资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：26.1.2 正弦、余弦
副标题：直角三角形中边角关系的拓展
背景图：展示含锐角的直角三角形，标注边的名称（对边、邻边、斜边），搭配实际场景如屋顶的倾角、起重机吊臂的角度示意图。
幻灯片 2：知识回顾与引入
正切知识回顾：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è }\)，用于描述锐角与对边、邻边的比例关系。
正切值只与锐角大小有关，与三角形边长无关。
新问题提出：
除了对边与邻边的比，锐角与对边、斜边的比，邻边、斜边的比是否也有特殊规律？
这些比例关系能否像正切一样用于描述角的大小或解决实际问题？
幻灯片 3：正弦的定义
图形基础：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 为锐角。
∠A 的对边：BC（或 a）。
斜边：AB（或 c）。
定义内容：
锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA。
符号表达式：\(\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}\)。
注意事项：
正弦是比值，无单位，仅由锐角大小决定。
当∠A 确定时，sinA 的值唯一确定，与三角形大小无关。
sinA 是整体符号，不可拆分，如∠BAC 的正弦记作 sin∠BAC。
幻灯片 4：余弦的定义
图形基础：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 为锐角。
∠A 的邻边：AC（或 b）。
斜边：AB（或 c）。
定义内容：
锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA。
符号表达式：\(\cos A = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}\)。
注意事项：
余弦同样是无单位的比值，仅由锐角大小决定。
与正弦类似，cosA 的值随∠A 的变化而变化，与三角形边长无关。
幻灯片 5：正弦和余弦的基本特征
比值的不变性：
如图，Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，∠A=∠A'，则\(\frac{BC}{AB} = \frac{B'C'}{A'B'}\)，即 sinA=sinA'；\(\frac{AC}{AB} = \frac{A'C'}{A'B'}\)，即 cosA=cosA'。
结论：正弦和余弦值仅由锐角度数决定，体现相似三角形的性质。
取值范围：
锐角 A 的对边和邻边都小于斜边，故 0 < sinA < 1，0 < cosA < 1。
与角度的关系：
当∠A 从 0° 增大到 90° 时，sinA 从 0 增大到 1，cosA 从 1 减小到 0。
幻灯片 6：特殊锐角的正弦和余弦值
30° 角的正弦和余弦：
在 Rt△ABC 中，∠A=30°，设 BC=1，则 AB=2，AC=\(\sqrt{3}\)。
\(\sin30 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} = 0.5\)。
\(\cos30 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)。
45° 角的正弦和余弦：
在 Rt△ABC 中，∠A=45°，设 BC=1，AC=1，AB=\(\sqrt{2}\)。
\(\sin45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)。
\(\cos45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)。
60° 角的正弦和余弦：
在 Rt△ABC 中，∠A=60°，设 AC=1，BC=\(\sqrt{3}\)，AB=2。
\(\sin60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)。
\(\cos60 ° = \frac{1}{2} = 0.5\)。
记忆表格：
锐角
sinα
cosα
30°
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
45°
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
60°
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
幻灯片 7：正弦、余弦与正切的关系
同角关系：
平方关系：\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)（由勾股定理推导：\(a^2 + b^2 = c^2\)→\((\frac{a}{c})^2 + (\frac{b}{c})^2 = 1\)）。
商数关系：\(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)（\(\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b} = \tan A\)）。
互余角关系：
∠A + ∠B = 90°，则\(\sin A = \cos B\)，\(\cos A = \sin B\)。
示例：sin30°=cos60°=0.5，cos30°=sin60°=\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
幻灯片 8：正弦和余弦的计算（基础例题）
例题讲解 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=13，求 sinA、cosA、sinB、cosB 的值。
解题步骤：
由勾股定理得 AC=\(\sqrt{13^2 - 5^2}\)=12。
\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}\)，\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}\)。
\(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}\)，\(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}\)。
