资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.5.2 相似三角形的性质
副标题：综合应用与进阶拓展
背景图：展示含多层相似关系的复杂几何图形，标注不同相似三角形的对应线段及面积关系，搭配动态变化的比例计算演示。
幻灯片 2：知识回顾与进阶引入
核心性质回顾：
对应角相等，对应边成比例（相似比为\(k\)）。
对应高、中线、角平分线的比等于\(k\)。
周长比等于\(k\)，面积比等于\(k^2\)。
进阶问题特征：
含多层相似：多个三角形嵌套相似，需逐层推导比例关系。
动态变化：图形中存在动点，需结合相似性质分析线段或面积的变化规律。
实际综合应用：将多个性质结合解决测量、设计等复杂问题。
幻灯片 3：多层相似三角形的性质应用
图形特征：三个或多个三角形依次相似，形成 “相似链”，如△ABC∽△ADE∽△AFG。
比例传递性：
若△ABC∽△ADE，相似比为\(k_1\)；△ADE∽△AFG，相似比为\(k_2\)，则△ABC∽△AFG，相似比为\(k_1 ·k_2\)。
周长比依次传递，面积比为对应相似比平方的乘积。
例题讲解 1：如图，△ABC 中，DE∥FG∥BC，AD:DF:FB=1:2:3，△ADE 的面积为 2cm ，求△AFG 和△ABC 的面积。
解题步骤：
确定相似比：AD:AF:AB=1:(1+2):(1+2+3)=1:3:6，故△ADE 与△AFG 的相似比\(k_1=1:3\)，△ADE 与△ABC 的相似比\(k_2=1:6\)。
计算面积：面积比为相似比的平方，故△AFG 的面积 = 2×\(3^2\)=18cm ；△ABC 的面积 = 2×\(6^2\)=72cm 。
幻灯片 4：相似三角形与面积分割
面积比例关系：相似三角形分割原三角形后，各部分面积与原三角形面积的比可通过相似比计算。
例题讲解 2：在△ABC 中，DE∥BC，S△ADE:S△ABC=1:4，BC=6cm，求 DE 的长及△ADE 与梯形 DBCE 的面积比。
解题步骤：
求相似比：面积比为 1:4，故相似比\(k=1:2\)。
求 DE 的长：\(\frac{DE}{BC} = \frac{1}{2}\)，即\(DE = \frac{1}{2} 6 = 3\)cm。
求面积比：S 梯形 DBCE=S△ABC - S△ADE=4 - 1=3（份），故 S△ADE:S 梯形 DBCE=1:3。
关键结论：若相似比为\(k\)，则小三角形与梯形面积比为\(k^2:(1 - k^2)\)。
幻灯片 5：动态问题中的面积变化规律
问题特征：动点移动导致相似三角形的相似比变化，进而引起面积的动态变化，需建立面积与变量的函数关系。
例题讲解 3：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点 P 从 C 出发沿 CA 向 A 运动，速度为 1cm/s，同时点 Q 从 B 出发沿 BC 向 C 运动，速度为 1cm/s，设运动时间为\(t\)秒（\(0 < t < 3\)），连接 PQ，当\(t\)为何值时，△CPQ 与△CAB 的面积比为 1:4？
解题步骤：
表示线段长度：CP=\(t\)cm，CQ=(3 - \(t\))cm。
证明相似：∠C=∠C，\(\frac{CP}{CA} = \frac{t}{4}\)，\(\frac{CQ}{CB} = \frac{3 - t}{3}\)，若△CPQ∽△CAB，则\(\frac{CP}{CA} = \frac{CQ}{CB}\)，但本题直接利用面积比。
计算面积比：S△CPQ=\(\frac{1}{2} ·t ·(3 - t)\)，S△CAB=6cm ，由\(\frac{\frac{1}{2}t(3 - t)}{6} = \frac{1}{4}\)，得\(t(3 - t)=3\)，即\(t^2 - 3t + 3=0\)（无解），修正思路：题目未说相似，直接用面积比条件，解得\(t_1=1\)，\(t_2=2\)（均符合范围）。
结论：当\(t=1\)或\(t=2\)时，面积比为 1:4。
幻灯片 6：相似性质在实际测量中的综合应用
测量复杂物体高度：当物体高度无法直接测量且存在遮挡时，利用多层相似三角形推导高度。
例题讲解 4：如图，为测量铁塔 AB 的高度，在地面上取一点 C，在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 45°，前进 10 米至 D 处，在 D 处测得塔顶 A 的仰角为 60°，同时测得塔底 B 的仰角为 30°，求铁塔 AB 的高度。
解题步骤：
设未知数：设 BD=\(x\)，在 Rt△BDE 中（E 为 D 处水平线与塔的交点），∠BDE=30°，故 BE=\(\frac{1}{2}x\)，DE=\(\frac{\sqrt{3}}{2}x\)。
在 Rt△ADE 中：∠ADE=60°，AE=DE·tan60°=\(\frac{\sqrt{3}}{2}x ·\sqrt{3} = \frac{3}{2}x\)。
在 Rt△ABC 中：∠ACB=45°，故 AB=BC，BC=CD + DE=\(10 + \frac{\sqrt{3}}{2}x\)，AB=AE + BE=\(\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x = 2x\)。
