资源简介

幻灯片 1：封面
标题：24.2.2 公式法
副标题：一元二次方程的通用求解公式
背景图：展示从配方法步骤推导出求根公式的逻辑链条图，搭配公式法解题的流程图，凸显公式法的通用性和便捷性。
幻灯片 2：情境回顾与问题引入
旧知回顾：我们已经学习了用配方法解一元二次方程，其核心是将方程转化为\((x+m)^2=n\)的形式。但对于复杂方程，每次配方计算繁琐，能否找到更直接的求解公式？
配方法的局限性：配方法需要逐步变形，步骤较多，容易在配方或计算过程中出错，尤其是系数较大或含分数时。
问题提出：对于一般形式的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)），能否通过配方法推导出一个通用的求根公式，直接代入系数求解？引出 “公式法” 的概念。
幻灯片 3：求根公式的推导
推导过程：
化二次项系数为 1：方程两边同除以\(a\)，得\(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\)。
移项：把常数项移到右边，得\(x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)。
配方：两边加一次项系数一半的平方\((\frac{b}{2a})^2\)，得：\(
x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2
\)
化为完全平方形式：左边为\((x+\frac{b}{2a})^2\)，右边合并得：\(
(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\)
开方条件：当\(b^2-4ac???0\)时，两边开平方得：\(
x+\frac{b}{2a}=?±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\)
求解得公式：\(
x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\)
结论：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)）的求根公式为\(x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（其中\(b^2-4ac???0\)）。
幻灯片 4：公式法的定义与根的判别式
公式法定义：利用求根公式\(x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)直接求解一元二次方程的方法，叫做公式法。
根的判别式：把\(\Delta=b^2-4ac\)叫做一元二次方程根的判别式，它决定方程根的情况：
当\(\Delta>0\)时，方程有两个不相等的实数根：\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)，\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)。
当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根：\(x_1=x_2=-\frac{b}{2a}\)。
当\(\Delta<0\)时，方程无实数根（因为根号下为负数，无意义）。
注意事项：使用公式法前需先将方程化为一般形式，确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值，再计算判别式。
幻灯片 5：公式法的解题步骤
化一般式：将方程化为\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)）的形式，确定\(a\)、\(b\)、\(c\)的值。
算判别式：计算\(\Delta=b^2-4ac\)，判断方程是否有实数根。
代公式：若\(\Delta???0\)，将\(a\)、\(b\)、\(\Delta\)代入求根公式\(x=\frac{-b?±\sqrt{\Delta}}{2a}\)。
求根值：计算并化简，得到方程的两个根（若\(\Delta=0\)则为两个相等的根）。
口诀记忆：一化二判三代四解，判别式先看正负零。
幻灯片 6：例题讲解 1（\(\Delta>0\)的情况）
题目呈现：用公式法解方程\(x^2-4x-5=0\)。
解答过程：
步骤 1：化为一般式，得\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=-5\)。
步骤 2：计算判别式\(\Delta=(-4)^2-4??1??(-5)=16+20=36>0\)。
步骤 3：代入公式：\(x=\frac{-(-4)?±\sqrt{36}}{2??1}=\frac{4?±6}{2}\)。
步骤 4：求解：\(x_1=\frac{4+6}{2}=5\)，\(x_2=\frac{4-6}{2}=-1\)。
结论：方程的两个根为\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)。
幻灯片 7：例题讲解 2（\(\Delta=0\)的情况）
题目呈现：用公式法解方程\(4x^2-4x+1=0\)。
解答过程：
步骤 1：化为一般式，得\(a=4\)，\(b=-4\)，\(c=1\)。
步骤 2：计算判别式\(\Delta=(-4)^2-4??4??1=16-16=0\)。
步骤 3：代入公式：\(x=\frac{-(-4)?±\sqrt{0}}{2??4}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)。
