资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：24.4.3 销售和其他问题
副标题：用一元二次方程解决实际生活中的经济与综合问题
背景图：展示商场促销场景、商品销售数据表格、利润计算示意图等，体现销售问题与数学方程的紧密联系。
幻灯片 2：情境引入与问题类型
销售问题场景：
情境 1：某商店销售一批衬衫，每件进价为 100 元，原售价为 150 元，每天可售出 20 件。若每件降价 5 元，每天销量可增加 10 件，如何定价使每天利润为 1200 元？
情境 2：某商品进价为每件 40 元，售价为每件 60 元时，每月可卖出 300 件。经市场调查发现，售价每上涨 1 元，销量减少 10 件，如何定价使月利润最大？
其他问题场景：
情境 3：一次聚会中，每个人都与其他所有人握一次手，共握手 45 次，求参加聚会的人数。
情境 4：一个两位数，十位数字与个位数字之和为 13，交换位置后得到的新数比原数大 9，求原两位数。
问题特征：涉及利润、销量、价格等经济量的关系，或握手次数、数字问题等综合场景，需通过建立一元二次方程求解未知量。
幻灯片 3：销售问题中的基本关系
核心公式：
利润 = 售价 - 进价（单件利润）。
总利润 = 单件利润 × 销售量。
销售量 = 基础销量 ± 价格变化引起的销量变化（涨价则减，降价则加）。
售价 = 原售价 ± 价格调整量（涨价为加，降价为减）。
量的关系：
价格变化与销量变化成反比（通常）：如售价每降\(x\)元，销量增\(kx\)件；售价每涨\(x\)元，销量减\(kx\)件（\(k\)为比例系数）。
总利润随价格调整呈现二次函数变化，存在最大值或特定目标值。
幻灯片 4：例题讲解 1（降价促销问题）
题目呈现：某服装店销售一批 T 恤，每件进价为 80 元，原售价为 120 元，每天可售出 30 件。经调查发现，每件 T 恤降价 1 元，每天可多售出 2 件。若商家想每天获得 1500 元的利润，每件 T 恤应降价多少元？
解题步骤：
设未知数：设每件 T 恤应降价\(x\)元。
表示相关量：
单件利润 = 原售价 - 进价 - 降价金额 = 120-80-x=40-x（元）。
销售量 = 原销量 + 因降价增加的销量 = 30+2x（件）。
列等量关系：总利润 = 单件利润 × 销售量，即\((40-x)(30+2x)=1500\)。
化简方程：展开得 1200+80x-30x-2x =1500，整理为 - 2x +50x-300=0，两边除以 - 2 得 x -25x+150=0。
解方程：因式分解得 (x-10)(x-15)=0，解得 x =10，x =15。
检验合理性：
降价 10 元时，利润 =(40-10)×(30+20)=30×50=1500 元，符合题意。
降价 15 元时，利润 =(40-15)×(30+30)=25×60=1500 元，符合题意。
结论：每件 T 恤应降价 10 元或 15 元。
幻灯片 5：例题讲解 2（涨价销售问题）
题目呈现：某超市销售某种饮料，进价为每瓶 2 元，售价为每瓶 3 元时，每天可售出 200 瓶。售价每上涨 0.1 元，每天销量减少 10 瓶。若要使每天利润达到 224 元，售价应上涨多少元？
解题步骤：
设未知数：设售价应上涨\(x\)元（\(x\)为 0.1 的整数倍，简化计算）。
表示相关量：
单件利润 = 3-2+x=1+x（元）。
销售量 = 200-\(\frac{x}{0.1}\)×10=200-100x（瓶）（每涨 0.1 元少卖 10 瓶，涨\(x\)元少卖\(100x\)瓶）。
列方程：\((1+x)(200-100x)=224\)。
化简方程：展开得 200-100x+200x-100x =224，整理为 - 100x +100x-24=0，两边除以 - 4 得 25x -25x+6=0。
解方程：因式分解得 (5x-2)(5x-3)=0，解得 x =0.4，x =0.6。
检验合理性：
上涨 0.4 元时，销量 = 200-40=160 瓶，利润 =(1+0.4)×160=1.4×160=224 元，符合题意。
