资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：25.7.2 相似多边形和图形的位似
副标题：综合应用与坐标变换
背景图：展示含复杂相似多边形的几何图形、平面直角坐标系中的位似图形，搭配实际应用场景（如地图缩放、建筑图纸位似变换）的示意图。
幻灯片 2：知识回顾与进阶引入
核心知识回顾：
相似多边形：对应角相等，对应边成比例，周长比 = 相似比，面积比 = 相似比 。
位似图形：特殊的相似图形，对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离比 = 位似比。
进阶应用方向：
复杂多边形的相似判定与性质应用。
平面直角坐标系中位似图形的坐标变化规律。
位似变换在图形设计与坐标计算中的综合应用。
相似与位似的跨场景实际问题解决。
幻灯片 3：复杂相似多边形的性质应用
问题特征：多边形边数较多（如五边形、六边形），需通过分割或找关键对应关系运用性质。
解题技巧：
将多边形分割为三角形，利用三角形相似性质推导整体关系。
抓住最长边、最短边或特殊角的对应关系确定相似比。
例题讲解 1：两个相似六边形的周长分别为 36cm 和 48cm，第一个六边形的最短边为 3cm，求第二个六边形的最长边（已知第一个六边形最长边为 8cm）。
解题步骤：
相似比\(k = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}\)。
第二个六边形最短边 = 3÷\(\frac{3}{4}\)=4cm。
第二个六边形最长边 = 8÷\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{32}{3}\)≈10.67cm。
幻灯片 4：相似多边形的面积分割问题
问题特征：相似多边形被分割为多个小相似图形，需结合整体与局部的面积关系求解。
例题讲解 2：一个面积为 100cm 的正五边形被平行于边的直线分割为一个小正五边形和五个等腰梯形，已知小正五边形与原五边形相似，且面积比为 1:4，求每个梯形的面积。
解题步骤：
相似比\(k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)。
小正五边形面积 = 25cm ，总面积差 = 100-25=75cm 。
每个梯形面积 = 75÷5=15cm 。
幻灯片 5：平面直角坐标系中的位似变换
坐标变化规律：
以原点为位似中心，位似比为\(k\)，若原图形顶点坐标为\((x,y)\)，则位似图形对应顶点坐标为\((kx, ky)\)或\((-kx, -ky)\)（前者同向，后者反向）。
以点\((a,b)\)为位似中心时，需先平移坐标系，变换后再平移回去（坐标公式：\(x' = a + k(x - a)\)，\(y' = b + k(y - b)\)）。
例题讲解 3：在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A (2,4)、B (4,2)、C (6,6)，以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)作其位似图形，求对应顶点 A'、B'、C' 的坐标。
解答：同向位似坐标为 A'(1,2)、B'(2,1)、C'(3,3)；反向位似坐标为 A'(-1,-2)、B'(-2,-1)、C'(-3,-3)。
幻灯片 6：非原点位似中心的坐标变换
解题步骤：
计算原顶点相对于位似中心的坐标偏差（\(x - a, y - b\)）。
按位似比缩放偏差值（\(k(x - a), k(y - b)\)）。
转换回原坐标系坐标（\(a + k(x - a), b + k(y - b)\)）。
例题讲解 4：以点 O'(1,1) 为位似中心，位似比为 2，求点 P (3,4) 的对应点 P' 的坐标。
解答：偏差值为 (3-1,4-1)=(2,3)，缩放后为 (4,6)，P' 坐标 = 1+4=5,1+6=7→(5,7)。
幻灯片 7：位似变换与图形缩放的综合应用
应用场景：图像数字化处理（如照片缩放）、坐标图纸设计、CAD 绘图中的比例调整。
例题讲解 5：一张设计图的坐标系中，某图形顶点坐标为 (0,0)、(4,0)、(4,3)、(0,3)，现以点 (1,1) 为位似中心，将图形放大为原来的 2 倍，求放大后图形的顶点坐标。
解题步骤：
原图形为矩形，各点相对中心偏差：
(0,0) 偏差：(-1,-1)→缩放后 (-2,-2)→新坐标 (1-2,1-2)=(-1,-1)。
(4,0) 偏差：(3,-1)→缩放后 (6,-2)→新坐标 (1+6,1-2)=(7,-1)。
(4,3) 偏差：(3,2)→缩放后 (6,4)→新坐标 (1+6,1+4)=(7,5)。
(0,3) 偏差：(-1,2)→缩放后 (-2,4)→新坐标 (1-2,1+4)=(-1,5)。
放大后矩形顶点坐标为 (-1,-1)、(7,-1)、(7,5)、(-1,5)。
幻灯片 8：相似与位似的实际应用 —— 地图与比例尺
问题特征：结合地图比例尺（位似比）计算实际距离、面积，或根据实际数据绘制地图。
例题讲解 6：某城市地图的比例尺为 1:10000，图上一块三角形公园的三个顶点坐标分别为 (1,2)、(4,6)、(7,3)（单位：cm）。
（1）求公园实际周长（精确到 1m）。
（2）求公园实际面积（精确到 10m ）。
解答：
