资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.4.1 相似三角形的判定
副标题：精准把握三角形相似的判定方法
背景图：展示不同类型的三角形组合，标注角的度数和边的比例关系，突出判定相似的关键要素，搭配几何推理流程图。
幻灯片 2：知识回顾与判定思路
相似三角形定义回顾：
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
符号表示：△ABC∽△DEF，相似比为\(k\)。
判定必要性：
直接用定义判定需同时验证对应角相等和对应边成比例，操作复杂。
需更简便的判定方法，通过部分条件推导出三角形相似。
判定思路：从角和边的关系入手，寻找最少的条件组合，确保三角形形状相同（相似）。
幻灯片 3：判定定理 1——AA（两角分别相等）
定理内容：两角分别相等的两个三角形相似。
图形与符号语言：
图形：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E。
符号：∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（AA）。
推导依据：
三角形内角和为 180°，若两角分别相等，则第三角必相等（∠C=∠F）。
结合平行线分线段成比例定理的推论，可证对应边成比例。
适用场景：已知两个角的关系（如平行线形成的同位角、内错角，直角三角形的锐角关系等）。
幻灯片 4：AA 判定定理例题与变式
例题 1：如图，点 D 在△ABC 的边 AB 上，∠ACD=∠B，求证：△ACD∽△ABC。
证明：∵∠ACD=∠B（已知），∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA）。
例题 2：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°，判断两三角形是否相似。
解答：∵∠C=∠F=90°，∠A=∠D=30°，∴∠B=∠E=60°，两角分别相等，故 Rt△ABC∽Rt△DEF。
变式练习：△ABC 中，DE∥BC，∠ADE=40°，∠C=60°，求∠A 的度数。
解答：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=40°（同位角相等），故∠A=180°-40°-60°=80°。
幻灯片 5：判定定理 2——SAS（两边成比例且夹角相等）
定理内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
图形与符号语言：
图形：在△ABC 和△DEF 中，\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，∠A=∠D。
符号：∵\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，∠A=∠D，∴△ABC∽△DEF（SAS）。
关键强调：
必须是 “两边的夹角” 相等，而非任意角相等。
比例关系需对应两边，即\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)中，AB 与 DE、AC 与 DF 是对应边。
推导思路：通过作辅助线构造全等三角形，转化为 AA 判定的情况。
幻灯片 6：SAS 判定定理例题与易错点
例题 3：已知△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=60°；△DEF 中，DE=3，DF=4，∠D=60°，求证：△ABC∽△DEF。
证明：\(\frac{AB}{DE} = \frac{6}{3} = 2\)，\(\frac{AC}{DF} = \frac{8}{4} = 2\)，故\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)。又∵∠A=∠D=60°，∴△ABC∽△DEF（SAS）。
易错示例：在△ABC 和△DEF 中，\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2\)，∠B=∠E，能否判定相似？
解答：不能。∠B 和∠E 不是 AB 与 AC、DE 与 DF 的夹角，不符合 SAS 条件，无法判定相似。
幻灯片 7：判定定理 3——SSS（三边成比例）
定理内容：三边成比例的两个三角形相似。
图形与符号语言：
图形：在△ABC 和△DEF 中，\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)。
符号：∵\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)，∴△ABC∽△DEF（SSS）。
推导说明：通过作辅助线将小三角形放大，利用 SSS 全等判定推导角相等，进而转化为 AA 判定。
适用场景：已知三角形三边的长度或三边的比例关系。
幻灯片 8：SSS 判定定理例题与应用
例题 4：△ABC 的三边长分别为 5、12、13；△DEF 的三边长分别为 10、24、26，判断两三角形是否相似。
解答：\(\frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{13}{26} = \frac{1}{2}\)，故\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \frac{1}{2}\)，根据 SSS 判定，△ABC∽△DEF。
例题 5：若△ABC∽△DEF，且 AB=3，BC=4，AC=5，DE=6，求△DEF 的周长。
解答：相似比\(k = \frac{AB}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，△ABC 周长为 12，故△DEF 周长为 12÷\(\frac{1}{2}\)=24。
