资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.2.3 因式分解法
副标题：一元二次方程的简便求解策略
背景图：展示将一个多项式分解为两个整式乘积的示意图，搭配一元二次方程转化为\((x+a)(x+b)=0\)形式的过程图，凸显因式分解法的核心思路。
幻灯片 2：情境回顾与问题引入
旧知回顾：我们已经学习了配方法和公式法解一元二次方程，但对于某些特殊方程，是否有更简便的解法？
乘法原理启发：若两个数的乘积为 0，则至少有一个数为 0，即若\(ab=0\)，则\(a=0\)或\(b=0\)（\(a\)、\(b\)为整式）。
问题转化：对于一元二次方程，若能将其左边分解为两个一次因式的乘积，右边化为 0，即可转化为两个一元一次方程求解。引出 “因式分解法” 的概念。
幻灯片 3：因式分解法的定义与依据
定义：通过因式分解将一元二次方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使每个因式等于 0，从而求解方程的方法，叫做因式分解法。
核心依据：若\(A ·B=0\)（\(A\)、\(B\)为整式），则\(A=0\)或\(B=0\)，即 “乘积为零原理”。
适用条件：方程左边的二次三项式能较容易地分解为两个一次因式的乘积，右边为 0。
优势特点：步骤简便、计算快捷，无需复杂配方或代入公式，是解特殊一元二次方程的首选方法。
幻灯片 4：因式分解法的解题步骤
化标准式：将方程化为一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a 0\)），并使右边为 0。
因式分解：把方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，即化为\((mx+p)(nx+q)=0\)的形式。
转化方程：根据乘积为零原理，得到两个一元一次方程：\(mx+p=0\)或\(nx+q=0\)。
求解方程：解这两个一元一次方程，得到原一元二次方程的两个根。
口诀记忆：一化零，二分解，三转化，四求解。
幻灯片 5：常用因式分解方法回顾
提公因式法：若多项式各项有公因式，先提取公因式。
示例：\(ax+bx=x(a+b)\)，\(2x^2-4x=2x(x-2)\)。
平方差公式法：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)。
示例：\(x^2-9=(x+3)(x-3)\)，\(4x^2-25=(2x+5)(2x-5)\)。
完全平方公式法：\(a^2 ±2ab+b^2=(a ±b)^2\)。
示例：\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)，\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)。
十字相乘法：对于\(x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)\)。
示例：\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\)，\(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\)。
幻灯片 6：例题讲解 1（提公因式法）
题目呈现：用因式分解法解方程\(2x^2-6x=0\)。
解答过程：
步骤 1：化为标准式，得\(2x^2-6x=0\)（右边已为 0）。
步骤 2：因式分解，提取公因式\(2x\)：\(2x(x-3)=0\)。
步骤 3：转化方程：\(2x=0\)或\(x-3=0\)。
步骤 4：求解：\(x_1=0\)，\(x_2=3\)。
结论：方程的两个根为\(x_1=0\)，\(x_2=3\)。
幻灯片 7：例题讲解 2（平方差公式法）
题目呈现：用因式分解法解方程\(4x^2-25=0\)。
解答过程：
步骤 1：化为标准式，得\(4x^2-25=0\)。
步骤 2：因式分解，用平方差公式：\((2x+5)(2x-5)=0\)。
步骤 3：转化方程：\(2x+5=0\)或\(2x-5=0\)。
步骤 4：求解：\(x_1=-\frac{5}{2}\)，\(x_2=\frac{5}{2}\)。
结论：方程的两个根为\(x_1=-\frac{5}{2}\)，\(x_2=\frac{5}{2}\)。
幻灯片 8：例题讲解 3（十字相乘法）
题目呈现：用因式分解法解方程\(x^2-7x+12=0\)。
解答过程：
步骤 1：方程已是标准式\(x^2-7x+12=0\)。
步骤 2：因式分解，十字相乘法：寻找两个数，乘积为 12，和为 - 7，即 - 3 和 - 4，故\((x-3)(x-4)=0\)。
步骤 3：转化方程：\(x-3=0\)或\(x-4=0\)。
步骤 4：求解：\(x_1=3\)，\(x_2=4\)。
结论：方程的两个根为\(x_1=3\)，\(x_2=4\)。
幻灯片 9：例题讲解 4（需先移项再分解）
