资源简介

(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.4.1 几何问题
副标题：用一元二次方程解决图形中的数量关系
背景图：展示矩形场地改造、直角三角形零件设计、圆形花坛扩建等几何场景示意图，突出几何图形与方程的关联。
幻灯片 2：情境引入与问题提出
生活中的几何问题：
情境 1：学校要在一块长 20 米、宽 15 米的矩形空地上修建一个正方形花坛，剩余空地四周留出等宽的小路，小路面积为 156 平方米，求小路的宽度。
情境 2：一个直角三角形的两条直角边相差 3 厘米，面积为 9 平方厘米，求两条直角边的长度。
问题分析：这些几何问题中存在未知量和等量关系，需通过建立方程求解，而未知数的最高次数往往为 2，适合用一元二次方程解决。
核心思路：将几何图形的数量关系转化为代数方程，通过解方程获得几何量的数值。
幻灯片 3：几何问题中的等量关系梳理
面积相关：
矩形面积 = 长 × 宽，正方形面积 = 边长 ，三角形面积 =\(\frac{1}{2}\)× 底 × 高。
组合图形面积 = 各部分面积之和或差（如总面积 - 空白面积 = 阴影面积）。
周长相关：
矩形周长 = 2×(长 + 宽)，正方形周长 = 4× 边长，圆周长 = 2πr。
周长不变时，形状变化前后周长相等。
勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（\(a +b =c \)）。
相似与全等：相似图形对应边成比例，全等图形对应边相等（特殊等量关系）。
幻灯片 4：例题讲解 1（矩形面积问题）
题目呈现：一块长 30 米、宽 20 米的矩形操场，要在四周修建宽度相同的跑道，剩余的中间矩形区域面积为 464 平方米，求跑道的宽度。
解题步骤：
设未知数：设跑道的宽度为 x 米。
表示关键量：中间矩形区域的长为 (30-2x) 米，宽为 (20-2x) 米（注意两边都有跑道，需减 2x）。
列等量关系：中间区域面积 = 长 × 宽，即 (30-2x)(20-2x)=464。
化简方程：展开得 600-60x-40x+4x =464，整理为 4x -100x+136=0，两边除以 4 得 x -25x+34=0。
解方程：因式分解得 (x-2)(x-17)=0，解得 x =2，x =17。
检验合理性：x=17 时，30-2x=30-34=-4（长度不能为负），舍去；故 x=2。
结论：跑道的宽度为 2 米。
幻灯片 5：例题讲解 2（直角三角形问题）
题目呈现：一个直角三角形的斜边长为 10 厘米，两条直角边的和为 14 厘米，求两条直角边的长度。
解题步骤：
设未知数：设其中一条直角边为 x 厘米，则另一条直角边为 (14-x) 厘米。
列等量关系：根据勾股定理，x +(14-x) =10 。
化简方程：展开得 x +196-28x+x =100，整理为 2x -28x+96=0，两边除以 2 得 x -14x+48=0。
解方程：因式分解得 (x-6)(x-8)=0，解得 x =6，x =8。
检验合理性：当 x=6 时，另一条边为 8 厘米；x=8 时，另一条边为 6 厘米，均满足条件。
结论：两条直角边的长度分别为 6 厘米和 8 厘米。
幻灯片 6：例题讲解 3（圆形面积问题）
题目呈现：一个圆形花坛的半径增加 2 米后，面积增加了 28π 平方米，求原来花坛的半径。
解题步骤：
设未知数：设原来花坛的半径为 r 米。
表示面积变化：原来面积为 πr ，半径增加后面积为 π(r+2) 。
列等量关系：增加后的面积 - 原来的面积 = 28π，即 π(r+2) - πr =28π。
化简方程：两边除以 π 得 (r+2) - r =28，展开得 r +4r+4 - r =28，整理为 4r+4=28，即 4r=24，解得 r=6。
检验合理性：r=6 时，面积增加量为 π×8 - π×6 =64π-36π=28π，符合题意。
结论：原来花坛的半径为 6 米。
幻灯片 7：解题步骤总结
审题画图：理解题意，画出几何图形，标注已知量和未知量。
设元表示：设未知数（通常设所求量为 x），用含 x 的代数式表示其他相关几何量。
找等量关系：根据几何图形的面积、周长、勾股定理等性质列出等量关系式。
列方程：将等量关系转化为一元二次方程，并化为一般形式。
解方程：用合适的方法（因式分解法、公式法等）求解方程。
检验作答：检验解是否符合几何实际意义（如长度不为负、边长小于原长等），舍去不合理的解，写出答案。
幻灯片 8：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：一个矩形的长比宽多 3 厘米，面积为 40 平方厘米，设宽为 x 厘米，则可列方程为______，解得宽为______厘米，长为______厘米。
