资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.7.1 相似多边形和图形的位似
副标题：探索多边形的相似关系与位似变换
背景图：展示几组相似多边形（如相似的矩形、正六边形）和位似图形（如不同尺寸的同一标志图案），标注对应顶点和比例关系。
幻灯片 2：相似多边形的定义与特征
相似多边形的定义：
对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数），记作\(k\)（\(k>0\)）。
图形与符号表示：
图形：以四边形为例，四边形\(ABCD\)与四边形\(A'B'C'D'\)相似。
符号：四边形\(ABCD\backsim\)四边形\(A'B'C'D'\)，相似比为\(k\)。
核心特征：
对应角相等：\(\angle A=\angle A'\)，\(\angle B=\angle B'\)，\(\angle C=\angle C'\)，\(\angle D=\angle D'\)。
对应边成比例：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DA}{D'A'}=k\)。
幻灯片 3：相似多边形的性质
性质 1：对应角相等：相似多边形的对应角大小相等，与相似比无关。
示例：若五边形\(ABCDE\backsim\)五边形\(A'B'C'D'E'\)，则\(\angle A=\angle A'\)，\(\angle E=\angle E'\)等。
性质 2：对应边成比例：相似多边形的对应边长度的比等于相似比\(k\)。
示例：四边形相似比为\(2:3\)，若一边长为\(4cm\)，则对应边长为\(6cm\)。
性质 3：周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于相似比\(k\)。
推导：设多边形周长为各边之和，对应边成比例且比值为\(k\)，故周长比为\(k\)。
性质 4：面积比等于相似比的平方：相似多边形的面积之比等于相似比的平方\(k^2\)。
推导：可将多边形分割为多个三角形，每个对应三角形面积比为\(k^2\)，总面积比也为\(k^2\)。
幻灯片 4：相似多边形的判定
判定方法：需同时满足两个条件：
对应角分别相等。
对应边成比例。
注意事项：
仅有对应角相等不一定相似（如矩形和正方形，对应角均为 90°，但边不一定成比例）。
仅有对应边成比例不一定相似（如菱形和正方形，边成比例，但角不一定相等）。
例题讲解 1：判断下列两组多边形是否相似：
（1）两个边长分别为\(2cm\)、\(3cm\)的矩形：对应角相等，但对应边比例为\(2:3\)和\(2:3\)，故相似。
（2）一个菱形和一个正方形：对应边成比例，但菱形内角不一定为 90°，故不相似。
幻灯片 5：图形的位似 —— 定义与特征
位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形。
这个交点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。
核心特征：
位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。
对应顶点连线交于位似中心。
对应边互相平行（或共线）。
图形示例：放映幻灯片时，屏幕上的图像与胶片上的图像是位似图形，位似中心是放映机镜头中心。
幻灯片 6：位似图形的性质
性质 1：对应角相等，对应边成比例（继承相似图形的性质）。
性质 2：对应顶点的连线经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比\(k\)。
示例：位似中心为\(O\)，则\(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=k\)（\(A\)与\(A'\)、\(B\)与\(B'\)是对应点）。
性质 3：对应边互相平行（或在同一直线上），且对应边的比值等于位似比。
性质 4：位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方（同相似图形）。
幻灯片 7：位似图形的画法
画法步骤（以放大图形为例）：
确定位似中心\(O\)（可在图形内、图形外或图形上）。
连接位似中心与图形各顶点（如\(A\)、\(B\)、\(C\)），并延长（或反向延长）。
根据位似比\(k\)，在延长线上截取对应点\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，使\(\frac{OA'}{OA}=k\)。
顺次连接\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，得到放大后的位似图形。
例题讲解 2：已知△\(ABC\)，以点\(O\)为位似中心，位似比为\(2:1\)画△\(ABC\)的位似图形。
步骤演示：连接\(OA\)、\(OB\)、\(OC\)，延长至\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，使\(OA'=2OA\)，\(OB'=2OB\)，\(OC'=2OC\)，连接\(A'B'C'\)即可。
幻灯片 8：位似与相似的关系
联系：
位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形的所有性质（对应角相等、对应边成比例等）。
