资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.3 相似三角形
副标题：探索形状相同的三角形的性质与判定
背景图：展示大小不同但形状相同的三角形实物（如三角尺、金字塔模型），搭配几何图形中标注对应角相等、对应边成比例的相似三角形示意图。
幻灯片 2：情境引入与概念形成
生活中的相似现象：
情境 1：观察同一张照片的放大版和缩小版，照片中的三角形图案形状相同但大小不同。
情境 2：测量学校旗杆与旁边小树的高度，发现它们在阳光下的影子与物体本身形成的三角形形状相同。
概念引入：
提问：形状相同的三角形有什么共同特征？它们的角和边之间存在怎样的关系？
定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
表示方法：若△ABC 与△DEF 相似，记作△ABC∽△DEF，读作 “△ABC 相似于△DEF”，其中对应顶点的字母需写在对应位置上。
幻灯片 3：相似三角形的定义与符号表示
定义要素：
对应角相等：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
对应边成比例：\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k\)（\(k\)称为相似比）。
符号说明：“∽” 表示相似，对应顶点必须一一对应，避免混淆对应角和对应边。
相似比注意：
若△ABC∽△DEF 的相似比为\(k\)，则△DEF∽△ABC 的相似比为\(\frac{1}{k}\)。
当相似比\(k=1\)时，两个三角形全等，即全等三角形是相似三角形的特殊情况。
示例：如图，△ABC∽△A'B'C'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{2}{3}\)，则相似比\(k = \frac{2}{3}\)。
幻灯片 4：相似三角形的判定定理 1（AA 判定）
定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。
图形表示：在△ABC 和△DEF 中，若∠A=∠D，∠B=∠E，则△ABC∽△DEF。
符号语言：∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（AA 判定）。
证明思路：通过作辅助线构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理推导对应边成比例，结合对应角相等满足相似定义。
例题讲解：如图，在△ABC 中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC。
证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B（同位角相等），∠AED=∠C（同位角相等）。根据 AA 判定定理，△ADE∽△ABC。
幻灯片 5：相似三角形的判定定理 2（SAS 判定）
定理内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
图形表示：在△ABC 和△DEF 中，若\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，且∠A=∠D，则△ABC∽△DEF。
符号语言：∵\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF（SAS 判定）。
例题讲解：已知△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=60°；△DEF 中，DE=2，DF=3，∠D=60°，判断两三角形是否相似。
解答：\(\frac{AB}{DE} = \frac{4}{2} = 2\)，\(\frac{AC}{DF} = \frac{6}{3} = 2\)，故\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，且∠A=∠D=60°，根据 SAS 判定，△ABC∽△DEF。
幻灯片 6：相似三角形的判定定理 3（SSS 判定）
定理内容：三边成比例的两个三角形相似。
图形表示：在△ABC 和△DEF 中，若\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)，则△ABC∽△DEF。
符号语言：∵\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)，∴△ABC∽△DEF（SSS 判定）。
例题讲解：△ABC 的三边长分别为 3、4、5；△DEF 的三边长分别为 6、8、10，判断两三角形是否相似。
解答：\(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，故三边成比例，根据 SSS 判定，△ABC∽△DEF。
幻灯片 7：相似三角形的性质
性质 1：对应角相等：相似三角形的对应角相等，即若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
性质 2：对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，且比值等于相似比\(k\)。
性质 3：对应线段成比例：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比\(k\)。
示例：△ABC∽△DEF，相似比为\(k\)，AM、DN 分别为 BC、EF 边上的高，则\(\frac{AM}{DN} = k\)。
性质 4：周长比等于相似比：相似三角形的周长比等于相似比\(k\)，即\(\frac{C_{ ABC}}{C_{ DEF}} = k\)。
性质 5：面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积比等于相似比的平方，即\(\frac{S_{ ABC}}{S_{ DEF}} = k^2\)。
幻灯片 8：相似三角形性质应用例题
题目呈现：已知△ABC∽△DEF，相似比为\(\frac{2}{3}\)，△ABC 的周长为 12cm，面积为 16cm ，求△DEF 的周长和面积。
解题步骤：
求周长：根据周长比等于相似比，\(\frac{C_{ ABC}}{C_{ DEF}} = \frac{2}{3}\)，即\(\frac{12}{C_{ DEF}} = \frac{2}{3}\)，解得\(C_{ DEF} = 18\)cm。
