资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.3 一元二次方程根与系数的关系
副标题：探寻方程系数背后的根之奥秘
背景图：展示一个一元二次方程，其根用\(x_1\)、\(x_2\)标注，方程系数\(a\)、\(b\)、\(c\)用不同颜色突出，旁边辅以韦达的画像及简介，体现该知识点的重要性与历史渊源。
幻灯片 2：情境引入与思考
回顾旧知：我们已经熟练掌握了一元二次方程的多种解法，如因式分解法、配方法、公式法等，能准确求出方程的根。
问题抛出：观察方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，它的根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。计算两根之和\(x_1 + x_2 = 5\)，两根之积\(x_1x_2 = 6\)，与方程的系数\(1\)、\(-5\)、\(6\)有什么联系呢？对于一般形式的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)），其根\(x_1\)、\(x_2\)与系数\(a\)、\(b\)、\(c\)是否也存在某种固定的数量关系？引出本节课主题。
幻灯片 3：特殊方程探究
方程列举：
解方程\(x^2 - 3x + 2 = 0\)，因式分解得\((x - 1)(x - 2) = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)。计算\(x_1 + x_2 = 3\)，\(x_1x_2 = 2\)。
解方程\(2x^2 + 5x - 3 = 0\)，因式分解得\((2x - 1)(x + 3) = 0\)，解得\(x_1 = \frac{1}{2}\)，\(x_2 = -3\)。计算\(x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2 = -\frac{3}{2}\)。
小组讨论：引导学生分组讨论，观察上述方程的根与系数，尝试总结出一般性的规律。
学生汇报：各小组代表发言，分享讨论结果，教师进行点评与总结，初步引导学生发现两根之和与两根之积和方程系数的关系。
幻灯片 4：韦达定理推导
设根表示：设一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)）的两个根为\(x_1\)、\(x_2\)。
求根公式回顾：由求根公式可知\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，那么\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)，\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
推导两根之和：
\(x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
通分得到\(x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)。
化简后\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)。
推导两根之积：
\(x_1x_2 = (\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) (\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})\)。
根据平方差公式\((m + n)(m - n) = m^2 - n^2\)，这里\(m = -b\)，\(n = \sqrt{b^2 - 4ac}\)，则\(x_1x_2 = \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2}\)。
进一步化简\(x_1x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\)。
定理呈现：得出韦达定理，即对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)），若它的两个根为\(x_1\)、\(x_2\)，则\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\) 。
幻灯片 5：韦达定理的理解与记忆
文字表述：一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。
记忆口诀：“两根之和负一次，两根之积常比次”，帮助学生快速记忆定理内容。
强调要点：
定理成立的前提是方程为一元二次方程，即\(a 0\)。
这里的根\(x_1\)、\(x_2\)包括实数根和虚数根（在后续学习复数时会深入理解）。
注意系数的符号，特别是在运用两根之和公式时，不要忘记负号。
幻灯片 6：韦达定理的简单应用 - 已知方程求根的和与积
例题 1：已知方程\(3x^2 - 2x - 5 = 0\)，求它的两根之和与两根之积。
分析：直接运用韦达定理，这里\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = -5\)。
解答：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3}\)，两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3}\)。
例题 2：方程\(x^2 + 6x + 9 = 0\)，求根的和与积。
分析：同样根据韦达定理，\(a = 1\)，\(b = 6\)，\(c = 9\)。
解答：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -6\)，两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a} = 9\)。
幻灯片 7：韦达定理的应用 - 已知根求方程系数
例题 3：已知一元二次方程\(x^2 + bx + c = 0\)的两根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = -3\)，求\(b\)、\(c\)的值。
分析：根据韦达定理\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)，此方程\(a = 1\)。
解答：
由\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，可得\(2 + (-3) = -b\)，即\(-1 = -b\)，解得\(b = 1\)。
由\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)，可得\(2 (-3) = c\)，解得\(c = -6\)。
例题 4：若关于\(x\)的一元二次方程\(2x^2 - mx + n = 0\)的两根为\(x_1 = 1\)，\(x_2 = \frac{1}{2}\)，求\(m\)、\(n\)的值。
