资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.1 比例线段
副标题：探索线段长度的比例关系
背景图：展示建筑设计图纸、地图比例尺、相似几何图形等场景，突出比例线段在实际生活和几何中的广泛应用，搭配线段长度标注的示意图。
幻灯片 2：情境引入与旧知回顾
生活中的比例问题：
情境 1：一张建筑图纸上，某条线段标注长度为 5cm，实际对应建筑的长度为 10m，图纸与实际的长度比是多少？
情境 2：地图上的比例尺为 1:50000，若地图上两地距离为 3cm，实际距离是多少？
旧知回顾：
线段的长度：用刻度尺测量线段的长度，单位可以是 cm、m 等。
比的概念：两个数相除叫做两个数的比，记作\(a:b\)或\(\frac{a}{b}\)（\(b 0\)）。
问题提出：在几何图形中，多条线段的长度之间是否存在固定的比例关系？这种比例关系有什么性质？引出 “比例线段” 的概念。
幻灯片 3：线段的比与成比例线段
线段的比：
定义：如果用同一长度单位量得两条线段\(a\)、\(b\)的长度分别为\(m\)、\(n\)，那么这两条线段的比为\(a:b = m:n\)，或写成\(\frac{a}{b} = \frac{m}{n}\)，其中\(a\)叫做比的前项，\(b\)叫做比的后项。
注意事项：线段的比与所采用的长度单位无关，但单位必须统一；线段的比是一个正数。
示例：线段\(a = 2cm\)，线段\(b = 3cm\)，则\(a:b = 2:3\)。
成比例线段：
定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
表示方法：若四条线段\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)成比例，记作\(a:b = c:d\)或\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，其中\(a\)、\(d\)叫做比例外项，\(b\)、\(c\)叫做比例内项，\(d\)叫做\(a\)、\(b\)、\(c\)的第四比例项。
特殊情况：若\(a:b = b:c\)，则\(b\)叫做\(a\)、\(c\)的比例中项。
幻灯片 4：比例的基本性质
基本性质：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)（\(b 0\)，\(d 0\)），那么\(ad = bc\)（交叉相乘相等）。
推导：由\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)两边同乘\(bd\)（\(bd 0\)），可得\(ad = bc\)。
逆定理：如果\(ad = bc\)（\(b 0\)，\(d 0\)），那么\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)。
比例中项性质：若\(a:b = b:c\)，则\(b = ac\)（\(b\)为\(a\)、\(c\)的比例中项）。
示例：若 3 是 6 和\(x\)的比例中项，则\(3 = 6x\)，解得\(x = \frac{9}{6} = 1.5\)。
性质应用：利用比例的基本性质可以进行比例式与等积式的互化，解决线段长度的计算问题。
幻灯片 5：例题讲解 1（线段的比与比例线段判断）
题目呈现：已知线段\(a = 4cm\)，\(b = 6cm\)，\(c = 8cm\)，\(d = 12cm\)，判断这四条线段是否成比例线段。
解题步骤：
计算线段的比：计算\(\frac{a}{b} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)，\(\frac{c}{d} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)。
比较比例关系：因为\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，所以这四条线段成比例线段，即\(a:b = c:d\)。
变式练习：若线段\(a = 2cm\)，\(b = 3cm\)，\(c = 4cm\)，求\(d\)的值，使\(a:b = c:d\)。
解答：由比例基本性质得\(2d = 3 4\)，即\(2d = 12\)，解得\(d = 6cm\)。
幻灯片 6：合比性质与等比性质
合比性质：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)，那么\(\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)。
推导：\(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1\)，即\(\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}\)。
延伸：同理可得\(\frac{a - b}{b} = \frac{c - d}{d}\)。
示例：若\(\frac{x}{y} = \frac{3}{5}\)，则\(\frac{x + y}{y} = \frac{3 + 5}{5} = \frac{8}{5}\)。
等比性质：如果\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \cdots = \frac{m}{n}\)（\(b + d + \cdots + n 0\)），那么\(\frac{a + c + \cdots + m}{b + d + \cdots + n} = \frac{a}{b}\)。
示例：若\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{2}{3}\)，则\(\frac{a + c}{b + d} = \frac{2}{3}\)。
注意事项：等比性质成立的前提是分母之和不为零。