求面积：根据面积比等于相似比的平方，\(\frac{S_{ ABC}}{S_{ DEF}} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\)，即\(\frac{16}{S_{ DEF}} = \frac{4}{9}\)，解得\(S_{ DEF} = 36\)cm 。
结论：△DEF 的周长为 18cm，面积为 36cm 。
幻灯片 9：相似三角形的实际应用（测量高度）
问题场景：如何利用相似三角形测量校园内旗杆的高度？
测量原理：利用阳光下的影子，同一时刻物体高度与影长成正比（构成相似三角形）。
测量步骤：
找一根标杆，测量其高度\(h = 1.5\)m。
测量标杆的影长\(l = 2\)m。
同时测量旗杆的影长\(L = 10\)m。
设旗杆高度为\(H\)，由△标杆∽△旗杆得\(\frac{h}{l} = \frac{H}{L}\)，即\(\frac{1.5}{2} = \frac{H}{10}\)，解得\(H = 7.5\)m。
注意事项：确保测量时刻阳光照射角度相同，影子在同一平面内。
幻灯片 10：课堂练习 1（判定与性质基础）
题目 1：下列条件中，能判定△ABC∽△DEF 的是（ ）
A. ∠A=∠D，∠C=∠F B. \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)，∠B=∠D C. \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = \frac{BC}{EF}\) D. ∠A=∠E，∠B=∠D
题目 2：△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3:2，若 BC=9，则 B'C'=；若△A'B'C' 的面积为 12，则△ABC 的面积为。
题目 3：在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE 的周长为 8，则△ABC 的周长为______。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合应用）
题目 4：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，求证：△ABC∽△ACD∽△CBD。
题目 5：两个相似三角形的对应高分别为 6cm 和 8cm，周长之和为 35cm，求两个三角形的周长。
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：相似三角形对应关系错误，导致角或边对应混淆。
示例：将△ABC∽△DEF 误写成△ABC∽△EDF，导致对应边比例错误。
易错点 2：判定定理应用不当，忽略 “夹角” 条件。
示例：在 SAS 判定中，误用两边成比例且非夹角相等判定相似（如∠B=∠F 而非夹角∠A=∠D）。
易错点 3：性质应用时混淆周长比与面积比，将面积比等同于相似比。
示例：相似比为 2:3 时，误将面积比写成 2:3（正确应为 4:9）。
易错点 4：实际测量时未保证相似条件，如影子不在同一时间测量导致三角形不相似。
幻灯片 13：相似三角形与其他知识的联系
与全等三角形：全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形，全等判定定理（ASA、SAS、SSS）可视为相似判定定理的特殊情况。
与平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似，是 AA 判定定理的典型应用。
与勾股定理：直角三角形中，斜边上的高将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形，可推导勾股定理及射影定理。
幻灯片 14：课堂总结
核心概念：相似三角形的定义是对应角相等、对应边成比例，相似比是对应边的比值。
判定方法：AA、SAS、SSS 三种判定定理是判断三角形相似的主要依据，其中 AA 最为常用。
重要性质：对应角相等、对应边成比例，对应线段比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
实际应用：可用于测量高度、距离等不可直接测量的量，体现数形结合的思想。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：
（1）在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50°，判断两三角形是否相似，并说明理由。
（2）△ABC∽△DEF，相似比为 2:5，若 AB=4，则 DE=；若△ABC 的面积为 8，则△DEF 的面积为。
拓展作业：
（1）如图，在△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，且\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}\)，S△ADE=2，求 S△ABC。
（2）利用相似三角形设计一个测量池塘宽度的方案，写出所需工具、步骤和计算公式。
实践作业：测量家中两个相似物品（如不同尺寸的相框）的对应边长，计算相似比，并验证周长比和面积比与相似比的关系。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.3 相似三角形
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过类比全等的有关知识来研究相似的有关知识，体会类比以及由特殊到一般的数学思想方法，发展数学思维。
2.通过类比全等研究相似，了解相似三角形的有关概念以及全等与相似的关系，培养抽象思维。
3.通过研究相似三角形的判定，学习科学的研究方法，发展几何直观与推理能力。
思考：
（1）结合图形，说明平行线分线段成比例基本事实。
（2）平行线分线段成比例定理有那两个推论？结合图形说明。
思考：如图，是我们学校的旗杆，如果只有一个卷尺，
你能测出旗杆的高度吗？
思考：（1）全等三角形我们研究了哪些内容？怎样研究的？
（2）全等三角形的概念、表示方法、性质分别是
什么？你能类比全等的相关知识得到相似的
相关知识吗？
相似三角形的定义：
全等三角形的定义：
表示方法：
形状相同
大小相等
性质：
全等三角形对应边相等，
对应角相等。
表示方法：
性质：
对应边相等，对应角相等的
两个三角形是全等三角形。
对应边成比例，对应角相等的两个三角形是相似三角形。
相似三角形对应边的比是相似比。
△ABC∽△DEF
相似三角形对应边成比例，对应角相等。
学生活动一 【一起探究】
思考下列问题，并说明理由：
（1）两个直角三角形相似吗？
（2）两个等腰三角形相似吗？
学生活动二 【探究相似三角形】
（3）两个等腰直角三角形相似吗？
（4）两个等边三角形相似吗？
例 如图25-3-2，△ AEF ∽△ ABC.