上涨 0.6 元时，销量 = 200-60=140 瓶，利润 =(1+0.6)×140=1.6×140=224 元，符合题意。
结论：售价应上涨 0.4 元或 0.6 元。
幻灯片 6：例题讲解 3（握手问题）
题目呈现：在一次同学聚会上，每两名同学之间都互相握一次手，聚会结束后共握手 45 次，求参加聚会的同学人数。
解题步骤：
设未知数：设参加聚会的同学有\(x\)人。
分析数量关系：每个人需与其他\(x-1\)人握手，但每次握手被重复计算，故总握手次数为\(\frac{x(x-1)}{2}\)。
列方程：\(\frac{x(x-1)}{2}=45\)。
化简方程：两边乘 2 得 x (x-1)=90，即 x -x-90=0。
解方程：因式分解得 (x-10)(x+9)=0，解得 x =10，x =-9（人数不能为负，舍去）。
检验合理性：10 人时，总握手次数为\(\frac{10 9}{2}=45\)次，符合题意。
结论：参加聚会的同学有 10 人。
幻灯片 7：例题讲解 4（数字问题）
题目呈现：一个两位数，十位数字比个位数字大 3，将十位数字与个位数字交换位置后得到的新数与原数的积为 574，求原两位数。
解题步骤：
设未知数：设原两位数的个位数字为\(x\)，则十位数字为\(x+3\)，原数为 10 (x+3)+x=11x+30。
表示新数：交换位置后，新数的十位数字为\(x\)，个位数字为\(x+3\)，新数为 10x+(x+3)=11x+3。
列方程：(11x+30)(11x+3)=574。
化简方程：展开得 121x +33x+330x+90=574，整理为 121x +363x-484=0，两边除以 121 得 x +3x-4=0。
解方程：因式分解得 (x+4)(x-1)=0，解得 x =1，x =-4（数字不能为负，舍去）。
求原数：当 x=1 时，原数 = 11×1+30=41。
检验合理性：新数为 14，41×14=574，符合题意。
结论：原两位数为 41。
幻灯片 8：解题步骤总结
销售问题步骤：
审题：明确进价、售价、销量、利润等基本量，确定价格与销量的变化关系。
设元：设价格调整量（涨价或降价金额）为\(x\)。
表示量：用含\(x\)的代数式表示单件利润和销售量。
列方程：根据 “总利润 = 单件利润 × 销售量” 列一元二次方程。
求解检验：解方程，检验解是否符合实际（价格和销量非负）。
其他问题步骤：
审题建模：分析问题类型（握手、数字等），建立数学模型（如握手次数公式、数字表示法）。
设元表示：设关键未知量，用代数式表示其他相关量。
列方程：根据等量关系（如总握手次数、数字乘积等）列方程。
求解检验：解方程，舍去不合理的解（如人数、数字为负）。
幻灯片 9：课堂练习 1（销售问题）
题目 1：某商品进价为 50 元，原售价为 80 元，每周可售出 200 件。若售价每降低 1 元，每周销量增加 10 件，设降价\(x\)元，每周利润为\(y\)元，则\(y=\)，若要使每周利润为 7500 元，方程为，降价______元。
题目 2：某商店销售一批书包，每个进价为 40 元，售价为 60 元时，每月可卖 100 个。售价每上涨 5 元，销量减少 10 个，设涨价\(5x\)元（\(x\)为整数），每月利润为______元，若利润为 2240 元，\(x=\)______，售价为______元。
幻灯片 10：课堂练习 2（其他问题）
题目 3：一个小组有\(x\)名同学，每两名同学互送一件礼物，共送礼物 90 件，方程为______，小组有______名同学。
题目 4：一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，将两数字交换后得到的新数比原数大 36，原数为______。
幻灯片 11：易错点辨析
易错点 1：销售问题中销量变化方向错误，涨价时销量未减少或降价时销量未增加。
示例：售价每涨 1 元销量减 10 件，误写成销量加 10 件，导致方程错误。
