资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.6.2 相似三角形的应用
副标题：复杂场景与综合问题解析
背景图：展示含多层相似关系的复杂测量场景（如多层建筑高度测量、桥梁跨度计算），搭配几何图形与实际场景的叠加示意图。
幻灯片 2：知识回顾与进阶引入
基础应用回顾：
测量物体高度：影子法、标杆观测法。
测量距离：构造直角三角形相似模型。
图纸缩放：利用比例尺和相似性质计算实际尺寸。
进阶应用特征：
含多个相似三角形嵌套，需逐层推导比例关系。
实际场景中存在遮挡或复杂地形，需灵活构造相似模型。
与几何图形的性质（如平行四边形、圆）结合应用。
涉及动态变化与最值问题，需结合函数思想分析。
幻灯片 3：应用一 —— 多层建筑高度测量（含遮挡）
场景特征：被测物体（如多层大楼）部分被遮挡，需通过多个观测点构建相似三角形链。
测量原理：利用不同观测点形成的相似三角形，建立高度差与水平距离的比例关系。
测量步骤：
在观测点 A 处测得大楼顶端 C 的仰角为 α，底部 B 的俯角为 β，A 到大楼的水平距离为\(m\)。
在观测点 D 处（与 A 在同一水平线，距离 A 为\(n\)）测得大楼顶端 C 的仰角为 γ。
构建相似三角形：△ACE∽△ADF（E、F 为水平投影点），利用三角函数与相似比结合计算。
例题讲解 1：如图，在 A 处测得大楼顶端 C 仰角 45°，底部 B 俯角 30°，A 到大楼水平距离 20m；在 D 处（AD=10m）测得 C 仰角 60°，求大楼 BC 的高度。
解答：AE=20m，CE=20m（∠CAE=45°），DE=30m，DF=30 tan60°=30√3 m，由相似得高度一致，BC=CE + BE=20 + 20 tan30°≈20 + 11.5=31.5m。
幻灯片 4：应用二 —— 桥梁跨度与高度计算
场景特征：测量桥梁的跨度或桥墩高度，需结合桥面与地面的倾斜角构造相似模型。
测量原理：利用桥面坡度形成的直角三角形与辅助测量的直角三角形相似。
例题讲解 2：一座桥梁的桥面 AB 与地面 AC 的夹角为 30°，在距离 A 点 50m 的 D 处测得桥墩顶端 B 的仰角为 60°，求桥梁跨度 AB 和桥墩高度 BC。
解题步骤：
∠BAC=30°，∠BDC=60°，AD=50m，设 BC=h，则 AC=√3 h，AB=2h。
DC=AC - AD=√3 h - 50，在 Rt△BDC 中，tan60°=h/DC→√3 = h/(√3 h - 50)。
解得 h=25√3≈43.3m，AB=50√3≈86.6m。
幻灯片 5：应用三 —— 相似与平行四边形的综合应用
问题特征：在平行四边形中利用对边平行的性质构造相似三角形，解决线段比例问题。
例题讲解 3：如图，在 ABCD 中，E 为 AB 延长线上一点，DE 交 BC 于 F，若 AB:BE=3:2，求 CF:BC 的值。
解题步骤：
∵AB∥CD，∴△BEF∽△CDF（AA），故 BE/CD=BF/CF。
AB=CD，AB:BE=3:2→CD:BE=3:2→CF:BF=3:2。
设 CF=3k，BF=2k，则 BC=5k，故 CF:BC=3:5。
幻灯片 6：应用四 —— 相似与圆的综合应用
问题特征：利用圆的切线、圆周角等性质构造相似三角形，解决线段长度计算问题。
例题讲解 4：如图，PA 切⊙O 于 A，PB 交⊙O 于 B、C，PA=6，PB=4，求 PC 的长。
解题步骤：
由切割线定理知 PA =PB PC，但用相似证明：∠P=∠P，∠PAC=∠B（弦切角等于圆周角）。
∴△PAC∽△PBA（AA），故 PA/PB=PC/PA→6/4=PC/6→PC=9。
幻灯片 7：应用五 —— 动态问题中的最值与范围
问题特征：动点运动过程中，相似三角形的面积或线段长度随时间变化，需求最值或取值范围。
例题讲解 5：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点 P 从 C 出发沿 CA 向 A 运动，速度 1cm/s，点 Q 从 B 出发沿 BC 向 C 运动，速度 2cm/s，运动时间\(t\)秒，求△PCQ 面积的最大值及此时\(t\)的值。
解题步骤：
PC=\(t\)，QC=8 - 2\(t\)（\(0 < t < 4\)），S= ·t·(8 - 2t)= -t + 4t。
二次函数开口向下，顶点在 t=2 时，S 最大值 = 4cm 。
验证相似性：此时 PC=2，QC=4，PC/AC=2/6=1/3，QC/BC=4/8=1/2，不相似，但面积最大。
幻灯片 8：应用六 —— 实际生活中的复杂测量（如峡谷宽度）
测量难点：峡谷两侧无法直接到达，需在两侧分别构造相似三角形，通过中间点传递比例。
测量方案：
在峡谷一侧取点 A，对岸取点 B，在 A 侧确定直线 AC，在 B 侧确定直线 BD，使 AC∥BD。