两者的周长比都等于相似比（位似比），面积比都等于相似比（位似比）的平方。
区别：
位似图形要求对应顶点连线交于一点（位似中心），对应边平行或共线；相似图形无此要求。
位似图形有明确的位似中心和位似比方向（可同向或反向），相似图形仅关注形状相同。
图示对比：展示一组普通相似图形（无位似中心）和一组位似图形（有明确位似中心）的对比图。
幻灯片 9：位似图形的应用 —— 图形缩放
应用场景：地图绘制、工程图纸缩放、图像放大缩小等。
例题讲解 3：一幅地图的比例尺为\(1:5000\)，地图上某区域为一个多边形，周长为\(10cm\)，面积为\(6cm \)，求该区域实际周长和面积。
解答：
地图与实际区域是位似图形，位似比\(k=\frac{1}{5000}\)。
实际周长\(=10 ·\frac{1}{5000}=50000cm=500m\)。
实际面积\(=6 ·(\frac{1}{5000}) =6 25000000=150000000cm =15000m =1.5\)公顷。
幻灯片 10：课堂练习 1（相似多边形）
题目 1：两个相似多边形的相似比为\(3:4\)，周长之和为\(70cm\)，则这两个多边形的周长分别为______和______。
题目 2：一个多边形的边长为\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)、\(6\)，另一个相似多边形的最长边为\(18\)，则其最短边为______，周长为______。
题目 3：两个相似多边形的面积比为\(9:25\)，其中一个多边形的周长为\(36\)，则另一个多边形的周长为______。
幻灯片 11：课堂练习 2（位似图形）
题目 4：如图，△\(ABC\)与△\(A'B'C'\)是位似图形，位似中心为\(O\)，若\(OA=2\)，\(OA'=4\)，则位似比为______，△\(ABC\)与△\(A'B'C'\)的面积比为______。
题目 5：以点\(O\)为位似中心，将四边形\(ABCD\)缩小为原来的\(\frac{1}{2}\)，画出缩小后的位似图形（保留画图痕迹）。
题目 6：判断下列说法是否正确：
（1）位似图形一定是相似图形（ ）
（2）相似图形一定是位似图形（ ）
（3）位似图形对应边互相平行（ ）
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：混淆相似多边形的判定条件
错误示例：认为所有矩形都相似（忽略边需成比例）。
纠正：矩形对应角相等，但需对应边成比例才相似，如长\(2\)宽\(1\)的矩形与长\(3\)宽\(1\)的矩形不相似。
易错点 2：对位似图形的对应关系理解错误
错误示例：在位似图形中，误将非对应顶点的连线交点当作位似中心。
纠正：位似中心是所有对应顶点连线的交点，需确保每对对应顶点连线都经过该点。
易错点 3：位似比与面积比关系错误
错误示例：位似比为\(2:3\)时，面积比误算为\(2:3\)。
纠正：面积比是位似比的平方，应为\(4:9\)。
易错点 4：画图时忽略位似方向
错误示例：仅沿一个方向延长连线找点，忽略反向延长可得到另一种位似图形。
纠正：位似图形可同向或反向，需根据要求确定延长方向。
幻灯片 13：课堂总结
相似多边形：
定义：对应角相等，对应边成比例。
性质：周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方。
判定：需同时满足对应角相等和对应边成比例。
位似图形：
定义：特殊的相似图形，对应顶点连线交于位似中心，对应边平行或共线。
性质：除相似性质外，对应点到位似中心距离比 = 位似比。
画法：确定位似中心，按位似比截取对应点，连接成图。
核心关系：位似图形是相似图形的特例，相似图形不一定是位似图形。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）两个相似五边形的相似比为\(1:2\)，其中一个五边形的面积为\(12cm \)，则另一个五边形的面积为______。
（2）如图，四边形\(ABCD\backsim\)四边形\(A'B'C'D'\)，\(AB=3\)，\(A'B'=4\)，四边形\(ABCD\)的周长为\(18\)，则四边形\(A'B'C'D'\)的周长为______。
拓展作业：
（1）证明：任意两个正\(n\)边形都相似。
（2）在平面直角坐标系中，△\(ABC\)的顶点坐标为\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(2,5)\)，以原点\(O\)为位似中心，位似比为\(2:1\)画△\(ABC\)的位似图形，并写出对应顶点的坐标。
实践作业：用位似图形的画法将一张照片按比例缩小（或放大），测量原图和缩小（放大）后图形的对应边长，验证位似比与边长比、面积比的关系。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.7.1 相似多边形和图形的位似
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过类比相似三角形的有关知识学习相似多边形，体会类比以及由特殊到一般的数学思想方法，培养数学思维。
2.通过类比相似三角形研究相似多边形，了解相似多边形的有关概念以及判定和性质，培养抽象思维和推理能力。
请找出下图中形状相同的图形，并连线.
