资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.5.1 相似三角形的性质
副标题：探究相似三角形的对应关系与数量特征
背景图：展示两个相似三角形，标注对应顶点、对应边及对应高，搭配几何图形中比例线段的动态演示效果。
幻灯片 2：知识回顾与性质引入
相似三角形定义回顾：
对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似比（相似系数）：相似三角形对应边的比值，记作\(k\)（\(k>0\)）。
问题提出：
除了对应角相等、对应边成比例，相似三角形还有哪些特殊的数量关系？
相似三角形的高、中线、角平分线等线段是否也存在比例关系？
它们的周长和面积与相似比有什么联系？
幻灯片 3：性质 1—— 对应角相等
性质内容：相似三角形的对应角相等。
图形与符号语言：
图形：若△ABC∽△DEF，相似比为\(k\)。
符号：∵△ABC∽△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
应用说明：对应角相等是相似三角形的基本特征，可直接用于角的等量代换或角度计算。
例题：在△ABC∽△DEF 中，∠A=50°，∠B=70°，求∠F 的度数。
解答：∠C=180°-50°-70°=60°，∵△ABC∽△DEF，∴∠F=∠C=60°。
幻灯片 4：性质 2—— 对应边成比例
性质内容：相似三角形的对应边成比例，且比值等于相似比\(k\)。
图形与符号语言：
符号：∵△ABC∽△DEF，∴\(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = k\)。
比例变形：
\(AB = k ·DE\)，\(BC = k ·EF\)，\(AC = k ·DF\)（用相似比表示对应边）。
若\(k=1\)，则对应边相等（全等三角形的特殊情况）。
例题：△ABC∽△DEF，相似比为\(\frac{2}{3}\)，AB=4cm，求 DE 的长。
解答：\(\frac{AB}{DE} = \frac{2}{3}\)，即\(\frac{4}{DE} = \frac{2}{3}\)，解得\(DE = 6\)cm。
幻灯片 5：性质 3—— 对应线段成比例（高、中线、角平分线）
性质内容：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比\(k\)。
图形与符号语言：
图形：△ABC∽△DEF，AM、DN 分别为 BC、EF 边上的高；BP、EQ 分别为 AC、DF 边上的中线；CG、FH 分别为∠ACB、∠DFE 的角平分线。
符号：\(\frac{AM}{DN} = \frac{BP}{EQ} = \frac{CG}{FH} = k\)。
证明思路（以对应高为例）：
∵△ABC∽△DEF，∴∠B=∠E，又∠AMB=∠DNE=90°，∴△ABM∽△DEN（AA），故\(\frac{AM}{DN} = \frac{AB}{DE} = k\)。
例题：△ABC∽△DEF，相似比为\(1:2\)，△ABC 中 BC 边上的高为 3cm，求△DEF 中 EF 边上的高。
解答：设 EF 边上的高为\(h\)，则\(\frac{3}{h} = \frac{1}{2}\)，解得\(h = 6\)cm。
幻灯片 6：性质 4—— 周长比等于相似比
性质内容：相似三角形的周长比等于相似比\(k\)。
推导过程：
设△ABC∽△DEF，相似比为\(k\)，则\(AB = k ·DE\)，\(BC = k ·EF\)，\(AC = k ·DF\)。
△ABC 的周长\(C_1 = AB + BC + AC = k(DE + EF + DF) = k ·C_2\)（\(C_2\)为△DEF 的周长）。
故\(\frac{C_1}{C_2} = k\)。
例题：△ABC∽△DEF，周长分别为 15cm 和 21cm，求相似比及对应边的比值。
解答：相似比\(k = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}\)，对应边的比值为\(\frac{5}{7}\)。
幻灯片 7：性质 5—— 面积比等于相似比的平方
性质内容：相似三角形的面积比等于相似比的平方（\(k^2\)）。
推导过程：
设△ABC∽△DEF，相似比为\(k\)，对应高分别为\(h_1\)、\(h_2\)，则\(\frac{h_1}{h_2} = k\)。
\(S_1 = \frac{1}{2} ·BC ·h_1\)，\(S_2 = \frac{1}{2} ·EF ·h_2\)。
\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{2} ·BC ·h_1}{\frac{1}{2} ·EF ·h_2} = \frac{BC}{EF} ·\frac{h_1}{h_2} = k ·k = k^2\)。
例题：△ABC∽△DEF，相似比为\(2:3\)，△ABC 的面积为 12cm ，求△DEF 的面积。
解答：面积比为\((\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\)，设△DEF 的面积为\(S\)，则\(\frac{12}{S} = \frac{4}{9}\)，解得\(S = 27\)cm 。
幻灯片 8：相似三角形性质的综合应用
例题讲解 1：如图，△ABC∽△ADE，且 BC=2DE，△ADE 的面积为 5cm ，求△ABC 的面积及对应中线的比。
解题步骤：
确定相似比：\(\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}\)，故相似比\(k = \frac{1}{2}\)。