幻灯片 7：例题讲解 2（合比性质与等比性质应用）
题目呈现：已知\(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\)，求\(\frac{a + b}{a - b}\)的值。
解题步骤：
利用合比性质：由\(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\)，设\(a = 2k\)，\(b = 3k\)（\(k 0\)）。
代入计算：\(\frac{a + b}{a - b} = \frac{2k + 3k}{2k - 3k} = \frac{5k}{-k} = -5\)。
题目呈现：若\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}\)，且\(x + y + z = 18\)，求\(x\)、\(y\)、\(z\)的值。
解题步骤：
设比例常数：设\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} = k\)，则\(x = 2k\)，\(y = 3k\)，\(z = 4k\)。
代入求和方程：\(2k + 3k + 4k = 18\)，即\(9k = 18\)，解得\(k = 2\)。
求各值：\(x = 2 2 = 4\)，\(y = 3 2 = 6\)，\(z = 4 2 = 8\)。
幻灯片 8：比例线段在几何图形中的应用
三角形中的比例线段：在△ABC 中，若 DE∥BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，则\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)（后续将学行线分线段成比例定理）。
示意图：展示三角形及平行线截得的线段，标注对应比例关系。
四边形中的比例线段：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，则\(\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = 1\)（对角线互相平分，比例为 1）。
应用意义：比例线段是研究相似图形的基础，通过比例关系可以推导出图形的相似性质。
幻灯片 9：比例尺问题
比例尺定义：比例尺是图上距离与实际距离的比，即比例尺 = 图上距离：实际距离。
类型：
数值比例尺：如 1:50000，表示图上 1 单位长度对应实际 50000 单位长度。
线段比例尺：在地图上用线段标注图上距离对应的实际距离，如 表示图上 1cm 对应实际 5km。
例题讲解：在比例尺为 1:2000 的图纸上，测得某长方形场地的长为 3cm，宽为 2cm，求该场地的实际面积。
解题步骤：
求实际长和宽：实际长 = 3×2000=6000cm=60m，实际宽 = 2×2000=4000cm=40m。
计算实际面积：实际面积 = 60×40=2400m 。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础应用）
题目 1：已知线段\(a = 3\)，\(b = 5\)，\(c = 6\)，则\(a\)、\(b\)、\(c\)的第四比例项\(d = \)______。
题目 2：若\(x\)是 4 和 9 的比例中项，则\(x = \)______。
题目 3：已知\(\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\)，则\(\frac{a + b}{b} = \)，\(\frac{a - b}{a + b} = \)。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合提升）
题目 4：若\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\)，且\(2x + 3y - z = 18\)，求\(x\)、\(y\)、\(z\)的值。
题目 5：在比例尺为 1:100000 的地图上，A、B 两地的距离为 2.5cm，求 A、B 两地的实际距离（单位：km）。
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：线段的比忽略单位统一，直接用不同单位的长度相比。
示例：线段\(a = 2cm\)，\(b = 1m\)，误算\(a:b = 2:1\)（正确应为\(2:100 = 1:50\)）。
易错点 2：判断成比例线段时顺序错误，四条线段成比例需按顺序满足\(a:b = c:d\)。
示例：线段\(a = 2\)，\(b = 3\)，\(c = 4\)，\(d = 6\)，误说\(a:c = b:d\)也是成比例（虽成立，但需明确比例顺序）。
易错点 3：应用等比性质时未考虑分母之和为零的情况，导致结论错误。
示例：若\(\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}\)，直接用等比性质得\(\frac{x + y + z}{y + z + x} = \frac{x}{y}\)，但需注意特殊情况。
易错点 4：比例尺计算时单位换算错误，如将 cm 未转化为 m 或 km。
幻灯片 13：比例线段的实际应用场景
建筑设计：通过比例线段绘制建筑图纸，确保图纸与实际建筑尺寸成比例。
地图绘制：利用比例尺表示地图上的距离与实际距离的关系，方便导航和测量。
机械制造：零件图纸上的比例关系保证零件加工的精度和尺寸准确性。
摄影艺术：通过调整照片的比例，获得符合审美要求的图像尺寸。
幻灯片 14：课堂总结
核心概念：线段的比是两条线段长度的比，成比例线段是四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比。
基本性质：比例的基本性质（\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc\)）、合比性质和等比性质是解决比例问题的关键。