幻灯片 9：直角三角形相似的特殊判定
特殊判定 1：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
符号：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，则 Rt△ABC∽Rt△DEF。
特殊判定 2：有一个锐角相等的两个直角三角形相似（AA 的特殊情况）。
例题 6：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AC=3，BC=4，DF=6，EF=8，判断两三角形是否相似。
解答：AB=5，DE=10，\(\frac{AC}{DF} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)，\(\frac{AB}{DE} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)，三边成比例，故相似（或用斜边直角边成比例判定）。
幻灯片 10：判定方法的选择策略
已知一角相等：
找另一角相等（用 AA）。
找夹这个角的两边成比例（用 SAS）。
已知两边成比例：
找夹角相等（用 SAS）。
找第三边也成比例（用 SSS）。
已知直角三角形：
找一锐角相等（用 AA）。
找斜边和直角边成比例。
找两直角边成比例（用 SAS）。
图形含平行线：优先考虑 AA（利用同位角、内错角相等）。
幻灯片 11：课堂练习 1（基础判定）
题目 1：下列条件能判定△ABC∽△DEF 的是（ ）
A. ∠A=∠D，AB=DE，AC=DF B. \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}\)，∠B=∠E C. \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠F
题目 2：△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7；△DEF 中，DE=10，EF=12，DF=14，则△ABC 与△DEF______（填 “相似” 或 “不相似”），理由是______。
题目 3：Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4；Rt△DEF 中，∠F=90°，DF=6，EF=8，则△ABC∽△DEF 的依据是______。
幻灯片 12：课堂练习 2（综合证明）
题目 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 AB 上一点，E 为 AC 延长线上一点，且 BD=CE，DE 交 BC 于 F，求证：△BDF∽△CEF。
题目 5：在四边形 ABCD 中，∠B=∠D=90°，求证：△ABC∽△ADC（补充条件：AC 平分∠BAD）。
幻灯片 13：易错点深度解析
易错点 1：对应关系混乱：
示例：将△ABC∽△DEF 写成△ABC∽△EDF，导致边的比例对应错误（如误将 AB 对应 DE 写成 AB 对应 ED）。
对策：标注对应顶点字母时严格遵循顺序，必要时画图标注对应角和边。
易错点 2：误用 “SSA” 判定：
示例：两边成比例且非夹角相等时，错误判定相似（如 SAS 中夹角错用为对边的角）。
对策：牢记 SAS 的 “夹角” 要求，非夹角相等不能作为判定依据。
易错点 3：忽略三角形存在性：
示例：已知三边比例时，未验证是否满足三角形三边关系（如比例为 1:2:3 的三边无法构成三角形）。
对策：判定前先确认三边能否构成三角形（任意两边之和大于第三边）。
幻灯片 14：课堂总结
核心判定定理：AA、SAS、SSS 是相似三角形的三大基本判定定理，直角三角形另有特殊判定方法。
关键要素：
AA 需两角对应相等。
SAS 需两边对应成比例且夹角相等。
SSS 需三边对应成比例。
应用技巧：根据已知条件选择合适的判定方法，优先利用图形中的平行线、公共角、对顶角等隐含条件。
思想方法：通过转化思想将未知判定转化为已知定理（如 SSS 转化为 AA），培养几何推理能力。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：
（1）在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D=80°，AB=4，AC=6，DE=2，DF=3，判断两三角形是否相似，并说明理由。
（2）△ABC 的三边长为 2、3、4，△DEF 的三边长为 6、9、12，求相似比及面积比。
拓展作业：
（1）如图，D、E 分别在△ABC 的 AB、AC 上，且\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)，求证：∠ADE=∠B。
（2）在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，证明：CD =AD BD（提示：利用相似三角形对应边成比例）。
实践作业：用硬纸板制作两个相似三角形（指定相似比），通过测量角和边验证相似判定定理的正确性。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.4.1 相似三角形的判定
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历探索相似三角形判定的过程，培养发现、提出、分析和解决问题的能力，发展科学的探究精神，养成严谨的科学态度。
2.经历探索相似三角形判定的过程，了解相似三角形的判定定理及定理的证明，发展几何直观和推理能力。
3.通过相似三角形判定的应用，培养推理能力，发展数学核心素养。
学习重点：知道两个角等可以判定两个三角形相似并能进行应用。
学习难点：能够找到证明判定定理的方法，能有条理的表达说理过程
思考：