求面积比：面积比为\(k^2 = \frac{1}{4}\)，设△ABC 的面积为\(S\)，则\(\frac{5}{S} = \frac{1}{4}\)，解得\(S = 20\)cm 。
对应中线比：对应中线的比等于相似比\(\frac{1}{2}\)。
例题讲解 2：在△ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，\(\frac{AD}{DB} = \frac{1}{2}\)，△ADE 的周长为 6cm，求△ABC 的周长及面积比。
解题步骤：
证明相似：DE∥BC，故△ADE∽△ABC（AA）。
求相似比：\(\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + DB} = \frac{1}{3}\)，相似比\(k = \frac{1}{3}\)。
求周长：△ABC 的周长为\(6 ·\frac{1}{3} = 18\)cm。
求面积比：面积比为\((\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)。
幻灯片 9：性质在实际问题中的应用
测量面积问题：
问题：一块三角形土地与一个相似的三角形模型的相似比为 100:1，模型的面积为 20cm ，求实际土地的面积。
解答：面积比为\((100:1)^2 = 10000:1\)，实际面积\(= 20 10000 = 200000\)cm = 20m 。
缩放问题：
问题：将一个三角形图案按相似比 3:1 放大，放大后的三角形周长为原三角形周长的______倍，面积为原三角形面积的______倍。
解答：周长比为 3:1，故放大后周长是原周长的 3 倍；面积比为 9:1，故面积是原面积的 9 倍。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础性质应用）
题目 1：△ABC∽△DEF，∠A=∠D=80°，∠B=60°，则∠F=°；若 AB=4，DE=6，则相似比\(k = \)。
题目 2：相似三角形对应高的比为\(2:5\)，则对应中线的比为______，周长比为______，面积比为______。
题目 3：△ABC∽△A'B'C'，相似比为\(\frac{3}{4}\)，△ABC 的周长为 27cm，则△A'B'C' 的周长为______cm；若△A'B'C' 的面积为 32cm ，则△ABC 的面积为______cm 。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合应用）
题目 4：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，若△ADE 的面积为 4，则△ABC 的面积为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
题目 5：两个相似三角形的对应角平分线分别为 6cm 和 15cm，它们的面积差为 58cm ，求这两个三角形的面积。
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：混淆面积比与相似比的关系，将面积比等同于相似比。
示例：相似比为 3:4 时，误将面积比写成 3:4（正确应为 9:16）。
易错点 2：对应线段识别错误，误用非对应高、中线的比计算相似比。
示例：△ABC∽△DEF 中，误用△ABC 的高与△DEF 的中线的比作为相似比。
易错点 3：周长比与边长比的关系理解错误，认为周长比是相似比的平方。
示例：相似比为 2:3 时，误将周长比写成 4:9（正确应为 2:3）。
易错点 4：实际问题中单位换算错误，面积单位未进行平方换算。
示例：相似比为 10:1 时，将面积比计算为 10:1，忽略单位换算时的平方关系。
幻灯片 13：性质与判定的联系与区别
联系：
性质和判定都基于相似三角形的对应角相等、对应边成比例的核心特征。
判定是性质的前提，只有先判定相似，才能应用性质计算比例关系。
区别：
判定：由角或边的关系推导出三角形相似（从条件到结论）。
性质：由三角形相似推导出角、边、线段、周长、面积的比例关系（从结论到新结论）。
应用流程：先通过判定定理证明三角形相似，再利用性质解决计算问题。
幻灯片 14：课堂总结
核心性质：
对应角相等，对应边成比例（基本性质）。
对应高、中线、角平分线的比等于相似比。
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
应用要点：
明确对应关系，准确识别对应角、对应边和对应线段。
区分相似比与面积比的关系（面积比是相似比的平方）。
结合相似判定定理，先证相似再用性质计算。
思想方法：
数形结合：通过图形分析对应关系，用比例式表达数量关系。
转化思想：将面积、周长问题转化为相似比的计算问题。
幻灯片 15：课后作业布置
基础作业：
（1）△ABC∽△DEF，相似比为\(2:5\)，若 BC=4，则 EF=；若△DEF 的周长为 30，则△ABC 的周长为。
（2）两个相似三角形的面积比为\(9:16\)，其中一个三角形的周长为 24cm，求另一个三角形的周长（分情况讨论）。
拓展作业：
（1）如图，在△ABC 中，DE∥BC，S△ADE:S 四边形 DBCE=1:3，求 AD:DB 的值。
（2）证明：相似三角形对应中线的比等于相似比。
实践作业：测量家中两个相似物品（如照片、相框）的边长，计算相似比，并通过测量面积验证面积比与相似比平方的关系。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.5.1 相似三角形的性质
