资源简介

(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.6.1 相似三角形的应用
副标题：从理论到实践的几何建模
背景图：展示相似三角形在实际场景中的应用，如测量旗杆高度、建筑图纸比例、摄影构图等，搭配几何图形与实际场景的对应示意图。
幻灯片 2：应用场景引入与核心思路
常见应用场景：
测量不可直接到达的物体高度（如旗杆、铁塔、山峰）。
计算不可直接测量的距离（如河流宽度、两建筑物间距）。
工程图纸的比例缩放与尺寸计算。
摄影、绘画中的透视原理应用。
核心思路：
构建相似三角形模型：通过观察或构造，找到两个相似的三角形。
确定对应关系：明确相似三角形的对应边、对应角及相似比。
利用性质计算：根据相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方等性质求解未知量。
幻灯片 3：应用一 —— 测量物体高度（阳光下的影子法）
原理：同一时刻，太阳光可视为平行光线，物体高度与其影长成正比，形成相似直角三角形。
测量工具：卷尺、标杆。
测量步骤：
竖立一根高度为\(h\)的标杆，测量其影长为\(l\)。
同时测量被测物体（如旗杆）的影长为\(L\)。
构建相似三角形：标杆与其影长构成 Rt△A'B'C'，旗杆与其影长构成 Rt△ABC，且 Rt△A'B'C'∽Rt△ABC（AA 判定，均有直角且阳光夹角相等）。
列比例式计算：\(\frac{h}{l} = \frac{H}{L}\)，解得物体高度\(H = \frac{h ·L}{l}\)。
例题：标杆高 1.5m，影长 2m，旗杆影长 12m，求旗杆高度。
解答：\(H = \frac{1.5 12}{2} = 9\)m。
幻灯片 4：应用二 —— 测量物体高度（标杆观测法）
原理：通过调整观测者、标杆和被测物体的位置，使观测者视线经过标杆顶端到达被测物体顶端，形成相似三角形。
测量工具：卷尺、标杆、测角仪（可选）。
测量步骤：
观测者站在距离被测物体（如大树）一定距离的点 O 处，在观测者与物体之间竖立标杆 CD，高度为\(h\)。
测量观测者眼睛高度 OE = \(a\)，观测者到标杆的距离 OD = \(m\)，标杆到物体的距离 DB = \(n\)。
构建相似三角形：△OCD∽△OAB（AA 判定，∠O 为公共角，CD∥AB）。
列比例式计算：\(\frac{CD}{AB} = \frac{OD}{OB}\)，即\(\frac{h - a}{H - a} = \frac{m}{m + n}\)，解得物体高度\(H = a + \frac{(h - a)(m + n)}{m}\)。
例题：观测者眼睛高 1.6m，标杆高 2.6m，观测者到标杆距离 5m，标杆到大树距离 15m，求大树高度。
解答：\(h - a = 1\)m，\(m = 5\)m，\(m + n = 20\)m，\(H = 1.6 + \frac{1 20}{5} = 1.6 + 4 = 5.6\)m。
幻灯片 5：应用三 —— 测量不可达距离（如河流宽度）
原理：在河岸一侧构造相似三角形，利用对应边成比例计算河流宽度。
测量工具：卷尺、测绳、标杆。
测量步骤：
在河流一侧取点 A，对岸取目标点 B，在岸边确定点 C，使 AC⊥AB。
在 AC 上取点 D，过 D 作 DE⊥AC，使 E、D、B 三点共线。
测量 AC = \(a\)，AD = \(b\)，DE = \(c\)。
构建相似三角形：Rt△CAB∽Rt△CDE（AA 判定，均有直角且∠C 为公共角）。
列比例式计算：\(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DC}\)，即\(\frac{AB}{c} = \frac{a}{a - b}\)，解得河流宽度\(AB = \frac{ac}{a - b}\)。
例题：AC=100m，AD=40m，DE=30m，求河流宽度 AB。
解答：DC = 100 - 40 = 60m，\(AB = \frac{100 30}{60} = 50\)m。
幻灯片 6：应用四 —— 工程图纸与比例缩放
原理：工程图纸是实际物体的相似缩放，图纸与实物的相似比为比例尺，利用相似性质计算实际尺寸。
比例尺表示：如 1:1000 表示图纸上 1cm 对应实际 1000cm（10m）。
计算方法：
实际长度 = 图纸长度 × 比例尺分母。
图纸面积 = 实际面积 ÷（比例尺分母） 。
例题：建筑图纸比例尺为 1:500，图纸上三角形地基的底边长为 6cm，高为 4cm，求实际地基的面积。
解答：实际底边长 = 6×500 = 3000cm = 30m，实际高 = 4×500 = 2000cm = 20m，实际面积 = \(\frac{1}{2} 30 20 = 300\)m 。
幻灯片 7：应用五 —— 几何证明与线段计算
利用相似三角形证明线段比例或长度关系：
例题讲解 1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE∥AC 交 AB 于 E，求证：\(\frac{AE}{BE} = \frac{AC}{BC}\)。
证明：
∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAD（内错角），△BDE∽△BCA（AA），故\(\frac{BE}{AB} = \frac{DE}{AC}\)。
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠EDA，故 AE=DE。