分析：利用韦达定理，\(a = 2\)。
解答：
因为\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，即\(1 + \frac{1}{2} = -\frac{-m}{2}\)，\(\frac{3}{2} = \frac{m}{2}\)，解得\(m = 3\)。
又因为\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)，即\(1 \frac{1}{2} = \frac{n}{2}\)，解得\(n = 1\)。
幻灯片 8：韦达定理的应用 - 求与根有关的代数式的值
例题 5：已知方程\(x^2 - 3x - 1 = 0\)的两根为\(x_1\)、\(x_2\)，求\(x_1^2 + x_2^2\)的值。
分析：将\(x_1^2 + x_2^2\)变形为与\(x_1 + x_2\)、\(x_1x_2\)有关的形式，即\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)。
解答：
由韦达定理得\(x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3\)，\(x_1x_2 = \frac{-1}{1} = -1\)。
代入变形后的式子得\(x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2 (-1) = 9 + 2 = 11\)。
例题 6：已知方程\(2x^2 + 5x - 4 = 0\)的两根为\(x_1\)、\(x_2\)，求\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)的值。
分析：先通分\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1x_2}\)，再利用韦达定理。
解答：
根据韦达定理\(x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}\)，\(x_1x_2 = \frac{-4}{2} = -2\)。
代入得\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-\frac{5}{2}}{-2} = \frac{5}{4}\)。
幻灯片 9：课堂练习 1（基础巩固）
题目 1：方程\(5x^2 - 2x - 1 = 0\)的两根之和是______，两根之积是______。
题目 2：已知一元二次方程\(x^2 - mx + 6 = 0\)的两根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)，则\(m = \)______。
题目 3：若方程\(3x^2 + bx + c = 0\)的两根为\(x_1 = -1\)，\(x_2 = \frac{4}{3}\)，求\(b\)、\(c\)的值。
幻灯片 10：课堂练习 2（能力提升）
题目 4：已知方程\(x^2 + 4x - 3 = 0\)的两根为\(x_1\)、\(x_2\)，求\((x_1 - 1)(x_2 - 1)\)的值。
题目 5：已知方程\(4x^2 - 8x + 1 = 0\)的两根为\(x_1\)、\(x_2\)，求\(\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}\)的值。
题目 6：已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^2 + (2k + 1)x + k^2 - 2 = 0\)的两根\(x_1\)、\(x_2\)满足\(x_1^2 + x_2^2 = 11\)，求\(k\)的值。
幻灯片 11：易错点剖析
易错点 1：忽略\(a 0\)的条件。
示例：在运用韦达定理时，没有判断方程是否为一元二次方程，若方程变为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\)可能为\(0\)），直接用韦达定理就会出错。
易错点 2：系数符号错误。
示例：在计算两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)时，忘记负号，如方程\(2x^2 - 3x + 1 = 0\)，误算\(x_1 + x_2 = \frac{3}{2}\)（正确应为\(\frac{3}{2}\)）。
易错点 3：代数式变形错误。
示例：求\(x_1^2 - x_2^2\)的值，错误变形为\((x_1 + x_2)^2 - (x_1 - x_2)^2\)（正确应为\((x_1 + x_2)(x_1 - x_2)\)，再进一步变形为\((x_1 + x_2)\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\) ）。
易错点 4：忽略根的判别式。
示例：已知方程\(x^2 + bx + c = 0\)，根据韦达定理求\(b\)、\(c\)值后，没有检验\(\Delta = b^2 - 4ac\)是否大于等于\(0\)，若\(\Delta < 0\)，方程无实数根，求出的\(b\)、\(c\)值在实数范围内无意义。
幻灯片 12：韦达定理的拓展与延伸
对于方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)），若两根为\(x_1\)、\(x_2\)，则以\(x_1\)、\(x_2\)为根的一元二次方程为\(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0\)，即\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)（两边同乘\(a\)后与原方程形式相同）。
在复数范围内，韦达定理同样成立。例如方程\(x^2 + 1 = 0\)，其根为\(x_1 = i\)，\(x_2 = -i\)，两根之和\(x_1 + x_2 = 0 = -\frac{0}{1}\)，两根之积\(x_1x_2 = -1 = \frac{1}{1}\)（这里\(a = 1\)，\(b = 0\)，\(c = 1\)）。
韦达定理在高次方程中的推广：对于一元\(n\)次方程\(a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0\)（\(a_n 0\)），其根\(x_1\)、\(x_2\)、\(\cdots\)、\(x_n\)也存在类似的根与系数的关系，如所有根之和为\(-\frac{a_{n - 1}}{a_n}\)等（具体
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.3一元二次方程根与系数的关系
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历一元二次方程根与系数的关系的探究,体会探究过程中的化归思想.