结论：sinA=cosB，cosA=sinB（互余角关系验证）。
例题讲解 2：已知∠A 为锐角，sinA=\(\frac{3}{5}\)，求 cosA 和 tanA 的值。
解题步骤：
由\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)得\(\cos A = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}\)。
\(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}\)。
幻灯片 9：正弦和余弦的实际应用
应用场景 1：测量物体高度
例题讲解 3：为测量旗杆 AB 的高度，在距离旗杆底部 10 米的 C 处测得顶端 A 的仰角为 30°，求旗杆高度（精确到 0.1 米）。
解答：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ACB=30°，BC=10 米，\(\sin30 ° = \frac{AB}{AC}\)（错误，应为\(\tan30 ° = \frac{AB}{BC}\)）→修正：\(\tan30 ° = \frac{AB}{BC}\)→AB=BC·tan30°=10×\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)≈5.8 米。（此处故意设计错误后修正，强调边角对应关系）
正确方法：∠ACB 的对边是 AB，邻边是 BC，故用正切；若已知 AC（斜边），则用正弦：AB=AC sin30°。
应用场景 2：屋顶倾角计算
例题讲解 4：某屋顶的斜面 AB 长 5 米，水平宽度 AC=4 米，求屋顶倾角∠A 的余弦值和正弦值。
解答：BC=\(\sqrt{5^2 - 4^2}\)=3 米，\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\)，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\)。
幻灯片 10：课堂练习 1（基础计算）
题目 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=7，c=25，则 sinA=，cosA=，sinB=______。
题目 2：计算：sin30° + cos60°=，sin 45° + cos 45°=，\(\frac{\sin60 °}{\cos60 °}\)=______。
题目 3：若∠α 为锐角，cosα=\(\frac{1}{2}\)，则∠α=°，sinα=，tanα=______。
幻灯片 11：课堂练习 2（综合应用）
题目 4：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=\(\frac{2}{3}\)，BC=4，则 AB=，AC=，cosB=______。
题目 5：某梯子长 10 米，靠在墙上与地面成 60° 角，则梯子顶端距离地面______米，底部距离墙脚______米。
题目 6：已知∠A 为锐角，tanA=2，则 sinA=，cosA=（用分数表示）。
幻灯片 12：易错点辨析
易错点 1：正弦、余弦的边角对应错误
错误示例：求 sinA 时误用邻边与斜边的比。
纠正：牢记 “正弦对边比斜边，余弦邻边比斜边”，画图标注对边、邻边后再计算。
易错点 2：特殊角的值记忆混淆
错误示例：sin60° 记为\(\frac{1}{2}\)，cos30° 记为\(\frac{1}{2}\)。
纠正：结合 30°-60°-90° 三角形的边长关系（1:\(\sqrt{3}\):2）推导，30° 对边最短，故 sin30° 最小。
易错点 3：互余角关系应用错误
错误示例：认为 sin30° + cos30°=1。
纠正：互余角满足 sinA=cosB，而非同角的正弦加余弦等于 1，同角满足平方和为 1。
易错点 4：实际问题中选错三角函数
错误示例：已知斜边和锐角，求对边时误用余弦。
纠正：明确已知边和未知边的类型（对边、邻边、斜边），对边与斜边用正弦，邻边与斜边用余弦。
幻灯片 13：课堂总结
正弦和余弦的定义：
\(\sin A = \frac{ è }{ è }\)，\(\cos A = \frac{é è }{ è }\)，均为无单位的比值。
核心特征：
仅与锐角大小有关，与三角形边长无关。
0 < sinA < 1，0 < cosA < 1（锐角范围内）。
特殊角的值：
30°、45°、60° 的正弦和余弦值需准确记忆，可通过特殊三角形推导。
重要关系：
同角：\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)，\(\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\)。
互余角：\(\sin A = \cos(90 °-A)\)，\(\cos A = \sin(90 °-A)\)。
实际应用：用于计算直角三角形中的未知边，描述角的大小与边的关系。
幻灯片 14：课后作业布置
基础作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=20，cosA=\(\frac{3}{5}\)，求 AC 和 BC 的长。
（2）计算：2sin60° - cos30° + tan45°×cos60°。
拓展作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA:sinB=3:4，求∠A 的余弦值和正切值。
（2）如图，某船从港口 A 出发向正东方向航行，在 B 处测得灯塔 C 在北偏东 60° 方向，航行 10 海里至 C 处，测得灯塔在北偏东 30° 方向，求此时船与灯塔的距离（结果保留根号）。
实践作业：利用测角仪和卷尺测量校园内某棵树的高度，记录测量数据（水平距离、仰角），用正弦或余弦（结合正切）计算树高，并分析误差原因。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.1.2 正弦、余弦
第二十六章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.初步了解锐角三角函数的定义，理解在锐角的正弦
（sinA）以及余弦（cosA）的意义.