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历探索相似三角形性质的过程，了解相似三角形的性质定理，发展几何直观和推理能力。
2.通过相似三角形性质的应用，培养推理能力，发展数学核心素养。
学习重点：了解相似三角形的性质和证明方法。
学习难点：会按照步骤进行命题的证明。
思考：
（1）相似三角形的判定方法有哪些？
（2）你知道的相似三角形的性质有哪些？
（3）三角形除了边和角之外，还有哪些要素？
中线、角平分线、高、周长、面积
做一做：请任意作一对相似三角形，并画出对应边上的高、中线、角平分线，观察这些对应线段的比与相似比之间有怎样的关系？猜想并验证结论。
猜想：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比、
对应高的比，都等于相似比。
请画出图形，写出已知、求证，并证明上述猜想。
学生活动一 【一起探究】
已知：如图， △ABC∽△A′B′C′ ，相似比为k，AD,A′D′分别为BC，B′C′ 边上的高.
求证：= k
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′ ,
∴ ∠B=∠B′.
又∵AD⊥BC， A′D′⊥ B′C′ ，
∴∠ADB =∠A′D′B′=90°.
∴ △ABD∽△A′B′D′ .
∴==k.
你能证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于相似比吗？
证明：
相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比
学生活动二 【一起探究】
1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AE， A′E′分别为BC，B′C′ 边上的中线.求证： =k.
2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AF，A′F′ 分别为∠BAC，∠B′A′C′ 的平分线.
求证： =k.
相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
你能用符号语言描述这一定理吗？
相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′=k
∴AE:A′E′=AF:A′F′=AD:A′D′=k
相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
除了这些线段你还能找到等于相似比的线段吗？动手画一画。并说明其正确性。
结论：相似三角形对应线段的比等于相似比。
例1：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD 于点E，F，G， AD＝15，求AG 的长.
学生活动三 【探究判定定理的应用】
1.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别为△ABC和△DEF的角平分线，BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm.求EH的长.
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C
1.
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2.
C
已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3，若BD＝6 cm，则B′D′的长是(　　)
A．3 cm
B．4 cm
C．9 cm
D．12 cm
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3.
D
[2025石家庄校级月考]如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，其中点B，C，D，E的读数分别为8，16，10.5，14.5.若直尺的宽为3 cm，则△ABC中BC边上的高为(　　)
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．6 cm
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4.
A
如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为(　　)
A．16 cm
B．8 cm
C．24 cm
D．4 cm
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5.
C
图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝(　　)
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
本节课我们研究了相似三角形性质定理，请同学们带着以下
问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？目前为止相似三角形的性质
你学了哪些？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些
数学方法？积累了哪些活动经验？
(3)根据图形要素的研究视角，你对相似三角形性质的后续
研究有何设想？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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