资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：26.3 解直角三角形
副标题：运用边角关系破解直角三角形奥秘
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
深刻理解解直角三角形的概念，明确解直角三角形的含义与要求。
熟练掌握解直角三角形的依据，包括勾股定理、锐角互余关系及锐角三角函数关系。
能够根据已知条件，准确选择合适的方法解直角三角形，解决相关实际问题。
幻灯片 3：复习回顾
直角三角形元素：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则有边 a、b、c（c 为斜边），角∠A、∠B，且∠A + ∠B = 90°。
边角关系：
勾股定理：a + b = c 。
锐角三角函数：sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b；sinB = b/c，cosB = a/c，tanB = b/a。
提问引导：如果知道直角三角形中的一些元素，如何求出其他未知元素呢？
幻灯片 4：解直角三角形的概念
定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
说明：直角三角形的六个元素（三条边和三个角）中，直角是已知的，所以解直角三角形只需知道除直角外的两个元素（至少有一个是边），就能求出其余三个元素。
幻灯片 5：解直角三角形的依据
三边关系：勾股定理，即 a + b = c 。
锐角关系：∠A + ∠B = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
边角关系：锐角三角函数，如 sinA = 对边 / 斜边 = a/c，cosA = 邻边 / 斜边 = b/c，tanA = 对边 / 邻边 = a/b 等。
幻灯片 6：解直角三角形的类型及示例 1（已知两边）
类型一：已知两条直角边。
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，解这个直角三角形。
步骤：
求斜边 c：根据勾股定理 c = √(a + b ) = √(3 + 4 ) = 5。
求∠A：tanA = a/b = 3/4 = 0.75，用计算器得∠A ≈ 36.87°。
求∠B：∠B = 90° - ∠A ≈ 90° - 36.87° = 53.13°。
幻灯片 7：解直角三角形的类型及示例 2（已知两边）
类型二：已知一条直角边和斜边。
例 2：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 10，a = 6，解这个直角三角形。
步骤：
求另一直角边 b：由勾股定理 b = √(c - a ) = √(10 - 6 ) = 8。
求∠A：sinA = a/c = 6/10 = 0.6，用计算器得∠A ≈ 36.87°。
求∠B：∠B = 90° - ∠A ≈ 53.13°。
幻灯片 8：解直角三角形的类型及示例 3（已知一边一角）
类型三：已知一条直角边和一个锐角。
例 3：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，a = 5，解这个直角三角形。
步骤：
求∠B：∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°。
求斜边 c：因为 sinA = a/c，所以 c = a /sinA = 5 /sin30° = 5 / 0.5 = 10。
求另一直角边 b：tanB = b/a，所以 b = a tanB = 5 tan60° = 5√3 ≈ 8.66。
幻灯片 9：解直角三角形的类型及示例 4（已知一边一角）
类型四：已知斜边和一个锐角。
例 4：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，c = 20，∠B = 45°，解这个直角三角形。
步骤：
求∠A：∠A = 90° - ∠B = 90° - 45° = 45°。
求直角边 a：cosB = a/c，所以 a = c cosB = 20 cos45° = 20×(√2/2) = 10√2 ≈ 14.14。
求直角边 b：sinB = b/c，所以 b = c sinB = 20 sin45° = 10√2 ≈ 14.14。
幻灯片 10：练习 1
题目：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，根据下列条件解直角三角形。
(1) a = 5，∠A = 60°。
(2) b = 8，c = 16。
答案：
(1) ∠B = 30°，c = 10/√3 ≈ 5.77，b = 5/√3 ≈ 2.89。
(2) ∠A = 60°，∠B = 30°，a = 8√3 ≈ 13.86。
幻灯片 11：实际应用示例
例 5：如图，某建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 38m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 50°，观测旗杆底部 B 的仰角为 45°，求旗杆 AB 的高度（结果精确到 0.1m）。
步骤：
在 Rt△BCD 中，∠BDC = 45°，CD = 38m，因为 tan45° = BC/CD，所以 BC = CD tan45° = 38×1 = 38m。
在 Rt△ACD 中，∠ADC = 50°，CD = 38m，因为 tan50° = AC/CD，所以 AC = CD tan50° ≈ 38×1.1918 ≈ 45.2884m。
旗杆高度 AB = AC - BC ≈ 45.2884 - 38 ≈ 7.3m。
幻灯片 12：练习 2
题目：一艘轮船从港口 A 出发，沿北偏东 60° 方向航行，行驶至 B 处时，测得港口 A 在轮船的南偏西 30° 方向，此时轮船与港口 A 相距 20 海里，求轮船从 A 到 B 行驶的距离（结果保留根号）。
答案：20√3 海里。
幻灯片 13：课堂总结
知识点总结：
解直角三角形的概念：由已知元素求未知元素的过程。
解直角三角形的依据：勾股定理、锐角互余、锐角三角函数。
解直角三角形的类型：已知两边（两条直角边或一直角边一斜边）、已知一边一角（一直角边一锐角或斜边一锐角）。
方法归纳：根据已知条件选择合适的边角关系，准确计算，注重实际问题与数学模型的转化。
幻灯片 14：课后作业
基础作业：教材课后对应练习题，巩固解直角三角形的基本方法和步骤。
拓展作业：测量学校旗杆的高度，写出测量方案和计算过程，体会数学在实际生活中的应用。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.3 解直角三角形
第二十六章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.梳理、归纳直角三角形中三条边、两锐角、边角之间的关系.