题目呈现：用因式分解法解方程\((x-2)(x+1)=0\)的变形方程\(x(x-2)=x+1\)。
解答过程：
步骤 1：化为标准式，移项得\(x(x-2)-(x+1)=0\)，展开合并：\(x^2-2x-x-1=0\)，即\(x^2-3x-1=0\)（发现无法因式分解，换原方程正确移项）。
正确步骤 1：原方程\(x(x-2)=x+1\)移项得\(x(x-2)-(x+1)=0\)错误，正确移项应为\(x(x-2)-(x+1)=0\)展开为\(x -2x -x -1=0\)即\(x -3x -1=0\)（确实无法因式分解，换例题）。
替换题目：解方程\(x(x-5)=3(x-5)\)。
正确解答：
步骤 1：移项得\(x(x-5)-3(x-5)=0\)。
步骤 2：因式分解，提取公因式\((x-5)\)：\((x-5)(x-3)=0\)。
步骤 3：转化方程：\(x-5=0\)或\(x-3=0\)。
步骤 4：求解：\(x_1=5\)，\(x_2=3\)。
幻灯片 10：因式分解法与其他方法的对比
方法
优点
缺点
适用场景
因式分解法
步骤简便，计算量小
仅适用于可因式分解的方程
二次项系数为 1，常数项易分解的方程
配方法
适用所有方程，体现转化思想
步骤繁琐，易出错
简单方程或推导公式时
公式法
通用高效，无需因式分解
计算判别式和根号化简较复杂
所有方程，尤其是复杂或无法因式分解的方程
选择建议：优先观察方程是否可因式分解，能分解则用因式分解法；否则用公式法，避免强行因式分解浪费时间。
幻灯片 11：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：用因式分解法解方程\(x^2-5x=0\)，步骤：，根为\(x_1=\)，\(x_2=\)______。
题目 2：方程\(x^2-6x+9=0\)用因式分解法化为______，根为______。
题目 3：解方程\(x^2-2x-15=0\)，因式分解为______，根为______。
幻灯片 12：课堂练习 2（综合提升）
题目 4：用因式分解法解下列方程：
（1）\(3x^2-6x+3=0\) （2）\((x+2)^2=4(x+2)\)
题目 5：已知方程\(x^2+kx-12=0\)的一个根为 3，用因式分解法求另一个根和\(k\)的值。
幻灯片 13：易错点辨析
易错点 1：未将方程化为右边为 0 的形式就直接因式分解，导致错误。
示例：解方程\(x^2=3x\)时，误分解为\(x(x)=3x\)，未移项化为\(x^2-3x=0\)。
易错点 2：提取公因式不彻底或漏项，尤其是系数为负数时。
示例：方程\(-2x^2+4x=0\)误分解为\(2x(-x+2)=0\)，符号错误（正确应为\(-2x(x-2)=0\)或\(2x(2-x)=0\)）。
易错点 3：十字相乘法分解错误，未找到正确的常数项组合。
示例：方程\(x^2+4x-5=0\)误分解为\((x+5)(x+1)=0\)（正确应为\((x+5)(x-1)=0\)）。
易错点 4：方程两边同时除以含未知数的整式，导致漏根。
示例：解方程\(x(x-2)=2(x-2)\)时，误两边除以\((x-2)\)，得\(x=2\)，漏掉根\(x=2\)（正确应移项分解）。
幻灯片 14：因式分解法的应用价值
快速求解：对于可因式分解的方程，解法比公式法更简便，节省时间。
理解方程结构：通过因式分解可直观看到方程的根与系数的关系，为后续学习韦达定理奠定基础。
实际问题应用：在解决面积、增长率等实际问题中，若列出的方程可因式分解，能快速得到合理解。
代数变形训练：提升因式分解的熟练度，增强代数运算能力。
幻灯片 15：课堂总结
核心方法：因式分解法利用 “乘积为零原理”，将一元二次方程化为\((mx+p)(nx+q)=0\)的形式，转化为两个一元一次方程求解。
关键步骤：化标准式（右边为 0）→因式分解→转化方程→求解，核心是正确因式分解。
常用技巧：灵活运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式和十字相乘法进行分解。
方法选择：优先观察方程是否可因式分解，能分解则优先用此方法，否则选用公式法。
幻灯片 16：课后作业布置
基础作业：用因式分解法解下列方程：
（1）\(x^2-4x+3=0\) （2）\(2x^2-5x-3=0\) （3）\((x-1)^2=2(x-1)\)
拓展作业：
（1）已知方程\(x^2-(m+2)x+2m=0\)，用因式分解法证明无论\(m\)取何值，方程总有两个实数根。
（2）用两种方法（因式分解法和公式法）解方程\(x^2-7x+10=0\)，比较哪种方法更简便。
实践作业：自编一道可通过因式分解法求解的一元二次方程，并写出完整解题步骤，说明选择该方法的原因。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.3 因式分解法
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念；会用因式分解法解一元二次方程.
2.能根据一元二次方程的特征,灵活选用解一元二次方程的方法.