在 AC 上取 E、F，在 BD 上取 G、H，使 EG∥FH∥AB。
测量 EF=a，GH=b，EG 与 FH 的水平距离为 c。
由△EFG∽△ABH 得 AB=(a (b + c))/b（具体比例需结合图形推导）。
例题：EF=5m，GH=3m，水平距离 c=12m，求峡谷宽度 AB=5×(3 + 12)/3=25m。
幻灯片 9：课堂练习 1（多层相似与综合几何）
题目 1：在△ABC 中，DE∥FG∥BC，AD:DF:FB=2:3:4，若 BC=18，则 FG=，DE=。
题目 2： ABCD 中，对角线交于 O，E 为 OC 中点，DE 延长线交 BC 于 F，若 BC=8，则 CF=______。
题目 3：PA 切⊙O 于 A，PO 交⊙O 于 B，PA=6，PB=3，则⊙O 半径为______。
幻灯片 10：课堂练习 2（动态与实际测量）
题目 4：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，点 P 从 A 沿 AC 向 C 运动，速度 1 单位 / 秒，点 Q 从 C 沿 CB 向 B 运动，速度 2 单位 / 秒，运动时间\(t\)秒，当△APQ 与△ABC 相似时，求\(t\)的值及△APQ 的面积。
题目 5：为测量山顶铁塔高度，在 A 处测得塔底仰角 30°，塔顶仰角 45°；前进 100m 至 B 处，测得塔顶仰角 60°，求铁塔高度（结果保留根号）。
幻灯片 11：应用中的难点突破与技巧
难点 1：复杂图形中相似三角形的识别
突破技巧：标记公共角、对顶角、平行线形成的等角，利用 “AA” 判定快速识别。
示例：含多层平行线的图形中，逐层寻找 “A 型” 或 “X 型” 相似模型。
难点 2：动态问题中相似条件的转化
突破技巧：用变量表示线段长度，根据相似判定定理列出比例式，转化为方程求解。
示例：动点问题中用\(t\)表示边长，分情况列比例式求\(t\)的值。
难点 3：实际测量中的模型构建
突破技巧：忽略次要因素（如地形微小起伏），抽象出核心几何模型，确保 “平行”“共线” 等条件成立。
示例：将倾斜地面近似为水平面，简化直角三角形模型。
幻灯片 12：相似三角形应用的思想方法拓展
数形结合深化：将几何图形的性质与代数方程、函数结合，通过图形分析建立数量关系。
转化与化归：将复杂问题分解为多个基础相似模型，如将多层相似转化为两两相似的传递问题。
建模思想进阶：从实际问题中抽象出动态模型，分析变量变化规律，预测结果范围。
分类讨论细化：在相似对应关系不唯一时，按顶点对应方式分类，确保不重不漏。
幻灯片 13：课堂总结
复杂应用核心：
多层相似需明确相似比的传递关系，周长比直接相乘，面积比为平方乘积。
与其他图形结合时，利用图形特有性质（如平行四边形对边平行、圆的弦切角定理）构造相似。
动态问题关键：
用变量表示线段长度，结合相似条件列方程或函数关系式。
分析函数最值或方程解的合理性，结合实际场景限制取值范围。
实际测量要点：
根据地形灵活调整测量方案，确保相似模型的核心条件（如平行、共线）成立。
多次测量取平均值，减少偶然误差对结果的影响。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）在△ABC 中，DE∥BC，AD=3，DB=5，S△ADE=9，则 S△ABC=，S 梯形 DBCE=。
（2）某地图比例尺为 1:10000，图上两座山峰距离为 5cm，实际距离为______km；图上三角形区域面积为 2cm ，实际面积为______公顷。
拓展作业：
（1）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，DE⊥AC 于 E，求证：CE/AC=DE /BC 。
（2）在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，点 P 从 B 出发沿 BC 向 C 运动，速度 2 单位 / 秒，点 Q 从 C 出发沿 CA 向 A 运动，速度 1 单位 / 秒，运动时间\(t\)秒，当△BPQ 与△ABC 相似时，求\(t\)的值。
实践作业：选择校园内一处复杂地形（如两栋楼之间的距离或有遮挡的物体高度），设计测量方案，运用相似三角形知识进行测量，撰写测量报告（含方案设计、数据记录、计算过程及误差分析）。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.6.2 相似三角形的应用
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过将实际问题转化成数学问题，培养建模能力，发展数学核心素养。
2.通过利用相似的性质解决实际问题，培养几何直观与推理能力，发展应用意识。
