资源简介

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：26.1.1 正切
副标题：探索直角三角形中的边角关系
背景图：展示含倾斜角的实际场景，如斜坡、梯子靠墙、山坡等，搭配直角三角形标注锐角和对边、邻边的示意图。
幻灯片 2：情境引入与问题提出
实际情境展示：
情境 1：梯子靠在墙上，梯子与地面形成一定角度，如何描述梯子的倾斜程度？
情境 2：两个不同的斜坡，一个较陡，一个较缓，用什么数量关系可以区分它们的陡峭程度？
情境 3：山坡的倾斜角不同，攀登的难度不同，如何量化倾斜角与坡面高度、水平距离的关系？
核心问题：在直角三角形中，锐角的大小与它的对边、邻边长度之间存在怎样的数量关系？这种关系能否用来描述角的大小或物体的倾斜程度？
幻灯片 3：正切的定义
图形基础：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 为锐角。
∠A 的对边：与∠A 相对的边，记作 BC（或 a）。
∠A 的邻边：与∠A 相邻且非斜边的边，记作 AC（或 b）。
斜边：直角所对的边，记作 AB（或 c）。
定义内容：
在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA。
符号表达式：\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}\)。
注意事项：
正切是一个比值，没有单位。
正切值只与锐角的大小有关，与直角三角形的大小无关（相似三角形的性质决定）。
当∠A 的大小确定时，tanA 的值是唯一确定的。
幻灯片 4：正切的基本特征与理解
比值的不变性：
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，若∠A=∠A'，则\(\frac{BC}{AC} = \frac{B'C'}{A'C'}\)，即 tanA=tanA'。
结论：锐角的正切值仅由角的度数决定，与三角形的边长无关。
与倾斜程度的关系：
锐角 A 的正切值越大，说明∠A 越接近 90°，对应的斜坡或物体倾斜程度越陡。
示例：tan30°≈0.577，tan60°≈1.732，故 60° 角对应的斜坡比 30° 角的更陡。
表达方式：
tanA 是一个整体符号，不能拆分，如 tanA≠tan A。
当用三个字母表示角时，需加角的符号，如 tan∠BAC。
幻灯片 5：特殊锐角的正切值
30° 角的正切值：
在 Rt△ABC 中，∠A=30°，设 BC=1，则 AB=2，AC=\(\sqrt{3}\)。
\(\tan30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577\)。
45° 角的正切值：
在 Rt△ABC 中，∠A=45°，设 BC=1，则 AC=1，AB=\(\sqrt{2}\)。
\(\tan45 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{1} = 1\)。
60° 角的正切值：
在 Rt△ABC 中，∠A=60°，设 BC=\(\sqrt{3}\)，则 AC=1，AB=2。
\(\tan60 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \approx 1.732\)。
记忆口诀：30°、45°、60°，正切值分别为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)、1、\(\sqrt{3}\)，递增趋势要记牢。
幻灯片 6：正切值的计算与应用（基础例题）
例题讲解 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求 tanA 和 tanB 的值。
解题步骤：
∠A 的对边为 BC=3，邻边为 AC=4，故\(\tan A = \frac{3}{4} = 0.75\)。
∠B 的对边为 AC=4，邻边为 BC=3，故\(\tan B = \frac{4}{3} \approx 1.333\)。
结论：tanA tanB=1（互为余角的正切值互为倒数）。
例题讲解 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=2，AC=5，求 BC 的长。
解题步骤：
由\(\tan A = \frac{BC}{AC} = 2\)，代入 AC=5，得\(\frac{BC}{5} = 2\)。
解得 BC=2×5=10。
幻灯片 7：正切在实际中的应用 —— 测量倾斜程度
应用场景 1：斜坡的坡度
坡度（坡比）定义：斜坡的垂直高度与水平宽度的比，即坡度 i=tanθ（θ 为斜坡与水平面的夹角）。
例题讲解 3：某斜坡的坡度为 1:2，即垂直高度与水平宽度的比为 1:2，求斜坡与水平面夹角 θ 的正切值及 θ 的度数（精确到 1°）。
解答：tanθ=1/2=0.5，通过计算器查得 θ≈27°。
应用场景 2：梯子靠墙的稳定性
例题讲解 4：一架梯子靠在墙上，梯子底部距离墙脚 3 米，顶端距离地面 6 米，求梯子与地面夹角的正切值，并判断梯子是否稳定（通常 tanθ>1 时较稳定）。
解答：tanθ=6/3=2>1，故梯子较稳定。
幻灯片 8：正切与相似三角形的联系
原理分析：
若两个直角三角形有一个锐角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例，因此对应锐角的正切值相等。
例题讲解 5：如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，∠A=∠D=α，求证：tanα 在两个三角形中值相等。
证明：∵Rt△ABC∽Rt△DEF，∴\(\frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}\)→\(\frac{BC}{AC} = \frac{EF}{DF}\)，即 tanα=tanα，故值相等。
结论：正切值的不变性本质上是相似三角形性质的体现，为后续学习三角函数的定义奠定基础。
幻灯片 9：课堂练习 1（基础计算）
题目 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，则 tanA=，tanB=。
题目 2：若∠α 为锐角，tanα=3，则\(\frac{ ± è }{ ± é è }\)=，若∠α 的邻边为 2，则对边为。
题目 3：计算：tan45°=，tan30°=，tan60°=，tan30°·tan60°=。
幻灯片 10：课堂练习 2（实际应用）
题目 4：某山坡的水平距离为 100 米，垂直高度为 50 米，则山坡的坡度为______，坡角 θ 的正切值为______，θ≈______度。
题目 5：梯子靠在墙上，与地面的夹角为 θ，若梯子长度为 5 米，tanθ=4/3，则梯子底部距离墙脚______米，顶端距离地面______米。
题目 6：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，则 BC=，tanA=。
幻灯片 11：易错点辨析
易错点 1：混淆对边与邻边
错误示例：在求 tanB 时，误将∠B 的邻边当作对边计算。
纠正：明确 “对边” 是与角相对的边，“邻边” 是与角相邻且非斜边的边，可画图标注避免混淆。
易错点 2：认为正切值与三角形边长有关
错误示例：认为直角三角形边长扩大后，锐角的正切值会变化。
纠正：正切值仅由锐角大小决定，与边长无关，相似三角形的正切值相等。