2.经历选择恰当的直角三角形中三边、两锐角、边角之间的关系，解直角三角形的过程.
3.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力.
学习重点：理解解直角三角形的概念,掌握解直角三角形的方法.
学习难点：综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐
角三角函数解直角三角形.
如图,轮船在A处时,灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时,轮船位于灯塔的正南方,此时轮船距灯塔多少千米 (结果保留两位小数)
解：已知∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,
所以tan∠BAC= ,
所以，
BC=AC·tan∠BAC=5×tan55°≈5×1.4281≈7.14(km).
所以,
当轮船行驶到灯塔的正南方时,轮船距灯塔约7.14 km.
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3) 边角之间的关系：sinA=____，cosA=____，
tanA=_____。
如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C=90°。
c2
90°
一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？
解直角三角形
如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°.
(1)已知直角三角形中的一个元素(除直角外),
能求其他元素吗
在RtΔABC中,∠C=90°,若∠B=30°,你能求ΔABC的各边长吗
在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,你能求ΔABC的锐角和其他边长吗
(2)已知直角三角形中的两个元素(除直角外),有几种
可能的情况
有三种:一边和一锐角、两边、两锐角
(3)已知直角三角形的两个元素(除直角外),能否求其他元素
在RtΔABC中,∠C=90°,若∠B=30°,AC=2,求∠A的度数及BC, AB的长.
在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A、∠B的度数和BC的长.
在RtΔABC中,∠C=90°,若∠A=30°,∠B=60°,你能求出AC,BC,AB的长吗
(4)直角三角形中已知两个元素(除直角外),可以求其他元素的情况有几种 哪几种
解直角三角形的条件可分为两大类：
（1）已知一锐角、一边（一锐角、一直角边或一锐角、一斜边）；
（2）已知两边（一直角边、一斜边或两条直角边）.
【归纳总结】
在直角三角形中,除直角外,还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
例1：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A =34°，AC=6.解这个直角三角形.（结果精确到0.01）（sin34°≈0.60,cos34°≈0.56,tan34°≈0.67)
A
C
B
34°
6
A
C
B
34°
6
解：∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.
在Rt△ABC中
∴BC=AC·tanA=6×tan34°≈6×0.6745=4.047
指明是哪个直角三角形
指明是哪个三角函数
导公式、计算
sin34°≈0.60,
cos34°≈0.83,
tan34°≈0.67
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=15，BC=8.解这个直角三角形.（角度精确到1”）
A
C
B
8
15
A
C
B
8
15
解：在Rt△ABC中
∴∠A=28°
由边长可导出角度
∴∠B=90°-∠A=90°-28°=62°.
在Rt△ABC中，由勾股定理得
sin28°≈0.47,
cos28°≈0.88,
tan28°≈0.53
1.数形结合有利于分析问题；
2.选择关系式时，尽量使用原始数据，以防“累积误差”
和“一错再错”；
3.解直角三角形时，应求出所有未知元素.
注意事项：
归纳
解直角三角形的原则：
（1）有角先求角，无角先求边
（2）有斜用弦, 无斜用切；
宁乘毋除, 取原避中。
A
B
C
5
50
﹖
在△ABC中，AB= 12 ，AC=13，cos∠B= ，求BC的长.
图②
当△ABC为锐角三角形时，如图②，
BC=BD+CD=12+5=17.
图①
解：∵cos∠B= ，∴∠B=45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图①，
∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5
∴BC=BD-CD=12-5=7；
∴BC的长为7或17.
分类讨论
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B
1.
[2025唐山期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝6，则BC的长为(　　)
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2.
D
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3.
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4.
24
5.
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6.
B
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7.
如图，将直角边长为5 cm的等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是______ cm2.
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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