题目 2：一块正方形铁皮，四角各剪去一个边长为 3 厘米的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，盒子的容积为 300 立方厘米，已知原正方形铁皮的边长为 x 厘米，则盒子的长和宽为______厘米，高为______厘米，可列方程为______，原正方形铁皮的边长为______厘米。
幻灯片 9：课堂练习 2（综合提升）
题目 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度移动，若 P、Q 同时出发，经过多少秒后，△PCQ 的面积为 8cm ？
题目 4：一个菱形的对角线之和为 14cm，面积为 24cm ，求菱形的两条对角线的长度。
幻灯片 10：易错点辨析
易错点 1：几何量表示错误，忽略 “双向变化”。
示例：矩形四周修等宽小路，误将中间矩形的长表示为 (原长 - x)，忘记两边都有小路需减 2x。
易错点 2：等量关系错误，混淆面积与周长公式。
示例：求面积问题时误用周长公式列方程，如矩形面积问题写成 2×(长 + 宽)= 面积。
易错点 3：解的合理性检验缺失。
示例：解得边长为负数或超过原图形长度时未舍去，导致答案不符合实际。
易错点 4：勾股定理应用时边的关系错误。
示例：直角三角形中误将斜边参与和差关系，如 “两直角边之和 = 斜边”，违背三角形三边关系。
幻灯片 11：几何问题与方程思想的结合
方程思想：将几何图形中的未知量设为未知数，通过几何性质建立方程，用代数方法解决几何问题，体现 “数形结合” 的数学思想。
转化方法：
复杂图形转化为简单图形（如组合图形分解为矩形、三角形）。
动态问题转化为静态问题（如动点问题中某一时刻的位置关系）。
实际意义：解决建筑设计、零件加工、土地规划等实际问题中的几何量计算，如确定最佳尺寸、节省材料等。
幻灯片 12：课堂总结
核心方法：解决几何问题的关键是将图形中的数量关系转化为一元二次方程，通过解方程获得未知几何量。
常用等量关系：面积公式、周长公式、勾股定理等是列方程的主要依据。
解题关键：准确表示几何量、正确列出方程、严格检验解的合理性，确保答案符合几何实际。
思想本质：体现数形结合思想，用代数方法解决几何问题，拓展解题思路。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：
（1）一个长方形的周长为 30cm，面积为 54cm ，求长方形的长和宽。
（2）直角三角形的一条直角边是另一条直角边的 2 倍，斜边长为 5√5 cm，求两条直角边的长度。
拓展作业：
（1）如图，在长为 10m、宽为 8m 的矩形空地中，修建两条互相垂直的小路，剩余部分种植花草，花草面积为 71m ，若小路的宽均为 x m，求 x 的值。
（2）一个等腰梯形的周长为 80cm，中位线长为 25cm，一条对角线平分一个锐角，求梯形的面积。
实践作业：测量家中一个矩形物体（如桌面、课本）的长和宽，假设要在其四周留出等宽的边框，使内部矩形面积为原面积的一半，计算边框的宽度（精确到 0.1cm）。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.1 几何问题
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识方程模型的重要性.
2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.
3.提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强应用数学的意识.
问题1：三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么
问题2：解一元二次方程的方法有哪些
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
问题3：列方程解应用题的一般步骤是什么
审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程---解方程--- 检验---答
例1：如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙（墙长22 m），另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700m2，求这个长方形存车处的长和宽．
分析：设长方形靠墙一边的长为x m，则长方形另一边的长为________，根据长方形的面积建立方程．
当x=20时， =35.
