资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.2.2 平行线分线段成比例
副标题：推论的深化与逆定理的应用
背景图：展示三角形中平行线截边的复杂示意图，标注多条成比例线段，搭配工程图纸中的平行线条，突出定理的进阶应用场景。
幻灯片 2：知识回顾与问题引入
定理回顾：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），对应线段成比例。
符号回顾：若 DE∥BC，则\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)。
问题提出：
反过来，若三角形两边上的线段对应成比例，能否判定截线平行于第三边？
平行线分线段成比例定理在更复杂的图形（如含多条平行线的三角形）中如何应用？
幻灯片 3：推论的逆定理
逆定理内容：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
图形表示：在△ABC 中，直线 DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，若\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)（或\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)），则 DE∥BC。
符号语言：∵\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，∴DE∥BC（逆定理结论）。
定理说明：逆定理是判定两条直线平行的重要依据，尤其在三角形中，无需通过角的关系即可证明平行。
证明思路：假设 DE 不平行于 BC，过 D 作 DE'∥BC 交 AC 于 E'，通过比例关系推导 E 与 E' 重合，从而证明 DE∥BC。
幻灯片 4：逆定理的应用例题
题目呈现：在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，AD = 4，DB = 6，AE = 2，EC = 3，判断 DE 与 BC 是否平行。
解题步骤：
计算线段比例：\(\frac{AD}{DB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)，\(\frac{AE}{EC} = \frac{2}{3}\)。
比较比例关系：∵\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，符合逆定理条件。
得出结论：∴DE∥BC。
变式练习：在△ABC 中，AB = 10，AD = 3，AC = 8，若 DE∥BC，则 AE 的长为多少？
解答：由\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)得\(\frac{3}{10} = \frac{AE}{8}\)，解得\(AE = 2.4\)。
幻灯片 5：多条平行线截三角形的应用
问题场景：在△ABC 中，DE∥FG∥BC，分别交 AB 于 D、F，交 AC 于 E、G，探索线段比例关系。
比例推导：
由 DE∥BC 得\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)。
由 FG∥BC 得\(\frac{AF}{AB} = \frac{AG}{AC}\)。
由 DE∥FG 得\(\frac{AD}{AF} = \frac{AE}{AG}\)。
结论：多条平行线截三角形的两边，所得的对应线段成比例，即\(\frac{AD}{DF} = \frac{AE}{EG} = \frac{DF}{FB} = \frac{EG}{GC}\)。
例题讲解：如图，DE∥FG∥BC，AD = 2，DF = 3，FB = 4，AE = 1.5，求 EG 和 GC 的长。
解答：由\(\frac{AD}{DF} = \frac{AE}{EG}\)得\(\frac{2}{3} = \frac{1.5}{EG}\)，解得\(EG = 2.25\)；由\(\frac{DF}{FB} = \frac{EG}{GC}\)得\(\frac{3}{4} = \frac{2.25}{GC}\)，解得\(GC = 3\)。
幻灯片 6：平行线分线段成比例与中点问题
中位线定理联系：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，本质是平行线分线段成比例定理的特殊情况（比例为 1:1）。
若 D、E 分别为 AB、AC 的中点，则\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = 1\)，故 DE∥BC，且\(DE = \frac{1}{2}BC\)。
例题讲解：在△ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，F 为 DE 的中点，延长 AF 交 BC 于 G，求\(\frac{BG}{GC}\)的值。
解题步骤：
连接 DF 并延长交 BC 于 H（或利用中位线性质），DE∥BC 且 DE = \(\frac{1}{2}\)BC。
F 为 DE 中点，故 DF = FE = \(\frac{1}{4}\)BC。
由 AF∥GH（或利用比例）得\(\frac{AG}{GF} = \frac{BC}{DE} = 2\)，进一步推导得\(\frac{BG}{GC} = 1\)。
幻灯片 7：复杂图形中的比例转化
图形特征：含平行线的复杂图形（如梯形、嵌套三角形）中，需通过辅助线构造基本三角形或平行线组。
辅助线策略：过线段端点作平行线，将分散的比例线段集中到一个三角形中。
例题讲解：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 AB 上一点，EF∥AD 交 CD 于 F，若 AE = 2，EB = 3，AD = 4，BC = 6，求 EF 的长。
解题步骤：
延长 BA、CD 交于点 P，形成△PBC，AD∥BC，故\(\frac{PA}{PB} = \frac{AD}{BC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)，设 PA = 2k，PB = 3k，则 AB = k = 5（AE + EB = 5），故 k = 5，PA = 10，PB = 15。
AE = 2，故 PE = PA + AE = 12，\(\frac{PE}{PB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)。
由 EF∥BC 得\(\frac{EF}{BC} = \frac{PE}{PB} = \frac{4}{5}\)，故 EF = \(\frac{4}{5} 6 = 4.8\)。
幻灯片 8：证明线段平行的常用方法
方法总结：
利用同位角相等、内错角相等或同旁内角互补（平行线的判定公理）。
利用三角形中位线定理（中位线平行于第三边）。
利用平行线分线段成比例定理的逆定理（对应线段成比例则平行）。
利用平行四边形的对边平行性质。
例题对比：
用角的关系证明：在△ABC 中，∠ADE = ∠B，则 DE∥BC（同位角相等）。
用比例关系证明：在△ABC 中，\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，则 DE∥BC（逆定理）。
幻灯片 9：课堂练习 1（逆定理应用）
题目 1：在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，\(\frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}\)，\(\frac{AE}{AC} = \frac{2}{5}\)，则 DE 与 BC 的位置关系是______。
题目 2：△ABC 中，AB = 8，AC = 6，点 D 在 AB 上，AD = 2，若要使 DE∥BC，点 E 在 AC 上应满足 AE = ______。
题目 3：判断对错：若一条直线截三角形的两边所得线段成比例，则这条直线平行于第三边（______）。
幻灯片 10：课堂练习 2（综合应用）
题目 4：如图，DE∥FG∥BC，AD = 1，DF = 2，FB = 3，求\(\frac{AE}{EG}\)和\(\frac{EG}{GC}\)的值。