易错点 2：握手问题中忽略重复计算，未除以 2，方程写成\(x(x-1)=45\)（正确应为\(\frac{x(x-1)}{2}=45\)）。
易错点 3：数字问题中数位表示错误，十位数字为\(a\)时，原数误写成\(a+x\)（正确应为\(10a+x\)）。
易错点 4：解的检验缺失，保留不符合实际的解（如售价为负、人数为小数）。
幻灯片 12：实际应用与数学思想
销售问题应用：帮助商家制定合理的价格策略，实现利润最大化或目标利润，优化资源配置。
其他问题应用：解决社交中的计数问题、数字谜题等，体现数学在生活中的广泛应用。
数学思想：
建模思想：将实际问题转化为一元二次方程模型，用代数方法解决。
转化思想：复杂问题简化（如握手问题转化为组合计数问题）。
优化思想：通过方程分析利润随价格的变化规律，找到最优解。
幻灯片 13：课堂总结
销售问题核心：抓住 “总利润 = 单件利润 × 销售量” 的关系，准确表示价格调整后的利润和销量。
其他问题关键：理解握手、数字等问题的内在逻辑，建立正确的等量关系。
解题共性：设未知数→表示相关量→列方程→解方程→检验作答，注重解的实际意义。
思想方法：通过数学建模解决实际问题，体会数学与生活的密切联系。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）某商品进价为 30 元，售价为 50 元时，每天可卖 100 件。售价每降 1 元，销量增 10 件，若每天利润为 2240 元，售价应降多少元？
（2）参加一次足球赛的每两队之间都赛一场，共赛 45 场，求参赛队伍数。
拓展作业：
（1）某商店购进一批玩具，进价为每个 10 元，售价为每个 15 元时，每天可卖 30 个。若售价每提高 1 元，销量减少 2 个，售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？
（2）一个三位数，百位数字比十位数字大 1，个位数字比十位数字小 1，三个数字之和为 15，求这个三位数。
实践作业：调查家中某件商品的进价和售价，假设进行价格调整（涨价或降价），记录销量变化规律，尝试计算使利润达到某个目标的价格调整方案。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.3销售和其他问题
第二十四章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题和其他问题.
2.进一步培养化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决
问题的能力．
某少年宫组织一次足球赛,采取单循环的比赛形式,即每两个足球队之间都要比赛一场,计划安排28场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢
一起探究
分析：设应邀请x支球队参加比赛.
(1)根据“每两个足球队之间都要比赛一场”,每支足球队要比赛 　 　场.
(2)用含x的代数式表示比赛的总场数为　　　　，
于是可得方程　　 　 　.
(3)解这个方程并检验结果.
(x-1)
解:设应邀请x支球队参加比赛,则每支球队要与其他(x -1)
支球队各赛一场.
根据题意可得=28,
化简得x 2- x =56,
解得x 1=8, x 2=-7(不合题意,舍去),
答:应邀请8支球队参加比赛
拓展提升
如果赛制为双循环比赛，应该怎样列？
（x- 1）x =28
某商场经销的太阳能路灯,标价为4000元/个,优惠办法是:一次购买数量不超过80个,按标价收费;一次购买数量超过80个,每多买1个,所购路灯每个可降价8元,但单价最低不能低于3200元/个.若一顾客一次性购买这样的路灯用去516000元,则该顾客实际购买了多少个路灯
思路：(1)若顾客实际购买的路灯数量是80个,则所需费用为　 　　元.
(2)若顾客一次性购买路灯用去516 000元,则所买路灯数量　　　　80个.
(3)设该顾客购买这种路灯x(x )个,路灯数超出80个的数量是　　　　 个,每个路灯可降价　 　　 元,则每个路灯的单价是　　 　 　元.