3.通过小组合作解决实际问题，培养动手操作能力和交流与合作的意识，积累活动经验，发展核心素养。
思考：
（1）相似三角形的判定和性质有哪些？
（2）在现实生活中可以利用判定和性质解决哪些现实问题？
如图：在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台，为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并说明方案的可行性？
小明的测量方案和数据
B
E
D
学生活动一 【一起探究】
解：过C 作CF⊥DE于F
B
E
D
40
100
48
F
∵BC∥DE ∠E=90°
∴CF=BE=40
∴DF==
∴EF=BC=100-8
∵BC∥DE∴△ABC∽△AED
∴= 即=
∴AC=
归纳：测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
例2： 如图所示,△ABC为一块铁板余料,已知BC=120 mm,高AD=80 mm,要用这块余料裁出一个正方形材料,且使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形的边长应为多少毫米
学生活动二 【一起探究】
解：设裁出的正方形为EFGH,△ABC的高AD与HG交于点K,则AK为△AHG的高.
∵HG∥EF,∴∠AHG=∠B.
又∵∠BAC为公共角,∴△AHG∽△ABC.
=
∵四边形EFGH是正方形 ∴AK=AD-DK
设HG=xcm,则 = 解得x=48 ∴裁出的正方形边长为48cm.
1.为了测量一条小河的宽度，小明所在小组同学决定选取河对岸岸边某处为A点，在同侧岸边选取B，C，E三点，使B，C，E在同一直线上，且AB与BE垂直．再过点E作DE⊥BE交AC的延长线于点D，并测得BC=15m，CE=3m，DE=5.4m，则河的宽度AB约为（　　）
A．21m B．24m
C．27m D．8.6m
C
2.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（　　）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
C
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C
1.
如图，为测量河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，AD与BC交于点E，若测得BE＝15 m，EC＝9 m，CD＝
16 m，则河的宽度AB为(　　)
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2.
D
如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，
DE＝90米，BC＝70米， BD＝20米，则A，B两村间的距离为(　　)
A．50米 B．80米
C．60米 D．70米
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3.
18
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4.
8
[2025秦皇岛期中]如图，△ABC是测量小玻璃管口径的量具，AB的长为12 cm，AC被分为6等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是________cm.
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5.
如图，有一块直角三角形纸片ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现从中剪出一张矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上，若BF＝4.5 cm，CE＝
2 cm，则GD的长为________．
6.
如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，求车宽FA的长度为多少米．
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本节课我们研究了相似三角形在实际生活中的应用，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？目前为止利用相似三角形的知识可以解决哪些问题？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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