由\(\frac{BE}{AB} = \frac{AE}{AC}\)得\(\frac{AE}{BE} = \frac{AC}{AB}\)（原题可能笔误，应为\(\frac{AE}{BE} = \frac{AC}{AB}\)）。
例题讲解 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，AC=6，BC=8，求 CD 的长。
解答：AB=10，△ABC∽△ACD，故\(\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BC}\)，即\(\frac{6}{10} = \frac{CD}{8}\)，解得 CD=4.8。
幻灯片 8：应用六 —— 动态问题中的相似应用
问题特征：动点运动过程中形成相似三角形，需结合相似性质分析变量关系。
例题讲解 3：在△ABC 中，AB=8cm，BC=16cm，点 P 从 A 出发沿 AB 向 B 运动，速度为 1cm/s，点 Q 从 B 出发沿 BC 向 C 运动，速度为 2cm/s，运动时间为\(t\)秒，当△PBQ 与△ABC 相似时，求\(t\)的值。
解题步骤：
表示线段长度：AP = \(t\)，PB = 8 - \(t\)；BQ = 2\(t\)，QC = 16 - 2\(t\)（\(0 < t < 8\)）。
分情况讨论相似：
情况 1：△PBQ∽△ABC（∠B=∠B），则\(\frac{PB}{AB} = \frac{BQ}{BC}\)，即\(\frac{8 - t}{8} = \frac{2t}{16}\)，解得\(t = 4\)。
情况 2：△PBQ∽△CBA（∠B=∠B），则\(\frac{PB}{BC} = \frac{BQ}{AB}\)，即\(\frac{8 - t}{16} = \frac{2t}{8}\)，解得\(t = 1.6\)。
结论：当\(t = 4\)或\(t = 1.6\)时，两三角形相似。
幻灯片 9：课堂练习 1（实际测量应用）
题目 1：在阳光下，某同学身高 1.6m，影长 1.2m，同时测得教学楼影长 9m，则教学楼高度为______m。
题目 2：为测量池塘宽度 AB，在岸边取点 C，使 AC⊥AB，在 AC 上取 D，使 CD=3m，AD=9m，过 D 作 DE⊥AC，测得 DE=2m 且 E、D、B 共线，则 AB=______m。
题目 3：图纸比例尺为 1:200，图纸上三角形面积为 5cm ，则实际面积为______m 。
幻灯片 10：课堂练习 2（几何证明与动态问题）
题目 4：如图，△ABC 中，DE∥BC，AD=2，DB=3，S△ADE=4，则 S△ABC=，BC=10，则 DE=。
题目 5：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点 P 在 AC 上，AP=2，点 Q 在 AB 上，当△APQ 与△ABC 相似时，求 AQ 的长。
幻灯片 11：应用中的常见错误与注意事项
错误类型 1：相似三角形对应关系错误，导致比例式列错。
示例：测量高度时误将标杆影长与物体高度对应，而非标杆高度与物体影长对应。
注意：明确相似三角形的对应顶点，按顺序列出比例式。
错误类型 2：实际测量时未保证相似条件，如影子不在同一时刻测量或视线不共线。
示例：标杆观测法中未确保 E、D、B 三点共线，导致三角形不相似。
注意：测量前检查几何条件是否满足，确保模型的准确性。
错误类型 3：比例尺换算错误，忽略长度与面积的换算差异。
示例：比例尺 1:100 中，将图纸面积 1cm 直接乘以 100 得到实际面积。
注意：面积换算需乘以比例尺分母的平方。
错误类型 4：动态问题漏解，未考虑相似的多种对应情况。
示例：只考虑一种相似对应方式，忽略另一组可能的对应边比例。
注意：动态问题中需根据顶点对应关系分类讨论。
幻灯片 12：相似三角形应用的思想方法
建模思想：将实际问题抽象为几何模型，通过构建相似三角形转化为数学问题。
转化思想：将不可测量的量转化为可测量的量，利用相似性质建立等量关系。
数形结合思想：结合图形分析和代数计算，通过比例式求解未知量。
分类讨论思想：动态问题中根据不同的相似对应关系分类求解，确保答案全面。
幻灯片 13：课堂总结
核心应用领域：测量高度、距离，工程图纸缩放，几何证明与计算，动态问题分析。
解题步骤：
抽象模型：确定实际问题中的相似三角形。
明确对应：标注相似三角形的对应边和对应角。
列比例式：根据相似性质建立比例关系。
求解验证：计算未知量并验证合理性。
关键技巧：
准确识别相似三角形的对应关系。
确保测量条件满足相似前提（如光线平行、视线共线）。
动态问题中注意分类讨论不同的相似情况。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）某古塔在阳光下的影长为 30m，同时一根长 2m 的标杆影长为 1.5m，求古塔高度。
（2）图纸比例尺为 1:5000，图上两地距离为 8cm，求实际距离；图上三角形面积为 6cm ，求实际面积。
拓展作业：
（1）如图，在△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点，E 为 AD 上一点，且 AE:ED=1:2，连接 BE 并延长交 AC 于 F，求 AF:FC 的值。
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点 P 从 B 出发沿 BC 向 C 运动，速度为 1 单位 / 秒，点 Q 从 C 出发沿 CA 向 A 运动，速度为 1 单位 / 秒，运动时间为\(t\)秒，当△PCQ 与△ABC 相似时，求\(t\)的值及此时△PCQ 的面积。