答：这个长方形存车处的长和宽分别为35 m和20 m.
审清题意
找出已知量、未知量
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
设未知数
设长方形靠墙一边长为x m，则另一边的长为 m.
列方程
依据题意得： .
解方程
解得：x1=70，x2=20.
验根
由于墙长22 m,x1=70不合题意，应舍去.
作 答
问题：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
解:设长方形的长为x m，则它的宽为（90-2x）m.
依题意，得 x（90-2x）=700
解方程，得
x1=35，x2=10.
当x=35时，90-2x=20；当x=10时，90-2x=70，
由于墙长22 m,所以x=10不合题意，应舍去.
答：这个长方形存车处的长和宽分别是35m和20m.
知识运用
本章第一节“做一做”：一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端A处到地面的距离为8m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1m,那么梯子的底端B在地面上滑动的距离也是1m吗
请解这个方程x2+12x-15=0，
并给出问题的答案.
例2 已知一本数学书的长为26 cm，宽为18.5 cm，厚为1cm．一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1260 cm2，虚线表示的是折痕.由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形.求正方形的边长.
解：设正方形的边长为x cm，
根据题意，得
（26+2x）（18.5×2+2x+1）=1260.
解得x1=2，x2=-34（不合题意，舍去）.
答：正方形的边长是2cm.
几何图形的面积问题：
这类问题的__________是等量关系. 如果图形不规则应____或____成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程.
面积公式
割
补
如图，在一块长为32cm，宽为20cm的长方形土地上修建两条互相垂直且宽度相等的道路（与长方形边平行），余下部分作为耕地，要使耕地面积是540㎡.求小路的宽度.
方法：
(32-x)(20-x)=540
变式：
五条
(32-3x)(20-2x)=540
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A
1.
[2025唐山校级月考]我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？设长为x步，可列方程为(　　)
A．x(x－12)＝864
B．x(x＋12)＝864
C．2x＋2(x＋12)＝864
D．2x＋2(x－12)＝864
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2.
不能
已知一个矩形的周长为56 cm.
(1)当该矩形的面积为180cm2时，求矩形的长．设矩形的长为x cm，则根据题意可列方程为______________；
(2)该矩形的面积________(填“能”或“不能”)为200cm2.
3.
[教材P47例1变式]如图，要建一个面积为45 m2的矩形养鸡场ABCD(分为两个矩形区域)，养鸡场的一边靠着一面长为14 m的墙，另几条边用总长为22 m的竹篱笆围成，每个区域的前面各开一个宽为1 m的门．求这个养鸡场的长与宽．
解：设AB长为x m，
根据题意，得x(22－3x＋2)＝45，解得x1＝3，x2＝5.
当x＝3时，22－3x＋2＝15>14，
所以x＝3不符合题意，舍去．
当x＝5时，22－3x＋2＝9<14，符合题意．
答：这个养鸡场的长为9 m，宽为5 m.
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4.
B
[教材P47例2变式]如图，某农家乐老板计划在一块长130 m、宽60 m的空地上挖两块形状、大小相同的垂钓鱼塘，它们的底面积之和为5 750 m2，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则垂钓通道的宽度为(　　)
A．4.5 m　　B．5 m　　
C．5.5 m　　D．6 m
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5.
(32－x)(20－x)＝540
如图，在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，可列方程为___________________．
6.
如图，某小区计划在一个长24 m、宽10 m的矩形场地ABCD上修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草坪，如果草坪部分的总面积为160 m2，求小路的宽．
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解：设小路的宽为x m，
根据题意，得(24－2x)(10－x)＝160，
整理，得x2－22x＋40＝0，解得x1＝20，x2＝2.
当x＝20时，10－x＝－10<0，不符合题意，舍去．
答：小路的宽为2 m.
几何图形与一元二次方程问题
常见分析策略
常见类型
列方程依据
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
一边靠墙围成的区域面积
常见几何图形面积是等量关系.
常采用图形平移能化零为整，
方便列方程.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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