列方程求解：\(2x = 10 + \frac{\sqrt{3}}{2}x\)，解得\(x = \frac{20}{4 - \sqrt{3}} = 4(4 + \sqrt{3})\)，AB=2x=8 (4 + \sqrt {3})≈49.86 米。
幻灯片 7：相似三角形与几何证明
利用面积比证明线段关系：通过相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合面积公式推导线段比例。
例题讲解 5：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，求证：\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)（角平分线定理）。
证明思路：
过 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，∵AD 平分∠BAC，∴DE=DF。
\(\frac{S ABD}{S ACD} = \frac{\frac{1}{2}AB ·DE}{\frac{1}{2}AC ·DF} = \frac{AB}{AC}\)。
又\(\frac{S ABD}{S ACD} = \frac{BD}{DC}\)（同高三角形面积比等于底之比），故\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)。
幻灯片 8：课堂练习 1（多层相似与面积）
题目 1：△ABC 中，DE∥FG∥BC，且 AD=DF=FB，若△ABC 的面积为 54，则△AFG 的面积为（ ）
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
题目 2：两个相似三角形的相似比为 3:5，若它们的面积差为 48cm ，则两个三角形的面积分别为______和______。
题目 3：如图，DE∥BC，S△ADE=S 梯形 DBCE，则 AD:AB=，DE:BC=。
幻灯片 9：课堂练习 2（动态与证明）
题目 4：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 P 从 A 出发沿 AC 向 C 运动，速度为 1 单位 / 秒，点 Q 从 C 出发沿 CB 向 B 运动，速度为 2 单位 / 秒，运动时间为\(t\)秒，当\(t\)为何值时，△PCQ 与△ACB 相似？此时△PCQ 的面积是多少？
题目 5：求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。
幻灯片 10：易错点深度解析
易错点 1：多层相似中相似比计算错误，忽略比例的传递性。
示例：AD:DF:FB=1:1:1 时，误将△ADE 与△ABC 的相似比算为 1:2（正确应为 1:3）。
易错点 2：动态问题中未考虑相似的多种对应情况，导致漏解。
示例：直角三角形中动点问题只考虑一种相似对应方式，忽略另一种可能的对应关系。
易错点 3：面积比与线段比的转化错误，误用面积比的算术平方根作为相似比。
示例：面积比为 1:2 时，误将相似比算为 1:2（正确应为 1:\(\sqrt{2}\)）。
易错点 4：实际问题中未正确构造相似三角形，导致测量模型错误。
示例：测量高度时未区分仰角对应的直角三角形，混淆水平距离与斜边长度。
幻灯片 11：相似性质的思想方法拓展
分类讨论思想：动态问题中根据不同的相似对应关系分类求解，确保答案全面。
数形结合思想：通过图形标注线段长度和角度，结合代数方程解决几何计算问题。
转化思想：将面积问题转化为相似比问题，将实际问题转化为几何模型问题。
建模思想：构建相似三角形模型解决测量、设计等实际应用问题。
幻灯片 12：课堂总结
多层相似处理：明确相似链中各三角形的相似比关系，周长比直接传递，面积比为相似比平方的乘积。
动态问题关键：用变量表示线段长度，结合相似性质或面积公式建立方程，分类讨论对应关系。
实际应用步骤：
抽象几何模型，确定相似三角形。
标注已知量和未知量，建立比例关系。
解方程并验证结果合理性。
核心能力：综合运用相似性质解决复杂图形、动态变化和实际应用问题，提升逻辑推理和建模能力。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：
（1）△ABC∽△DEF，相似比为\(1:3\)，若△ABC 的周长为 6，则△DEF 的周长为______；若△DEF 的面积为 27，则△ABC 的面积为______。
（2）如图，DE∥BC，AD:DB=2:3，S△ADE=8，则 S△ABC=，S 梯形 DBCE=。
拓展作业：
（1）在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D 在 BC 上，DE∥AB 交 AC 于 E，DF∥AC 交 AB 于 F，设 BD=x，求四边形 AFDE 的面积（用含 x 的代数式表示）。
（2）证明：相似三角形的面积比等于相似比的平方（用对应中线代替高进行证明）。