步骤 4：结论：方程有两个相等的实数根\(x_1=x_2=\frac{1}{2}\)。
幻灯片 8：例题讲解 3（\(\Delta<0\)的情况）
题目呈现：用公式法解方程\(2x^2+3x+2=0\)。
解答过程：
步骤 1：化为一般式，得\(a=2\)，\(b=3\)，\(c=2\)。
步骤 2：计算判别式\(\Delta=3^2-4??2??2=9-16=-7<0\)。
步骤 3：结论：因为判别式小于 0，所以方程无实数根。
幻灯片 9：例题讲解 4（含分数系数）
题目呈现：用公式法解方程\(\frac{1}{2}x^2-2x+1=0\)。
解答过程：
步骤 1：化为一般式（去分母），得\(x^2-4x+2=0\)，故\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=2\)。
步骤 2：计算判别式\(\Delta=(-4)^2-4??1??2=16-8=8>0\)。
步骤 3：代入公式：\(x=\frac{-(-4)?±\sqrt{8}}{2??1}=\frac{4?±2\sqrt{2}}{2}=2?±\sqrt{2}\)。
步骤 4：结论：方程的根为\(x_1=2+\sqrt{2}\)，\(x_2=2-\sqrt{2}\)。
幻灯片 10：公式法与配方法的对比
方法
优点
缺点
适用场景
配方法
直观体现转化思想，适用于简单方程
步骤繁琐，计算易出错
二次项系数为 1，系数较小时
公式法
通用高效，直接代入系数求解
需记忆公式，判别式计算不可少
所有一元二次方程，尤其是复杂方程
选择建议：简单方程可任选方法，复杂方程（如系数大、含分数、字母系数）优先用公式法，减少步骤错误。
幻灯片 11：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：用公式法解方程\(x^2-2x-3=0\)，其中\(a=\)，\(b=\)，\(c=\)，\(\Delta=\)，根为\(x_1=\)，\(x_2=\)。
题目 2：方程\(2x^2+5x-3=0\)的判别式\(\Delta=\)______，方程有______个______的实数根。
题目 3：判断方程\(3x^2-2x+1=0\)是否有实数根：（填 “是” 或 “否”），理由是。
幻灯片 12：课堂练习 2（综合提升）
题目 4：用公式法解下列方程：
（1）\(3x^2+6x-1=0\) （2）\(x(x-5)=3(x-5)\)（先化为一般式）
题目 5：当\(k\)为何值时，方程\(kx^2-2x+1=0\)有两个不相等的实数根？（提示：\(k???0\)且\(\Delta>0\)）
幻灯片 13：易错点辨析
易错点 1：确定\(a\)、\(b\)、\(c\)时符号错误，忽略常数项或一次项的正负。
示例：方程\(x^2-3x+2=0\)中，误将\(b=3\)（正确应为\(b=-3\)）。
易错点 2：忘记先将方程化为一般式，直接代入原式系数，导致\(a\)、\(b\)、\(c\)错误。
示例：方程\(x^2=2x-1\)未移项，误取\(c=0\)（正确一般式为\(x^2-2x+1=0\)，\(c=1\)）。
易错点 3：计算判别式时出错，尤其是平方或乘法符号错误。
示例：\(\Delta=(-2)^2-4??1??(-3)\)误算为\(4-12=-8\)（正确应为\(4+12=16\)）。
易错点 4：根号化简不彻底或计算错误，如\(\sqrt{8}\)未化简为\(2\sqrt{2}\)。
幻灯片 14：公式法的应用价值
通用求解：适用于所有一元二次方程，是解一元二次方程的 “万能钥匙”。
根的判断：通过判别式可直接判断方程根的情况，无需求解即可分析问题。
字母系数方程：对于含字母系数的一元二次方程（如\(ax^2+bx+c=0\)中\(a\)、\(b\)为字母），公式法是主要求解方法。
后续学习基础：为二次函数与 x 轴交点问题、一元二次不等式解法等奠定基础。
幻灯片 15：课堂总结
核心公式：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a???0\)）的求根公式为\(x=\frac{-b?±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)（\(\Delta???0\)）。
判别式作用：\(\Delta=b^2-4ac\)决定根的情况，\(\Delta>0\)两不等根，\(\Delta=0\)两等根，\(\Delta<0\)无实根。
解题步骤：化一般式→算判别式→代公式→求根值，关键是准确确定系数和计算判别式。
方法优势：公式法通用、高效，是解一元二次方程的首选方法，尤其适用于复杂方程。
幻灯片 16：课后作业布置
基础作业：用公式法解下列方程：
（1）\(x^2+3x-4=0\) （2）\(2x^2-7x+3=0\) （3）\(x^2-6x+9=0\)
拓展作业：
（1）已知方程\(x^2+mx+2=0\)的一个根为 1，求\(m\)的值和另一个根。
（2）当\(m\)为何值时，方程\((m-1)x^2+2x-1=0\)有实数根？
实践作业：对比用配方法和公式法解同一道复杂方程（如\(3x^2-5x-2=0\)），记录两种方法的步骤和用时，分析公式法的优势。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.2 公式法
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历推导求根公式的过程，加强推理能力的练习.