（1）若AE=3，AB=5，EF=2.4，求BC的长；
（2）求证：EF∥BC.
解：（1）∵ △ AEF ∽△ ABC，
∴=.
又∵ AE=3，AB=5，EF=2.4，
∴BC===4.
（2）∵ △ AEF ∽△ ABC，
∴∠ AEF= ∠B
∴EF∥BC
相似三角形的判定：
定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
类比全等三角形的判定，思考相似三角形还有其他判定方法吗？
学生活动三 【探究相似三角形的判定】
定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形对应边成比例。
上述定理能说明两个三角形相似吗？为什么？
证明：∵E,F分别是AB，AC的中点
∴EF∥BC
∴△ABC∽△AEF（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似）
已知：如图25-3-4，在△ABC中，E,F分别为AB,AC的中点.
求证：△ABC∽△AEF.
判定：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。
你能用图形语言和符号语言表示这一定理吗？
A字图
A字图
8字图
符号语言：
∵DE∥BC
∴△ABC∽△ADE
1.如图，在　ABCD中，F 是AD 边上的任意一点，连接BF 并延长交CD 的延长线于点E，连接AC，则图中与△DEF 相似的三角形共有(　　)
A．1个　　　B．2个　
C．3个　　　D．4个
B
2.如图，已知AB，CD，EF 都与BD 垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF 的长是(　　)
B. C. D.
C
3.如图，在 ABCD 中，点E在边BC 上，点F在边AD 的延长线上，且DF＝BE.EF 与CD 交于点G.
(1)求证：BD∥EF；
(2)若 ，BE＝4，求EC 的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF.
(2) ∵BE＝4，∴DF＝4.
∵DF∥EC，
∴△DFG∽△CEG，∴
∵ = ∴EC＝6
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B
1.
如图，△ADE∽△ABC，若AD＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的相似比是(　　)
A．1∶2
B．1∶3
C．2∶3
D．3∶2
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2.
B
如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为6，则DE的长度为(　　)
A．4
B．9
C．12
D．13.5
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3.
C
已知△ABC∽△DEF，若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F的度数是(　　)
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
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4.
B
已知△ABC∽△DEF，AB＝6 cm，BC＝4 cm，AC＝9 cm，且△DEF的最短边的长为8 cm，则最长边的长为(　　)
A．16 cm
B．18 cm
C．4.5 cm
D．13 cm
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5.
如图，D，E分别是AC，AB上的点，△ADE∽△ABC，DE＝8，BC＝24，AD＝6，∠B＝70°，求AB的长和∠ADE的度数．
返回
6.
C
如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，则图中相似的三角形的组数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
返回
7.
△CDF
如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，DE交AC于点F，则△AEF∽________，相似比为________．若AF＝6 cm，则CF＝________．
1∶2
12 cm
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8.
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO.
已知：如图，AB⊥BD，垂足为B，CD⊥BD，垂足为D，AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.
返回
9.
A
如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·CD
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
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10.
C
如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
本节课我们研究了相似三角形的相关概念及判定方法，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？相似三角形的判定方法你学了几个？哪个更好用？为什么？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
(3)全等三角形的判定是怎样研究的，你对相似判定的研究有什么设想？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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