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会初步应用．
3.在探究根与系数的关系过程中,让学生体会事物之间的联系,
激发学生的求知欲望.
1.由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的两根为
x1=2，x2 = 3，而方程(x－2)(x－3)=0可化为x2 －5x＋6 =0 的形式，则：x1＋x2＝____,x1x2＝____.
2.设方程2x2＋3x－9 =0的两根分别为x1，x2，则：
x1＋x2＝______, x1x2＝_______.
5
6
一起探究
﹣
﹣
对于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0，当b2－4ac≥0时，
设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1＋x2 ， x1x2与
方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根分别
为x1，x2，那么
满足关系的前提条件
b2-4ac≥0.
例：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
(1) x2－3x－8＝0 (2) 3x2＋4x－7＝0；
解：(1) 这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.
所以　　　　　
为什么要有这一步？
研究根与系数的关系，前提条件是方程有实数根，即b2-4ac≥0.
(2) 这里a＝3，b＝4，c＝－7，且
b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，
所以　　　　　
(2) 3x2＋4x－7＝0
求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，然后利用根与系数的关系求出两根的和与积．
总 结
知识运用
完成课本46页练习1
判别写列方程根的情况.若有两个实数根，求出两个根的和与积.
（1）x2-4x+1=0；（2）x2-2x+1=0；
（3）-x2+3x-2=0； (4)x2-4x=0.
1.若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实
数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则 ＋ 的值是(　　)
A．3 B．－3 C．5 D．－5
D
2.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　)
A.－1或　 B．－1　　
C. 　 　 D．不存在
C
返回
A
1.
若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则(　　)
A．x1＋x2＝6
B．x1＋x2＝－6
返回
2.
D
关于x的一元二次方程x2＋mx－2＝0有一个解为1，则该方程的另一个解为(　　)
A．0
B．－1
C．2
D．－2
返回
3.
A
关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根为1和－2，则b，c的值分别为(　　)
A．1，－2
B．－1，－2
C．3，2
D．－3，2
4.
解：∵a＝1，b＝8，c＝－1，
∴b2－4ac＝82－4×1×(－1)＝68＞0，
∴x1＋x2＝－8，x1x2＝－1.
不解方程，求下列方程的两根x1，x2的和与积．
(1)x2＋8x－1＝0;
(2)2x2＋6x－3＝－7；
原方程可化为x2＋3x＋2＝0，∴a＝1，b＝3，c＝2，
∴b2－4ac＝32－4×1×2＝1＞0，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝2.
原方程可化为x2＋9x＋14＝0，∴a＝1，b＝9，c＝14，
∴b2－4ac＝92－4×1×14＝25＞0，
∴x1＋x2＝－9，x1x2＝14.
(3)3x2＋4x＝－x＋7；
(4)x2＋6＝－9x－8.
返回
返回
5.
C
已知关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x12＋x22的值是(　　)
A．－7
B．7
C．5
D．－5
返回
6.
C
若关于x的一元二次方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且x1＝3x2，则m的值为(　　)
A．4
B．8
C．12
D．16
返回
7.
C
返回
8.
1
返回
9.
3
已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＋2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，则实数m＝________．
10.
证明：∵该方程根的判别式为[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)
＝4m2＋4m＋1－4m2－4m＝1＞0，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m.
∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab＝2(a＋b)2＋ab＝20，∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，整理，
得m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1，∴m的值为－2或1.
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
返回
一元二次方程根与系数的关系
2.用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及未知数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项．
(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系 数a，b，c的关系：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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