2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况，会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.通过探究一元二次方程的求根公式,提高学生的观察能力、分析问题能力,同时培养学生的数学建模意识.
问题1：用配方法解下面这个一元二次方程
问题2: 你还会其他的解法吗？
3x2－6x－5＝0
一元二次方程根的判别式及求根公式
一起用配方法解下面这个一元二次方程吧
并模仿解一般形式的一元二次方程
3x2－6x－5＝0
一元二次方程根的判别式及求根公式
x－1＝±????????????
两边同除以a
移项
两边同时加上
整理
开方
解得
步骤
3x2－6x－5＝0
x2－2x－????????＝0
?
x2－2x＝????????
?
x2－2x+1＝????????+1
?
(x－1)2＝????????
?
x＝±????????????+????
?
根的判别式
我们把 b2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式.
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
b2 ? 4ac > 0
b2 ? 4ac = 0
b2 ? 4ac < 0
b2 ? 4ac≥0
求根公式
当b2－4ac ≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的两实数根可以用

求出，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
例1：不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) x2＋3x＋2＝0； (2) x2－4x＋4＝0; (3) 2x2－4x＋5＝0.
解：
(1)这里a＝1，b＝3，c＝2.
∵b2－4ac＝32－4×1×2＝1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)这里a＝1，b＝－4，c＝4.
∵b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0，
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)这里a＝2，b＝－4，c＝5.
∵b2－4ac＝(－4)24×2×5
＝－24＜0，
∴原方程没有实数根.
例2:用公式法解下列方程：
(1) 4x2＋x－3＝0； (2) x2－2x－5＝0；
解：
(1) a＝4，b＝1，c＝－3.
∵ b2－4ac＝12－4×4×(－3)
＝49＞0.
∴
即
(2) a＝1，b＝－2，c＝－5.
∵ b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－5)
＝24＞0，
∴
即
01
公式法解方程的步骤
1. 变形：化已知方程为一般形式；
2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数；
3. 计算：b2 ? 4ac 的值；
4. 判断：若b2 ? 4ac≥0，则利用求根公式求出；
若b2 ? 4ac＜0，则方程没有实数根.
若方程(m－2)x|m|－2x＋1＝0是一元二次方程，
则方程的根是(　 　)
A．x1＝ ，x2＝
B．x1＝ ，x2＝
C．x1＝ ，x2＝
D．以上答案都不对
B
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B
1.
[2025石家庄期中]一元二次方程x2－4x＝－3的根的判别式的值是(　　)
A．28
B．4
C．25
D．16
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2.
A
一元二次方程x2＋3x－2＝0根的情况为(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能判定
返回
3.
D
[2024上海中考]以下一元二次方程有两个相等实数根的是(　　)
A．x2－6x＝0
B．x2－9＝0
C．x2－6x＋6＝0
D．x2－6x＋9＝0
4.
[教材P41例3变式]不解方程，判别下列方程根的情况：
(2)y(y－5)＝－14.
返回
原方程整理得y2－5y＋14＝0，
∴a＝1，b＝－5，c＝14，
∴b2－4ac＝ (－5)2－4×1×14＝25－56＝－31＜0，
∴方程没有实数根．
返回
5.
B
[2025唐山期中]用公式法解方程x2－3x＋1＝0时，计算b2－4ac的值为(　　)
A．－5
B．5
C．－10
D．10
返回
6.
D
A．2x2＋4x－1＝0
B．3x2＋2x－1＝0
C．－x2－2x＋3＝0
D．3x2－2x－1＝0
7.
一
小明在解方程x2－5x＝－4时出现了错误，解答过程如下：
(2)写出此题正确的解答过程．
返回
公式法
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（求 b2 - 4ac 的值）；
四判（方程根的情况）；
五代（代求根公式计算）
务必将方程
化为一般形式
求根公式
用公式法解下列方程：
(1) x2－2x－3＝0；
(2) 2x2＋2x＝1.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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