资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.4.2 变化率问题
副标题：用一元二次方程分析数量的增减变化规律
背景图：展示人口增长曲线、商品价格变化折线图、企业利润增长柱状图等，突出变化率在实际生活中的应用场景。
幻灯片 2：情境引入与概念理解
生活中的变化率问题：
情境 1：某工厂 2023 年的产值为 100 万元，2025 年的产值为 121 万元，求这两年产值的年平均增长率。
情境 2：一种药品经过两次降价后，单价从原来的 100 元降至 64 元，求平均每次降价的百分率。
核心概念：变化率是指数量在一定时间内的增减百分比，分为增长率（数量增加）和降低率（数量减少），通常用百分数表示。
问题特征：涉及 “两次变化”（如两年增长、两次降价），变化前后的数量已知，求平均变化率，这类问题可通过一元二次方程求解。
幻灯片 3：变化率问题的基本公式
增长率公式：
若初始量为\(a\)，年平均增长率为\(x\)，则：
经过 1 年后的量为\(a(1+x)\)。
经过 2 年后的量为\(a(1+x)^2\)。
经过\(n\)年后的量为\(a(1+x)^n\)。
降低率公式：
若初始量为\(a\)，年平均降低率为\(x\)，则：
经过 1 年后的量为\(a(1-x)\)。
经过 2 年后的量为\(a(1-x)^2\)。
经过\(n\)年后的量为\(a(1-x)^n\)。
公式说明：\(a\)为初始量，\(x\)为平均变化率（增长率\(x>0\)，降低率\(0幻灯片 4：例题讲解 1（增长率问题）
题目呈现：某城市 2022 年末的人口为 500 万，2024 年末的人口为 583.2 万，求这两年该城市人口的年平均增长率。
解题步骤：
设未知数：设这两年人口的年平均增长率为\(x\)。
确定初始量和最终量：初始量\(a=500\)万，经过 2 年，最终量为 583.2 万。
列方程：根据增长率公式，\(500(1+x)^2=583.2\)。
化简方程：两边除以 500 得\((1+x)^2=1.1664\)。
解方程：开平方得\(1+x= ±1.08\)，舍去负根（增长率不能为负），得\(1+x=1.08\)，解得\(x=0.08=8\%\)。
检验合理性：2023 年末人口为\(500 (1+8\%)=540\)万，2024 年末为\(540 (1+8\%)=583.2\)万，符合题意。
结论：这两年该城市人口的年平均增长率为 8%。
幻灯片 5：例题讲解 2（降低率问题）
题目呈现：某品牌手机原价为 3000 元，经过两次连续降价后，售价为 2430 元，求平均每次降价的百分率。
解题步骤：
设未知数：设平均每次降价的百分率为\(x\)。
确定初始量和最终量：初始量\(a=3000\)元，经过 2 次降价，最终量为 2430 元。
列方程：根据降低率公式，\(3000(1-x)^2=2430\)。
化简方程：两边除以 3000 得\((1-x)^2=0.81\)。
解方程：开平方得\(1-x= ±0.9\)，舍去\(1-x=-0.9\)（降低率不能大于 1），得\(1-x=0.9\)，解得\(x=0.1=10\%\)。
检验合理性：第一次降价后价格为\(3000 (1-10\%)=2700\)元，第二次降价后为\(2700 (1-10\%)=2430\)元，符合题意。
结论：平均每次降价的百分率为 10%。
幻灯片 6：例题讲解 3（利润增长问题）
题目呈现：某商店销售一种商品，2023 年的利润率为 20%，2024 年由于成本降低，利润率提高到 30%，若两年的销售单价相同，且 2023 年的成本为 50 元，求 2024 年的成本及成本的年降低率。
解题步骤：
分析数量关系：利润率 =（售价 - 成本）÷ 成本 ×100%，售价 = 成本 ×(1 + 利润率)。
计算 2023 年售价：2023 年成本 50 元，利润率 20%，售价为\(50 (1+20\%)=60\)元。
设未知数：设 2024 年成本的年降低率为\(x\)，则 2024 年成本为\(50(1-x)\)元。
列方程：2024 年利润率 30%，售价不变，故\(50(1-x)(1+30\%)=60\)。
化简方程：\(50(1-x) 1.3=60\)，即\(65(1-x)=60\)，解得\(1-x=\frac{60}{65} 0.923\)，\(x 0.077=7.7\%\)。
计算 2024 年成本：\(50 (1-7.7\%) 46.15\)元。
结论：2024 年成本约为 46.15 元，成本的年降低率约为 7.7%。
幻灯片 7：解题步骤总结