题目 5：在△ABC 中，D 为 AB 上一点，E 为 AC 延长线上一点，且\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)，求证：DE∥BC。
幻灯片 11：易错点辨析
易错点 1：逆定理应用时忽略 “对应线段”，误用非对应线段比例判定平行。
示例：在△ABC 中，\(\frac{AD}{EC} = \frac{AE}{DB}\)，误判 DE∥BC（应严格对应两边上的线段）。
易错点 2：多条平行线截线段时，比例关系对应错误。
示例：DE∥FG∥BC 中，误将\(\frac{AD}{FG} = \frac{AE}{BC}\)作为比例式（应是线段长度比而非线段比）。
易错点 3：证明平行时未明确三角形两边，对延长线情况处理不当。
示例：截线交两边延长线时，未确认比例关系是否对应，导致逆定理误用。
易错点 4：辅助线添加不合理，无法将复杂图形转化为基本模型。
示例：梯形中未构造三角形，直接套用三角形比例关系导致错误。
幻灯片 12：定理的实际应用拓展
测量不可达距离：利用逆定理确定平行线，通过比例计算河流宽度、建筑物高度等不可直接测量的距离。
工程绘图：在建筑图纸中，利用平行线分线段成比例确定构件的尺寸比例，确保结构对称和平行。
摄影测量：通过照片中平行线形成的比例关系，还原实际场景的空间尺寸和位置关系。
幻灯片 13：课堂总结
核心内容：平行线分线段成比例定理的逆定理是判定平行的重要工具，需满足 “截两边（或延长线）对应线段成比例”。
应用技巧：
多条平行线截三角形时，对应线段成比例可逐级传递。
复杂图形需通过辅助线转化为基本三角形模型。
思想方法：
数形结合：通过图形分析比例关系，用比例关系推导图形性质。
逆向思维：从线段比例关系反推图形位置关系（平行）。
知识联系：与平行线的判定、三角形中位线、梯形性质等知识紧密关联，形成几何知识网络。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）在△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，AD = 3，DB = 5，AE = 6，EC = 10，证明 DE∥BC。
（2）△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC 交 BC 于 F，AD = 2，DB = 3，求\(\frac{BF}{FC}\)的值。
拓展作业：
（1）如图，在△ABC 中，点 D 在 AB 的延长线上，点 E 在 AC 的延长线上，且\(\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE}\)，求证：DE∥BC。
（2）在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 AB 中点，EF∥BC 交 CD 于 F，证明 F 为 CD 中点。
实践作业：设计一个利用平行线分线段成比例定理及其逆定理测量校园内两栋教学楼之间距离的方案，写出操作步骤和原理说明。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.2.2 平行线分线段成比例
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过研究平行线分线段成比例基本事实在三角形中的应用，
体会数学研究由一般到特殊的研究思路，培养科学的探究精神。
2.通过探究平行线分线段成比例的特殊情况，理解并掌握两个
推论，培养逻辑推理能力。
学习重点：探索平行线分线段成比例在三角形中的应用定理
学习难点：理解并熟练应用定理解决问题
思考：
（1）结合图形，说明平行线分线段成比例基本事实。
（2）如图，若AB=3,BC=5,DF=12,你能求哪些线段的长度？说明理由。
思考：如图，请移动直线DF，在移动的过程中有特殊情况吗？特殊在哪里？
思考：
如图，是上图的特殊情况，请写出下图中的成比例线段。
学生活动一 【一起探究】
你能总结一下，平行线分线段成比例基本事实在三角形中的应用价值吗？
思考：如图得到的三角形的第三边的比与被平行线截得的
对应边的比相等吗？请设计研究思路？
学生活动二 【探究成比例线段基本事实的推论】
研究特例
得到猜想
验证猜想
证明猜想
得到结论
猜想：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形与原三角形对应边成比例。
请画出图形，写出已知、求证，并证明。
例：已知，在△ABC中，EF∥BC，E、F与两边AB、AC分别相交于E、F,
求证： = =
证明：∵EF∥BC
∴=
过点E作EG∥AC交BC于点G,则=
∵EF∥BC,EG∥AC
∴四边形EGCF为平行四边形
∴GC=EF
∴= = ∴==
结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形与原三角形对应边成比例。
符号语言：∵ EF∥BC
∴
熟悉改推论的几种基本图形：
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
1.如图，在△ABC中， EF//BC，＝ ，BC=9，则和EF分别是（ ）
A. ，3 B. ，6
C. ,9 D.无法确定
2.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于 .
5：8
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥BA交DE的延长线于点F.
求证：DE＝EF.
证明：∵DE∥BC，∴
∵点D为AB 的中点，∴AD＝DB，即 ＝1.
∵CF∥BA，
∴
∴DE＝EF.
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A
1.
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2.
4.5
如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为________．
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3.
5
如图是某名同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是________．
4.
如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
(1)如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
(2)如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
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5.
6
[教材P66例题变式]如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC．若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC的长为________．
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6.
如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，已知AB＝4，
CD＝3，OD＝2，那么线段OA的长为__________．
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7.
A
本节课我们研究了平行线分线段成比例基本事实在三角形中的应用，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？
(2)本节课探究定理经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
(3)对于平行线分线段成比例基本事实在三角形中的应用定理，能用来解决什么问题？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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