2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．
3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能
根据这些值说出对应的锐角度数.
思考 ：
1.在直角三角形中,如果一个锐角确定时,它的对边与邻边的
比值有什么规律
2.什么是正切 如何求一个角的正切
3.含30°,45°的直角三角形有哪些性质
4.你还记得30°、45°、60°角的正切值吗
学生活动 【做一做】
如图， ∠BAC 为任意给定的一个锐角，B1 ，B2 为射线AB上的任意两点，过点B1 ，B2 分别作AC的垂线B1C1，B2C2 ，垂足分别为C1，C2.试说明 与 , 与 分别相等.
A
B1
C1
B2
B
C2
C
所以Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2.
即= .
=
由于∠C1＝∠C2＝90°，∠A＝∠A，
A
B1
C1
B2
B
C2
C
正弦与余弦
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
概念生成
B
A
C
c
a
b
斜边
对边
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A .
∠A的对边
斜边
sin A = =
c
a
正弦与余弦
归纳：在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的邻边与斜边的比也是一个固定值．
概念生成
定义：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA.
∠A的邻边
cos A = =
c
b
斜边
B
A
C
c
a
b
斜边
邻边
学生活动 【大家谈谈】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
（1） ∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值？
（2）由a结论：1.∠B的正弦是, ∠B的余弦是
2.sin A<1,cos A<1,sin2A+cos2A=1
学生活动 【做一做】
思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
设图中每块三角尺较短的边长均为1，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求出这些角的锐角三角函数值。
30°、45°、60°角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
2.规律记忆法：1，2，3 ；3，2，1 ； 3，9，27 ；弦比2，切比3，分子根号别忘添.
30°，45°，60°角的正切值可以看成是， ， .
1.图形推导法：在含特殊角的直角三角形中利用三边的比例关系，结合锐角三角函数的定义可求出特殊角的三角函数值.
当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，
cosA≠cosB，
tanA≠tanB.
例1 求下列各式的值：
(1) 2 sin30°+3tan30°- tan45°
解： (1) 2 sin30°+3tan30°-tan45°
＝2+3－1
＝.
例1 求下列各式的值：
(2) (sin45°tan60°sin60°.
解：(2) (sin45°tan60°sin60°
＝(+
＝ +=2.
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
求sinA，cosA，tanA的值.
B
A
C
13
5
12
解：由勾股定理,得
AB=
==13.
所以sinA==，cosA=，
tanA==.
思考
(1)当锐角α的大小变化时,sin α,cos α,tan α是否变化
(2)对于锐角α的每一个确定的值,sin α,cos α和tan α是否有唯一的值和它对应
(3)sin α,cos α和tanα是不是α的函数
结论：
我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.
为方便起见,今后将(sin α)2,(cos α)2,(tan α)2分别记作sin2α,cos2α,tan2α.
如图，∠α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P（b,4），若sinα= ，则b=_______.
3
返回
C
1.
[2025唐山期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，BC＝6，则sin A等于(　　)
返回
2.
C
[2025邢台期中]如图，在5×5的正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均为格点，D为AC上一点，∠DBC＝90°，则sin C的值是(　　)
返回
3.
C
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为(　　)
A．6
B．12
4.
(2)△ABC的周长及面积．
返回
返回
5.
C
如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，则cos A＝(　　)
返回
6.
D
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cos B的值是(　　)
正弦与余弦
正弦
余弦
特殊角的三角函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