审题辨型：确定问题是增长率还是降低率，明确初始量、变化次数和最终量。
设元表示：设平均变化率为\(x\)（增长率用\(x\)，降低率用\(x\)，均为百分数）。
列方程：根据基本公式\(a(1 ±x)^n=b\)（\(a\)为初始量，\(b\)为最终量，\(n\)为变化次数，“+” 用于增长，“-” 用于降低）。
解方程：通过开平方或因式分解等方法求解一元二次方程。
检验取舍：舍去不合理的解（如增长率为负、降低率≥1），保留符合实际意义的解。
作答总结：根据问题要求，写出平均变化率或相关量的结果。
幻灯片 8：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：某厂 2022 年的产值为 200 万元，2024 年的产值为 288 万元，设年平均增长率为\(x\)，可列方程为______，解得年平均增长率为______。
题目 2：一种商品经过两次降价，单价从 125 元降至 80 元，设平均每次降价的百分率为\(x\)，方程为______，降价率为______。
题目 3：某银行存款的年利率为\(x\)，若存入本金 1000 元，两年后本息和为 1210 元（不计利息税），则方程为______，年利率为______。
幻灯片 9：课堂练习 2（综合提升）
题目 4：某公司 2023 年的利润为 100 万元，计划到 2025 年利润达到 144 万元，求这两年利润的年平均增长率，若按此增长率，2026 年的利润将达到多少万元？
题目 5：某产品原价为\(a\)元，经过两次降价后价格为\(a(1-36\%)\)元，求平均每次降价的百分率。
幻灯片 10：易错点辨析
易错点 1：公式符号错误，增长率误用 “-”，降低率误用 “+”。
示例：降低率问题中列方程为\(a(1+x)^2=b\)，导致结果错误，正确应为\(a(1-x)^2=b\)。
易错点 2：变化次数错误，混淆 “两年增长” 与 “两年后的量”。
示例：2023 到 2025 年是两年，误按一年计算，方程写成\(a(1+x)=b\)，忽略平方。
易错点 3：解的取舍不当，保留负根或超过 1 的根。
示例：降低率问题中解得\(x=1.5\)（150%）未舍去，不符合实际（降低率不能超过 100%）。
易错点 4：单位混淆，未将结果转化为百分数。
示例：解得\(x=0.05\)，直接作答为 “0.05”，未写成 “5%”。
幻灯片 11：变化率问题的实际应用场景
经济领域：GDP 增长、企业利润增长、股票价格变化、通货膨胀率计算等。
人口领域：人口自然增长率、城市人口增长预测等。
环境领域：污染物排放降低率、森林覆盖率增长率等。
生活领域：商品降价促销、储蓄利息计算、手机销量增长等。
应用价值：通过建立方程求解变化率，可为规划决策提供数据支持，如企业制定利润目标、政府预测人口规模等。
幻灯片 12：课堂总结
核心公式：增长率问题用\(a(1+x)^n=b\)，降低率问题用\(a(1-x)^n=b\)，其中\(a\)为初始量，\(b\)为最终量，\(n\)为变化次数。
解题关键：准确判断变化类型（增长或降低），确定变化次数，正确列出方程并合理取舍解。
注意事项：变化率结果需用百分数表示，且需符合实际意义（增长率非负，降低率在 0-1 之间）。
思想方法：体现数学建模思想，将实际问题转化为方程模型，用代数方法解决实际变化规律问题。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：
（1）某城市 2021 年的绿化面积为 200 公顷，2023 年的绿化面积为 288 公顷，求这两年绿化面积的年平均增长率。
（2）一台电脑原价 5000 元，经过两次降价后售价为 3200 元，求平均每次降价的百分率。
拓展作业：
（1）某厂计划经过两年使产量翻一番（变为原来的 2 倍），求年平均增长率（精确到 0.1%）。
（2）某商品连续两次提价后，售价从原来的 100 元涨到 121 元，若第二次提价的百分率是第一次的 2 倍，求第一次提价的百分率。
实践作业：查找近三年本地居民人均可支配收入数据，计算年平均增长率，并预测下一年的人均可支配收入。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.2 变化率问题
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.会根据具体问题,找到变化率问题中的等量关系,列出一元二次方程并求解.
2.能根据实际问题中的数量关系列出方程并求解，并能根据问题的实际意义检验结果的合理性.
3.提高分析问题、解决问题的能力，进一步增强应用数学的意识.