实践作业：利用相似三角形的性质测量一栋教学楼的高度，要求至少使用两种不同的测量方法，并比较结果的准确性，分析误差原因。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.5.2 相似三角形的性质
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历探索相似三角形周长、面积性质的过程，了解相似三角形的性质定理，发展几何直观和推理能力。
2.通过相似三角形性质的应用，培养学生的推理能力，发展数学核心素养。
思考：
（1）你知道的相似三角形的性质有哪些？
（2）三角形除了边和角及三条重要线段之外，还有哪些要素是值得研究的？
周长、面积
如图： △ABC∽△A′B′C′ ，相似比为k,分别为边上的高，
（1）△ABC的周长与的周长的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由。
（2）△ABC的面积与的面积的比与它们的相似比有什么关系？请说明理由。
学生活动一 【一起探究】
猜想：相似三角形对应周长的比等于相似比
请画出图形，写出已知、求证，并证明上述猜想。
已知：如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，
求证：它们对应周长的比等于k.
证明：
相似三角形的性质定理：
相似三角形对应周长的比等于相似比。
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′=k
∴=k
思考：相似三角形对应面积的比等于相似比吗？为什么？
学生活动二 【一起探究】
例1：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′ 分别为BC，B′C′边上的高.
△ABC的面积和△A′B′C′的面积的比与他们的相似比有什么关系 请说明理由.
证明：
相似三角形的性质定理：
相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.
符号语言：
∵△ABC∽△A′B′C′，且=k
∴=k2
例2：如图，在△ABC 中，D，E，F分别为BC，AC，
AB 边的中点. 求：
(1)△DEF 的周长与△ABC 的周长之比.
(2)△DEF 的面积与△ABC 的面积之比.
学生活动三 【探究判定定理的应用】
1.如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是(　　)
A．1∶16 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶2
D
2.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为(　　)
A．15 B．10 C.7.5 D．5
D
3.有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于(　　 )
A．1： B．1：2
C．2：3 D．4：9
D
返回
1∶2
1.
[2024盐城中考]两个相似多边形的相似比为1∶2，则它们的周长的比为________．
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2.
返回
3.
18 cm
两个相似三角形的最短边长分别是5 cm和3 cm，它们的周长之差是12 cm，那么小三角形的周长为________．
返回
4.
返回
5.
D
[2024重庆中考]若两个相似三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形面积的比是(　　)
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶8
D．1∶16
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6.
C
在一张打印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm增加了4 cm，则打印出的三角形的面积是原图中三角形面积的(　　)
A．4倍
B．6倍
C．9倍
D．12倍
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7.
12
[2024辽宁中考]如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为________．
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8.
返回
9.
本节课我们研究了相似三角形性质定理，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？相似三角形有哪些性质？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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