，得__________________，
所以x1＝________，x2＝________．
7.
用配方法解方程：
(1)[2024徐州中考]x2＋2x－1＝0；
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8.
D
[2025石家庄校级月考]用配方法解方程2x2－4x－6＝0，下列变形正确的是(　　)
A．(x＋2)2＝10
B．(x－2)2＝10
C．(x＋1)2＝4
D．(x－1)2＝4
特征
通过配完全平方式解一元二次方程
步骤
一.移常数项；二.配方[配上 ]；
三.写成 (x+m)2=n (n≥0)；四.开平方解方程
应用
求代数式的最值或字母值
直接开平方法
利用平方根的意义求方程的根的方法
配方法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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