应用要点：计算线段的比时需统一单位，判断成比例线段要注意顺序，应用性质时需注意成立条件。
实际意义：比例线段在建筑、地图、制造等领域有广泛应用，是后续学习相似图形的基础。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：
（1）已知线段\(a = 5cm\)，\(b = 7cm\)，\(c = 10cm\)，求\(d\)，使\(a:b = c:d\)。
（2）若\(\frac{m}{n} = \frac{2}{3}\)，求\(\frac{3m - 2n}{n}\)的值。
拓展作业：
（1）已知\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = 2\)，且\(b + d + f = 5\)，求\(a + c + e\)的值。
（2）在比例尺为 1:500 的校园平面图上，测得教学楼的长为 8cm，宽为 5cm，求教学楼的实际占地面积。
实践作业：测量家中一个长方形物体（如书桌）的长和宽，绘制一幅比例尺为 1:10 的平面图，并标注尺寸。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.1 比例线段
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历观察、探究、归纳和概括等数学活动，了解线段的比和
比例线段的概念，会求两线段的比，发展数学抽象的核心素养。
2.通过小组活动探究比例式的变形，了解比例的基本性质，培养计算能力和推理能力。
3.通过建筑、艺术中的实例，了解黄金分割，感受黄金分割在
现实生活中的作用和价值，培养数学应用意识。
学习重点：比例线段及性质
学习难点：应用比例的基本性质进行比例变形
回顾全等三角形都研究了哪些内容？
思考：当两个三角形只有形状相同时，这两个三角形的对应边、对应角之间有什么关系呢？
观察如图所示的三个长方形，你认为哪两个长方形的大小不同但形状相同？请说明理由。
定义：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段．
学生活动一 【一起探究】
思考：（1）如果a、b、c、d是成比例线段，那么ad和bc
相等吗？为什么？
（2）如果线段a、b、c、d满足ad=bc,那么这四条线段成
比例吗？为什么？
（3）如何判断已知的四条线段是否成比例线段？
方法归纳：
把各线段长按从小到大的顺序排列，用最短的线段长度乘以最长的线段长度，再计算中间两条线段长度的乘积，如果积相等，一定成比例，如果积不相等，一定不成比例。注意!!!
进行大小排列前，一定要把单位化为统一的。
学生活动二 【探究比例的基本性质】
思考：（1）由ad=bc你可以变形得出几种不同的比例式？怎样做到不重不漏，说说你的变形方法？
= , = ,= ,= ,= ,=,=,=
（2）对于比例式 ，有特殊情况吗
特别地， 如果 ，就把b叫做a,c的比例中项。
思考：我们知道由 ，可以得到 ，
你能得到一般性的结论吗？证明这一结论的正确性。
学生活动三 【探究比例的相关性质】
　如图，已知线段AB＝a，点C 在AB上.
C
B
A
当 时，线段AC 的长是多少
解，设AC＝x，建立关于x 的方程x2＋ax—a2＝0，可解得
x＝ 取其正根，得
学生活动四 【探究黄金分割】
1.在线段AB上有一点C，如果点C 把AB 分成的两条线段AC 和BC满足 = ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 称为线段AB的黄金分割点，称为黄金比．其比值是 近似值是0.618.
2.每条线段上的黄金分割点都有两个．
C
B
A
1.若3y=4x，则下列式子中不正确的是（ ）
= B. = C. = D. =
2.已知线段a=4，b=16，线段c是线段a，b的比例中项，
那么线段c的长为( )
A.10 B.8 C.-8 D.±8
D
B
3.已知三条线段的长度分别是4，8，5，请写出另一条线段的长度：____________，使这四条线段是成比例线段．
4.东方明珠塔，塔高468米.在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型，后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩,更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球体，请你计算这个球体距离地面的高度.(精确到百分位)
返回
A
1.
已知线段a＝3 cm，b＝13 cm，则a与b的比为(　　)
返回
2.
返回
3.
C
下列四组长度的线段中(单位：cm)，是成比例线段的是(　　)
A．4，5，6，7
B．3，4，5，8
C．5，15，3，9
D．8，4，1，3
返回
4.
8
已知线段a，b，c，d(a＜b＜c＜d)是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝4，那么d的长是________．
5.
如图，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.
(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？
返回
返回
6.
B
返回
7.
D
返回
8.
3a
返回
9.
2
已知线段b＝4，c＝8，若线段b是线段a，c的比例中项，则a＝________．
本节课我们研究了比例的相关概念和性质，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课探究了关于比例的哪些问题？
(2)在探寻比例的相关概念及性质时，你经历了什么？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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