实践作业：选择校园内一个不可直接测量的物体（如旗杆、大树），利用本节课所学方法测量其高度，写出详细的测量步骤、数据记录和计算过程，并分析误差原因。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.6.1 相似三角形的应用
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过将实际问题转化成数学问题，培养建模能力，发展数学核心素养。
2.通过利用相似的性质解决实际问题，培养几何直观与推理能力，发展应用意识。
3.通过小组合作解决实际问题，培养动手操作能力和交流与合作的意识，积累活动经验，发展核心素养。
思考：
（1）相似三角形的判定和性质有哪些？
（2）在现实生活中可以利用判定和性质解决哪些现实问题？
例：判断下列图形是否位似图形，如果是，位似中心在哪里？并说明理由。
对于学校里旗杆的高度，我们是无法直接进行测量的．但是我们可以根据相似三角形的知识，测出旗杆的高度．结合下面图形大家思考如何求出高度？
学生活动一 【一起探究】
测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示．
利用影长测量不能直接测量的物高(可到底部)的方法：
利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高．
如图，是“小孔成像”试验示意图.已知蜡烛与光屏之间的距离为l，具有“小孔”的纸板放在什么位置时，蜡烛火焰的高度AB是它的像A'B'的高度的一半？
学生活动二 【探究跨学科应用】
A
A'
B
B'
O
将这个实际问题转化为一个数学问题
C
D
①AB与A'B'的关系是平行
②AB与A'B'的之间的距离是
从题中提取关键信息
③AB是A'B'的一半
已知：AB∥ A'B' ，A A'与B B'相交与点O,AB与A'B'之间的距离是 l， AB= A'B' ，求O到AB的距离.
解：过点O作OC⊥AB于点C,延长CO交A'B'于点D
则CD= l
∵AB∥A'B'
∴△OAB∽△OA'B‘
∴=
∴ = CD=l
（相似三角形的对应高的比等于相似比）
A
A'
B
B'
O
C
D
1.如图，在高为4m的平房顶上A处望一幢楼的底部D时，视线恰好过一棵树的顶端E，从平房底部B处望楼顶C时，视线也恰好经过小树的顶端E.如果测得小树的高度为3m，求这幢楼的高度.
2.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物项端A标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，求建筑物的高度．
解：设高为米，根据题意易得△CDG∽△ABG，
∴ .∵CD=DG=2，∴BG=AB=x，
再由△EFH∽△ABH可得 ，即 ，
∴BH=2x，即BD+DF+FH=2x，即x－2+52+4=2x，
解得x=54.
答：建筑物的高度为54米.
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B
1.
如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20 m，树的顶端在水面上的倒影距自己
5 m远，淇淇的眼睛距地面的高为1.6 m，则树高为(　　)
A．3.4 m B．4.8 m
C．5.1 m D．6.8 m
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2.
6
《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40 cm，BD＝20 cm，AQ＝12 m，
则树高PQ＝________m.
3.
小明在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.2米，如图，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上的影长BD＝9.6米，留在墙上的影长CD＝2米，求旗杆的高度．
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4.
D
如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)．已知地面阴影(圆形)的直径为1.5米，桌面距地面1米．若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为(　　)
A．0.25米 B．0.5米
C．0.75米 D．1米
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5.
20
[2024扬州中考]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上的成像为A′B′.若AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔
O到A′B′的距离为________cm.
6.
如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF＝3米，BC＝10米，求该宣传栏后的DE处共有多少棵树．(不计宣传栏的厚度)
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本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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