易错点 3：特殊角正切值记忆错误
错误示例：将 tan30° 记为\(\sqrt{3}\)，tan60° 记为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
纠正：通过画图推导特殊角的正切值，30° 角对边较短，正切值较小；60° 角对边较长，正切值较大。
易错点 4：坡度与坡角概念混淆
错误示例：将坡度理解为坡角的度数。
纠正：坡度是垂直高度与水平宽度的比（即 tanθ），坡角是倾斜角的度数。
幻灯片 12：课堂总结
正切的定义：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è }\)，是一个无单位的比值。
核心特征：
正切值只与锐角的大小有关，与三角形边长无关。
锐角越大，正切值越大，对应倾斜程度越陡。
特殊角正切值：
tan30°=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，tan45°=1，tan60°=\(\sqrt{3}\)。
实际应用：用于描述坡度、倾斜角等，通过正切值可计算直角三角形中的未知边长。
思想方法：从实际问题抽象出直角三角形模型，利用数形结合思想建立边角关系。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，求 tanA 和 tanB 的值。
（2）计算：3tan30° + tan45° - tan60°=______。
拓展作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=1/2，BC=4，求 AB 的长。
（2）如图，某水坝的横断面为梯形 ABCD，迎水坡 AB 的坡度为 1:√3，坝高 BC=5 米，求迎水坡 AB 的长度。
实践作业：测量校园内一个斜坡（如楼梯、坡道）的垂直高度和水平宽度，计算其坡度和坡角的正切值，判断该斜坡的陡峭程度是否符合安全标准（通常楼梯坡度 tanθ≤1.5）。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.1.1 正切
第二十六章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数tanA,
知道30°, 45°, 60°角的三角函数值．
2.理解正切概念并根据正切概念正确进行计算．
3.引导学生体验数学活动中充满着探索与发现，并使之能积极
参与数学学习活动，学会用数学的思维方式思考、发现、
总结、验证．
思考 ：
1.函数的概念及表示函数的方法；
2.列举我们已经学习过的函数.
如图,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米 (结果保留两位小数)
该实际问题中的已知和所求为图中的哪些角和线段
学生活动一 【观察与思考】
(事实上,求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问题)
这就是我们将要学习的直角三角形边角关系
1.如图，在Rt△ABC中和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°.当 ∠A=∠A’时， 与 具有怎样的关系
学生活动二 【观察与思考】
(三角形相似)
引导思考:
(1)如何证明线段成比例
(2)你能证明这两个直角三角形相似吗
(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°,
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')
引导思考:
(3)由三角形相似的性质可以得到
与 之间的关系吗
（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴
2.如图所示,已知∠EAF<90°,BC⊥AF,B'C'⊥AF,垂足分别为C,C'. 与 具有怎样的关系
在两个直角三角形中,当一对锐角相等时,这两个直角三角形相似,从而两条对应直角边的比相等,即当∠A(小于90°)确定时,以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比 是确定的.
思考：在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形有什么关系？在这些直角三角形中，锐角Ａ的对边与邻边的比值 , ，……有怎样的关系？由此你能得到什么结论？
当直角三角形中一锐角确定时，其对边与邻边的比值也随之确定。
知识归纳
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,
记作tan A,即tan A=＝.
正切的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°
思考：
(1)∠B的对边和邻边分别是哪两条边，
tanB等于什么？
(2)tanA与tan B之间有怎样的关系？
结论：tan B＝＝.
tan A与tan B互为倒数，即tan A×tan B＝1.
例1:在Rt△ABC中,∠C= 90°.
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tanA,tanB 的值.
(2)如图(2)所示,∠A=45°,求tanA的值.
解:(1)在Rt△ABC中,
∵∠A=30°,
∴∠B=60°,且a= c.
∴ b = = = c.
∴tan A=tan 30°== c÷ c= ，
tan B=tan 60°== c ÷ c =.
(2)在Rt△ABC中,
∵∠A=45°，
∴a=b.
∴tan B=tan 45°= = .
特殊三角函数值：
tan 30°= ,
tan 45°= 1 ,
tan 60°= .
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____．
根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝ ＝ .
返回
D
1.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值为(　　)
返回
2.
D
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么tan α的值是(　　)
返回
3.
A
返回
4.
B
在Rt△ABC中，若各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A的正切值(　　)
A．扩大为原来的3倍 　
B．不变
返回
5.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且c＝3a，则tan B的值为________．
返回
6.
[2024邢台三模]如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，BD＝6，则tan∠1＝________．
返回
7.
返回
8.
C
锐角三角函数
（第1课时）
1.正切函数定义：在直角三角形中，一锐角的对边与邻边的比，叫做这个角的正切。
2.
3.特殊角的正切值：
，，
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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