320 000
大于
4 000-8(x-80)
(x-80)
8(x-80)
(4)题目中的等量关系是 　 　 　　.
(5)根据等量关系可列方程
　 .
(6)解方程,并检验根是否都符合题意.
路灯的单价×数量=总花费
4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200
解:因为4 000×80=320 000<516 000,所以该顾客购买路灯数量超过80个.
设该顾客购买这种路灯x个,则路灯的售价为[4 000-8(x-80)]元/个.
根据题意,得x [4 000-8(x-80)]=516 000.
整理,得x2-580x+64 500=0.
解这个方程,得x1=150, x2=430.
当x=430时,4 000-8(x-80)=4 000-8×(430-80)=1 200(元),低于3 200元，
不合题意,舍去.
答:该顾客实际购买了150个路灯.
利润问题常见关系式
基本关系：
（1）利润＝售价-进价；
（2）利润率＝ ×100%；
（3）总利润＝单个利润×销量.
52页练习：经销商以21元/双的价格从厂家购进一批运动鞋.如果售价为“a元/双， 那么可以卖出这种运动鞋(350－10a)双. 物价局限定每双鞋的售价不得超过进价的120%. 如果该商店卖完这批鞋赚得400元，那么该商店每双鞋的售价是多少元？这批鞋有多少双？
解：根据题意,可得(350-10a)(a-21)=400,
化简可得：a2-56a+775=0,
解得：a=25或a=31,
因为售价不得超过进价的120%,即21×120%=25.2(元),
所以a=25,
共卖出350-10×25=100(双).
答：该商店每双鞋的售价是25元,这批鞋有100双.
返回
B
1.
杭州第19届亚运会足球项目有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，则参加比赛的队伍共有(　　)
A．8支
B．10支
C．7支
D．9支
返回
2.
x(x－1)＝306
石家庄市城市轨道交通5号线一期工程全长约19.9 km，站点设置依次为宫北路站—红旗南大街站—红旗桥站—…—谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计306种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，可列方程为_________________．
3.
3
在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为5，则共握手______次；若参加聚会的人数为n(n为正整数)，则共握手________次；
10
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．
返回
返回
4.
(x＋3)(4－0.5x)＝15
某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可列方程为_____________________．
返回
5.
(20－x)
“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意”．中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每降价1元，则每天可多售出2盒．
设每盒降价x元，则降价后每盒盈利________元，每天可多售出_____盒，每天一共售出__________盒，所以每天可盈利________________元，若要平均每天盈利 1 650元，则可列方程为_______________________．
2x
(100＋2x)
(20－x)(100＋2x)
(20－x)(100＋2x)＝1 650
6.
第九届亚洲冬季运动会于[2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套40元的吉祥物“滨滨和妮妮”，据市场分析，若按每套50元销售，则一个月能售出500套；销售单价每涨1元，月销售量就减少10套．为了使每月销售利润为8 000元，则每套的售价应定为多少元？
(50－40＋x)(500－10x)＝8 000
(1)解法1：设每套涨价x元，由题意得____________________________________；
解法2：设每套的售价应定为y元，由题意得________________________________.
(y－40)[500－10(y－50)]＝8 000
解：选择解法1：(50－40＋x)(500－10x)＝8 000，
解得x1＝10，x2＝30.
当x＝10时，50＋x＝60；当x＝30时，50＋x＝80.
答：每套的售价应定为60元或80元．
(或选择解法2：(y－40)[500－10(y－50)]＝8 000，
解得y1＝60，y2＝80.
答：每套的售价应定为60元或80元．)
(2)请选择(1)中的一种解法完成解答．
返回
1.单循环赛问题中的等量关系:
比赛总场数=x(x-1)÷2(x为球队个数).
易错点是列方程时忽略除以2.
2.利润问题中的等量关系:
利润= (售价-进价)×销售量.
3.解决较为复杂的应用题时,要认真读懂题意,正确找到等量关系并准确表达,建立方程模型,并检验解出的根是否符合题意.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