（1）什么是相似三角形？目前判定相似的方法有什么？
（2）全等三角形有哪些判定方法？经历了怎样的研究历程？
（3）类比全等的判定，你认为相似的判定至少需要几个条件？
请设计研究思路，并进行研究
猜想：①一个角等能判定两个三角形相似吗？
②两个角等能判定两个三角形相似吗？
③三个角等能判定两个三角形相似吗？
一个条件
两个条件
三个条件
做一做：请任意作一个含30°角的三角形，然后组内对比
一下你们做的三角形相似吗？你能得到什么结论？
结论：满足一个角对应相等的两个三角形不相似
学生活动一 【一起探究】
思考：满足两个角对应相等的两个三角形相似吗？说明理由。
一般的三角形满足两个角对应相等相似吗？动手画一画
学生活动二 【一起探究】
思考：如何证明上述猜想？
请画出图形，写出已知、求证并证明。
猜想：两个角对应相等的两个三角形相似
已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,
求证：△ABC∽△DEF
思考：（1）证明相似的方法学几个？本题可以选择哪个方法？
（2）如何将两个三角形转化到一个三角形中？
证明：在AB上截取AM=DE,在AC上截取AN=DF,连接MN
∵∠A=∠D
∴△AMN≌△DEF
∴∠AMN=∠E,∠ANM=∠F ,MN=EF
∵∠B=∠E
∴∠AMN=∠B
∴MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∵△AMN≌△DEF
∴△DEF∽△ABC
M N
你还有其他方法吗？
方法：作全等，证相似
作相似，证全等
判定定理：两角对应相等的两个三角形相似
符号语言：
∵∠A=∠D,∠B=∠E
∴△ABC∽△DEF
例1：已知：如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.
求证：△ADE∽△DBF.
学生活动三 【探究判定定理的应用】
证明：∵ DE∥BC.
∴∠ADE＝∠B.
又∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDF.
∴ △ADE∽△DBF.
1.如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠DAE= ∠ABC=90°，AB=AD，E为AB的中点，AC⊥DE于点O，则
A. B.
C. D.
D
2.如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BC 的垂直平分线交BC 于D，交AB 于E，交CA 的延长线于F.
求证：DA2＝DE·DF.
证明：在△ABC中，∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD= BC=DB，∴∠B=∠DAB.
∵DF⊥BC于D，∴∠C＋∠F=90°.
∵∠B ＋ ∠C=90°，∴∠B=∠F.∴∠DAB=∠F.
又∵∠ADE=∠FDA ，∴△ADE∽△ FDA，
∴ = ,
∴ DA2＝DE·DF.
返回
B
1.
如图所示，三个三角形中，相似的是(　　)
A．(1)和(2)
B．(2)和(3)
C．(1)和(3)
D．(1)和(2)和(3)
返回
2.
C
在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似”时，甲、乙两名同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是(　　)
A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
返回
3.
C
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．0对
返回
4.
B
[教材P74例1变式]张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？
已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC．
求证：△ADE∽△DBF.
证明：①∵DF∥AC，②∵DE∥BC，
③∴∠A＝∠BDF，④∴∠ADE＝∠B，
⑤∴△ADE∽△DBF.
证明步骤正确的顺序是(　　)
A．③②④①⑤ B．②④①③⑤
C．③①④②⑤ D．②③④①⑤
返回
5.
∠D＝∠B
(答案不唯一)
如图，已知∠1＝∠2，若要添加一个条件使得△ABC与△ADE相似，则可添加的条件为____________．(只填写一个)
6.
如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，连接CE，DE，∠CED＝90°，求证：△DAE∽△EBC．
返回
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°.
∵∠CED＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC.
在△DAE和△EBC中，∠ADE＝∠BEC，∠A＝∠B，
∴△DAE∽△EBC.
返回
7.
C
在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是(　　)
本节课我们研究了相似三角形判定定理，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的判定方法你学了几个？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
(3)根据全等三角形的判定，你认为相似三角形判定还需要从哪些方面进行研究？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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