问题1：解一元二次方程的方法有哪些
问题2：列方程解应用题的一般步骤是什么
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法
审题---设未知数--- 找等量关系--- 列方程
---解方程--- 检验---答
一起探究
随着我国汽车产业的快速发展以及人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2010年底,该市汽车保有量为15万辆,截至2012年底,汽车保有量已达21.6万辆.若该市这两年汽车保有量增长率相同,求这个增长率.
设年增长率为x,请思考并解决下面的问题:
(1)2011年底比2010年底增加了　　　万辆汽车,
达到了　 　　万辆.
(2)2012年底比2011年底增加了　 　　万辆汽车,
达到了　 　　万辆.
(3)根据题意,列出的方程是　　 　　.
15(1+x)
15(1+x)2
15(1+x) x
15(1+x)2=21.6
15x
(4)解方程,回答原问题,并与同学交流解题的思路和过程.
解:设年增长率为x,根据题意得:
15(1+x)2=21.6,
解方程得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意舍去).
答:这个增长率为20%.
如果增长率中的基数为a，平均增长率为x，则
第一次增长后的数量为a(1＋x)，
第二次增长后的数量为a(1＋x)2，
… …
第n次增长后的数量为a(1＋x)n.
降低率
a(1-x)
降低率
知识运用
【做一做】 某工厂工业废气年排放量为300万立方米.为改善城市环境质量,决定在两年内使废气年排放量减少到144万立方米.如果第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍,那么每年废气减少的百分率各是多少
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么
(工业废气年排放量为300万立方米和两年内使废气年排放量减少到144万立方米;每年废气减少的百分率)
【思考】
(1)题目中的已知量和未知量分别是什么
(2)未知量之间的数量关系是什么
第二年废气减少的百分率是第一年废气减少的百分率的2倍.
(3)如何设未知数
设第一年废气减少的百分率是x，第二年废弃减少的百分率是2x.
300（1-x）（1-2x）=144
(4)题目中的等量关系是什么
工业废气年排放量300万立方米减少两次=144万立方米.
(5)如何根据等量关系列出方程
例2 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现:搭建一个面积为x (公顷)的大棚,所需建设费用(万元)与x+2成正比例,比例系数为0.6;内部设备费用(万元)与x2成正比例,比例系数为2.某农户新建了一个大棚,投入的总费用为4.8万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(总费用=建设费用+内部设备费用)
分析：(1)建设费用与+2成正比例,比例系数为0.6,则建设费用可表示成　　 ;
(2)内部设备费用与2成正比例,比例系数为2,则内部设备费用可表示成　　 ;
(3)题目中的等量关系是　 ;
(4)根据题意列方程得　　 　　.
0.6(x +2)+2 x2=4.8
2 x2
总费用=建设费用+内部设备费用
0.6（x+2）
答:该农户新建的这个大棚的面积为1.2公顷.
解:依题意,得0.6(x +2)+2 x2=4.8.
整理,得10 x 2+3 x -18=0.
解方程,得x 1=1.2, x 2=-1.5(不合题意,舍去).
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B
1.
红星电池厂2024年1～5月的电池产量如图所示．设从2月到4月，该厂电池产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为(　　)
A．180(1－x)2＝461
B．180(1＋x)2＝461
C．368(1－x)2＝137
D．368(1＋x)2＝442
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2.
C
一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为(　　)
A．20%
B．22%
C．25%
D．28%
3.
2024年10月30日，神舟十九号发射升空．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型10月售出256件，11月、
12月销量持续走高，12月售出400件，求11月、12月这两个月的月平均增长率．
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4.
B
[教材P55复习题A组T6变式]两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是(　　)
A．x(x＋1)＝323
B．x(x＋2)＝323
C．x(x－2)＝323
D．(2x＋1)(2x－1)＝323
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5.
x(x＋1)＝72
一个两位数，个位数字比十位数字小1，且个位数字与十位数字的乘积为72，若设个位数字为x，则列出的方程为________________ .
6.
在苏轼笔下的《念奴娇·赤壁怀古》中，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符．”请你根据诗歌内容求周瑜去世的年龄．
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7.
A
某市计划用未来两年的时间使城区绿化面积“翻一番”(“翻一番”表示变为原来的2倍)，若平均每年城区绿化面积的增长率为a%，则下列所列方程中正确的是(　　)
A．(1＋a%)2＝2
B．1＋2a%＝2
C．1＋(1＋a%)＋(1＋a%)2＝2
D．(1＋a%)2＝1
平均变化率问题
增长率问题
降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换
a(1+x)2=b,其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量
注意：下降率不能超过1
注意：增长率不可为负，但可以超过1
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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