思考：这两个图形的边和角有什么关系？
（1）你能类比相似三角形的概念给相似多边形下个定义吗？ 相似多边形的相似比是指什么？
（2）你能类比相似三角形说一说相似多边形的表示方法、性质和判定吗？
思考：
学生活动一 【一起探究】
相似三角形的定义：
相似多边形的定义：
表示方法：
性质：
表示方法：
性质：
对应边成比例，对应角相等的两个三角形是相似三角形。
相似三角形对应边的比是相似比。
△ABC∽△DEF
相似三角形对应边成比例，对应角相等。
判定：
判定：
一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。
相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
【思考】全等图形一定是相似图形吗 相似图形一定全等吗 它们之间有什么关系
结论:全等图形是相似图形的一种特殊情况.
全等图形一定相似,相似图形不一定全等.
思考：下列图形一定相似吗？为什么？
学生活动二 【一起探究】
思考：如何判定两个多边形是否相似？
分别观察图(1)和(2)中的两个多边形，先直观判断它们是不是相似多边形，再经过测量与计算，验证你的结论.
例1　如图所示，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，
求C1D1的长和∠A的度数.
学生活动三 【一起探究】
例2 如图：在AB=20m,AD=30m的矩形花坛四周修筑小路,如果四周的小路的宽均相等都是1m,那么小路四周矩形EFGH与矩形ABCD相似吗？请说明理由。
1.所谓“形状相同”,就是与图形的大小、位置无关,与摆放角度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异,但也不能认为是“形状相同”
2.在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.
3.相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数.
4.相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.
5.相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形.
1.如图过点P 的两直线EF，MN 将矩形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P 在AC上，且AP∶PC＝AD∶AB＝4∶3，下列对于矩形是否相似的判断，正确的是(　　)
A.甲、乙不相似 B.甲、丁不相似
C.丙、乙相似 D.丙、丁相似
A
2.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB＝4.
(1) 求AD的长；
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比.
A
B
C
D
N
M
解：（1）设AD=x，则DM= .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ = .
∴ = ，∴x2=32.
∴x=4或x=-4（舍去），即AD的长为4 .
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为= .
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D
1.
下列四组图形中，不是相似图形的是(　　)
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2.
D
如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于(　　)
A．70°
B．80°
C．110°
D．120°
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3.
如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的面积是________．若四边形EFGH与四边形ABCD相似，则四边形EFGH的面积是________．
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4.
48°
如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
(1)∠D′的度数为________，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为________；
(2)分别求边BC与边CD的长度．
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5.
D
[2024连云港中考]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为(　　)
A．甲和乙
B．乙和丁
C．甲和丙
D．甲和丁
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6.
B
如图，已知矩形OABC与矩形OA′B′C′相似，点B′的坐标为(10，5)，AA′＝1，则CC′的长是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
7.
如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝DF＝8，两动点M，N都以每秒2个单位长度的速度分别从C，F两点沿CB，FE向B，E两点运动，点M，N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似？
返回
本节课我们研究了相似多边形的相关概念、性质及判定方法，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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