图上距离计算：
AB=\(\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}\)=5cm，BC=5cm，AC=\(\sqrt{(7-1)^2+(3-2)^2}\)=\(\sqrt{37}\)≈6.08cm。
图上周长≈5+5+6.08=16.08cm。
实际周长 = 16.08×10000=160800cm=1608m。
图上面积用坐标公式计算≈12cm ，实际面积 = 12×(10000) =12×10 cm =120000m 。
幻灯片 9：课堂练习 1（复杂相似多边形）
题目 1：两个相似七边形的相似比为 2:3，已知第一个七边形的面积为 48cm ，则第二个七边形的面积为______；若第一个七边形的一条对角线长为 6cm，则第二个七边形对应对角线长为______。
题目 2：一个正六边形与另一个正六边形相似，且周长差为 18cm，面积比为 4:9，则较小正六边形的周长为______cm，面积为______cm （结果保留根号）。
幻灯片 10：课堂练习 2（坐标与位似）
题目 3：在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标为 A (1,3)、B (4,3)、C (5,1)、D (2,1)，以原点为位似中心，位似比为\(\frac{3}{2}\)作同向位似图形，对应顶点 A' 的坐标为______，B' 的坐标为______。
题目 4：以点 (2,3) 为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)，点 P (6,7) 的对应点 P' 的坐标为______。
题目 5：判断：平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标乘积一定相等（ ）。
幻灯片 11：易错点深化解析
易错点 1：非原点位似中心的坐标计算错误
错误示例：直接用原坐标乘以位似比，忽略位似中心的平移影响。
纠正：严格按 “偏差缩放法” 计算，先求相对偏差，再缩放，最后回移。
易错点 2：复杂多边形面积比计算忽略相似比平方
错误示例：已知周长比为 3:5，误将面积比计算为 3:5。
纠正：面积比是相似比的平方，应为 9:25。
易错点 3：位似方向混淆导致坐标符号错误
错误示例：反向位似时未添加负号，导致图形方向错误。
纠正：同向位似坐标同号，反向位似坐标异号（以原点为中心时）。
易错点 4：地图比例尺单位换算错误
错误示例：将 1:1000 比例尺中的 1cm 直接对应 1000m。
纠正：1:1000 表示 1cm 对应 1000cm=10m，单位需统一为厘米换算。
幻灯片 12：思想方法与能力提升
转化思想：将复杂多边形问题转化为三角形问题，将位似坐标问题转化为偏差计算问题。
数形结合：通过坐标系直观表示位似变换，结合代数公式计算坐标。
建模思想：将实际问题（如地图、设计图）抽象为位似模型，利用比例关系求解。
分类讨论：位似图形需考虑同向与反向两种情况，确保答案全面。
幻灯片 13：课堂总结
复杂相似多边形：
利用分割法转化为三角形相似问题，周长比与面积比仍遵循相似图形规律。
关键是确定相似比，通过对应边、周长或面积关系推导。
坐标位似变换：
原点中心：坐标乘以位似比（同向）或乘以负位似比（反向）。
非原点中心：通过 “偏差缩放 + 平移回移” 公式计算坐标。
实际应用要点：
地图比例尺即位似比，计算实际距离和面积需注意单位换算。
图形缩放需明确位似中心和方向，确保图形准确性。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）两个相似多边形的面积比为 16:25，若它们的周长差为 6cm，则较大多边形的周长为______cm。
（2）在平面直角坐标系中，以点 (3,4) 为位似中心，位似比为\(\frac{1}{3}\)，点 A (6,10) 的对应点 A' 的坐标为______。
拓展作业：
（1）证明：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似比为\(k\)的两个位似图形，对应点的连线必过原点。
（2）一个正八边形的边长为 2cm，面积为 16cm ，另一个相似正八边形的边长为 3cm，求其面积及周长比。
实践作业：在平面直角坐标系中绘制一个简单图形（如四边形），分别以原点和 (2,2) 为位似中心，位似比为 2:1 绘制位似图形，测量并验证对应边的比例关系。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.7.2 相似多边形和图形的位似
第二十五章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过尺规作图，了解位似图形及性质，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小，培养动手操作能力，发展几何直观。
2.通过思考作图原理，培养学生的逻辑推理能力。
3.通过作位似图形，知道位似是特殊位置下的相似，培养抽象能力。
思考：
（1）相似三角形的判定有哪些？
（2）相似图形的性质有哪些？
（3）如何做一个图形与已知图形相似？
如图所示，已知△ABC，求作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且相似比为2:1.