3.经历探索用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,体会转化、降次的思想方法.
问题1：什么是因式分解 因式分解的方法有哪几种
问题2: 请将下列各式因式分解：
(1)5x2-4x;　　 (2)x2-4x+4;　　
(3)x2-4;　　 (4)(3x-1)2-x2.
提公因式法；公式法
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
因式分解
如果 a · b = 0，
那么 a = 0 或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 x - 2 = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
x2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0，
对于方程 x2 - 2x = 0 ，除了配方法和公式法，还可以怎样求解呢？
把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根，这种方法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
做一做：用因式分解法解下列方程：
(1) 2x2－5x＝0； (2) 4x2－15x＝0; (3) x2－（2x+1）2＝0.
(1) x1＝0，x2＝
(2) x1＝0，x2＝
(3) x1＝-1，x2＝
例：用因式分解法解下列方程：
（1）3（x-1）2=2（x-1); （2） (x+5)2＝49.
解：
(1) 3 (x－1)2－2(x－1)＝0，
(x－1)(3x－3－2)＝0，
即(x－1)(3x－5)＝0.
∴x－1＝0，或3x－5＝0，
∴x1＝1，x2＝ .
小华的解法：
方程两边同时除以(x-1),
得3（x-1）=2
解：
(2) (x+5)2－72＝0，
(x+5+7)(x+5－7)＝0，
即(x+12)(x－2)＝0.
∴x+12＝0，或x－2＝0，
∴x1＝-12，x2＝2 .
例：用因式分解法解下列方程：
（1）3（x-1）2=2（x-1); （2） (x+5)2＝49.
因式分解法的基本步骤
一移— —使方程的右边为 0；
二分— —将方程的左边因式分解；
三化— —将方程化为两个一元一次方程；
四解— —写出方程的两个解.
简记歌诀：
右化零，左分解；
两因式，各求解.
大家谈谈
解一元二次方程的方法有哪几种
根据你的学习体会,谈谈解方程时如何选择适当的解法.
归纳总结：
(1)如果是特殊形式(x+a)2=b(b≥0),用直接开平方法；
(2)二次项系数为1,一次项系数为偶数,常用配方法解方程;
(3)方程系数无明显特点,考虑用公式法解方程;
(4)先将方程化简,用公式法解方程;
(5)移项后可提公因式,用因式分解法解方程.
1.用适当的方法解下列方程：
（1）(x+1)2=9； （2）x2-4x=6；
（3）2x2-3x-1=0； （4）(x-1)2=(2x+1)2.
2.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为：
(x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ②
由x+2=6, 得x=4; ③
所以原方程的解为x1=8或x2=4.
解: 原方程化为：
x2 －3x －28= 0，
(x－7)(x+4)=0，
x1=7，x2=－4.
返回
C
1.
一元二次方程(x＋3)(x－4)＝0的解是(　　)
A．x1＝3，x2＝4
B．x1＝3，x2＝－4
C．x1＝－3，x2＝4
D．x1＝－3，x2＝－4
返回
2.
B
[2024贵州中考]一元二次方程x2－2x＝0的解是(　　)
A．x1＝3，x2＝1
B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2
D．x1＝－2，x2＝－1
返回
3.
－1或－7
当x＝____________时，代数式(x－2)2与(2x＋5)2的值相等．
4.
解：∵x2＋9x＝0，∴x(x＋9)＝0，
∴x＝0或x＋9＝0，∴x1＝0，x2＝－9.
用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋9x＝0；　　
(2)2x2－12x＝－18；
原方程可化为x2－6x＋9＝0，
∴(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3.
(3)4x2－49＝0； 　
(4)(2x－3)2－(x－2)2＝0.
返回
返回
5.
B
下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来解的是(　　)
A．(x－2)(x＋5)＝2
B．(x－2)2＝x－2
C．x2＋5x－2＝0
D．12(2－x)2＝3
6.
解：∵(2x－1)2＝9，
∴2x－1＝±3，
∴x1＝2，x2＝－1.
解方程：
(1)(2x－1)2＝9; (2)x2－2x－3＝0；
移项，得x2－2x＝3，
配方，得x2－2x＋12＝3＋12，
即(x－1)2＝4，
两边开平方，得x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(3)3x2－6x＋1＝0；
(4)4(x＋4)2＝25(x－2)2.
返回
因式分解法
形式
步骤
简记歌诀：
右化零，左分解；两因式，各求解
如果 a · b = 0，那么 a = 0 或 b = 0
原理
将方程左边因式分解，使右边为 0
因式分解的常见方法有
ma + mb = m(a + b)；
a2±2ab + b2 = (a±b)2；
a2 - b2 = (a + b)(a - b).
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