A
B C
思考：
A
B C
做一做：如图所示，已知△ABC及△ABC外的一点O.
1.请按如下步骤画出△A'B'C'.
(1)画射线OA，OB，OC.
(2)分别在OA，OB，OC上截取点A'，B'，C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC.
(3)连接A'B'，A'C'，B'C'，得△A'B'C'.
学生活动一 【一起探究】
A
B C
思考：
1.请你判断AB与A'B'，AC与A'C'，BC与B'C'的位置关系，并说明理由。
2.△ABC与△A'B'C'相似吗？为什么？
3.点O还可以取在哪里？试一试。
思考：已知△ABC，求作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且相似比为2:1.还有其他作图方法吗？
A
B C
O
A'
B'
C'
学生活动二 【一起探究】
思考：上述作出的相似图形，在位置上有何特殊之处呢？
定义：上述图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），我们把这样的相似图形称为位似图形。对应顶点所在直线的交点叫位似中心。
这时的相似比也叫位似比。
思考：1.如何判断两个图形是否位似图形？
2.如何根据位似图形寻找位似中心？
学生活动三 【一起探究】
方法技巧：判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察：一是这两个图形是相似的，二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点．
思考：位似图形有什么性质？
1.位似图形的对应角相等，对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；
2.位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；
3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；
4.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
例：如图：点O在四边形ABCD内部，以O为位 似中心，画出四边形A'B' C'D'使四边形与四边形ABCD位似，且位似比为2.
解：画射线OA、OB、OC、OD;在射线OA、OB、OC、OD上分别取点D、E、F,使O A' = 2OA , O B' = 2OB ,
OC’ = 2OC , O D' = 2OD;顺次连结A' 、 B' 、 C' 、 D',则正方形ABCD与正方形A' B' C' D'位似,位似比为1：2
A'
C'
D'
B'
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为(　　)
A．(3，2)　　　B．(3，1)
C．(2，2)　　　D．(4，2)
A
在平面直角坐标系中. 如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k. 即若原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)则其位似图形对应顶点的坐 标为(kx0，ky0)或 (－kx0，－ky0).
　　注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比.
2.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　)
A．点M B．点N
C．点O D．点P
D
3.如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．
解：(1)AC∥A′C′.
理由如下：
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A＝∠C′A′B′，∴AC∥A′C′.
(2)∵△ABC∽△A′B′C′， ∴= .
∵AB＝2A′B′，∴=2.
又∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴ ==2.
∵OC′＝5，∴OC＝10，
∴CC′＝OC－OC′＝10－5＝5.
返回
D
1.
下列选项中两图形不是位似图形的是(　　)
返回
2.
B
如图，图形①与图形②是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.
若AB＝6，则A′B′的长为(　　)
A．8
B．9
C．10
D．15
返回
3.
C
如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的
2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是(　　)
A．△ABC∽△A′B′C′
B．C，O，C′三点在同一直线上
C．AO∶AA′＝1∶2
D．AB∥A′B′
返回
4.
B
如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2∶3.若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是(　　)
A．4
B．6
C．9
D．16
返回
5.
4∶9
如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是________．
返回
6.
D
7.
解：如图，点M即为所求，
点M的坐标为(0，2)．
如图，小鹏在学习位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1.
(1)在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；
如图，△A2B2C2即为所求(答案不唯一)．
(2)若以点O为位似中心，请你帮小鹏在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2(只画出一个三角形即可)．
返回
本节课我们研究了位似的相关概念、性质及判断位似的方法，请同学们带着以下问题进行总结：
(1)本节课你学到了哪些知识？
(2)本节课学习经历了怎样的过程？这个过程中用到了哪些数学方法？积累了哪些活动经验？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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