资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：26.4.1 仰角、俯角、方向角
副标题：解读生活中的角度测量语言
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
准确理解仰角、俯角和方向角的概念，能在图形中正确识别这些角。
学会将实际问题中的仰角、俯角、方向角转化为数学图形中的角，建立直角三角形模型。
运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角相关的实际问题，提升应用能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：人们仰望山顶的场景。
图片 2：从高处俯视地面景物的场景。
图片 3：轮船航行中使用罗盘确定方向的场景。
提问引导：在这些场景中，如何用数学角度来描述视线与水平线、目标方向与正方向的关系呢？这就需要学习仰角、俯角和方向角的知识。
幻灯片 4：仰角和俯角的概念
仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角。
图示：绘制一个简单图形，标注出观测点、目标点、水平线和仰角。
俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角。
图示：绘制对应图形，标注观测点、目标点、水平线和俯角。
注意：仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，且均为锐角；在解决问题时，需明确观测点和目标点的位置关系。
幻灯片 5：仰角和俯角应用示例 1
例 1：如图，为测量某建筑物的高度 AB，在距离建筑物底部 B 点 30m 的 C 处，测得建筑物顶部 A 的仰角为 60°，求建筑物 AB 的高度（结果保留根号）。
分析：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠ACB = 60°，BC = 30m，求 AB 的长度。
解答步骤：
因为 tan∠ACB = AB/BC，所以 AB = BC tan60° = 30×√3 = 30√3 m。
结论：建筑物 AB 的高度为 30√3 m。
幻灯片 6：仰角和俯角应用示例 2
例 2：一架飞机在离地面 1500m 的高空飞行，从飞机上测得地面控制点的俯角为 60°，求此时飞机到控制点的水平距离（结果保留根号）。
分析：设飞机位置为 A，地面控制点为 B，过 A 作水平线交 BC（竖直方向）于点 C，则 AC 为水平距离，∠BAC = 60°，BC = 1500m，在 Rt△ABC 中求 AC。
解答步骤：
因为 tan∠BAC = BC/AC，所以 AC = BC /tan60° = 1500 / √3 = 500√3 m。
结论：飞机到控制点的水平距离为 500√3 m。
幻灯片 7：练习 1（仰角和俯角）
题目：
(1) 从地面上的一点测得塔顶的仰角为 45°，向塔前进 100m 后，测得塔顶的仰角为 60°，求塔高（结果保留根号）。
(2) 从山顶处测得地面上一建筑物顶端的俯角为 30°，建筑物底部的俯角为 45°，已知建筑物高 20m，求山高（结果保留根号）。
答案：
(1) 50(3 + √3) m。
(2) 10(3 + √3) m。
幻灯片 8：方向角的概念
定义：方向角是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）多少度。
图示：绘制方位图，标注北偏东 30°、南偏西 45° 等方向角。
示例说明：
北偏东 30°：从正北方向向东旋转 30° 所指的方向。
南偏西 20°：从正南方向向西旋转 20° 所指的方向。
特别地，正东方向可表示为北偏东 90° 或南偏东 90°，正西方向可表示为北偏西 90° 或南偏西 90°，正北为 0°，正南为 180°。
幻灯片 9：方向角应用示例 1
例 3：如图，一艘渔船从港口 O 出发，沿北偏东 30° 方向行驶了 40 海里到达 A 处，然后再沿南偏东 60° 方向行驶了 30 海里到达 B 处，求此时渔船相对于港口 O 的位置。
分析：根据题意画出图形，连接 OB，在△AOB 中，OA = 40 海里，AB = 30 海里，通过角度关系判断三角形形状或用余弦定理求解。
解答步骤：
由方向角可知∠AOB = 30° + (90° - 60°) = 60°。
根据余弦定理 OB = OA + AB - 2 OA AB cos60° = 40 + 30 - 2×40×30×0.5 = 1300，所以 OB = 10√13 海里。
再通过正弦定理求∠AOB 的角度，确定方向为北偏东 30° + ∠AOB 的相关角度（具体计算略），最终得出渔船在港口 O 的北偏东约 53.13° 方向，距离约 36.06 海里处。
幻灯片 10：方向角应用示例 2
例 4：在 A 处测得某岛 C 在北偏东 60° 方向，前进 1000m 后到达 B 处，测得该岛 C 在北偏东 30° 方向，求 A 处到该岛 C 的距离。
分析：画出图形，∠CAB = 30°，∠ABC = 120°，AB = 1000m，在△ABC 中求 AC。
解答步骤：
因为∠ACB = 180° - 30° - 120° = 30°，所以∠CAB = ∠ACB，故 BC = AB = 1000m。
根据余弦定理 AC = AB + BC - 2 AB BC cos120° = 1000 + 1000 - 2×1000×1000×(-0.5) = 3000000，所以 AC = 1000√3 m。
结论：A 处到该岛 C 的距离为 1000√3 m。
幻灯片 11：练习 2（方向角）
题目：
(1) 一艘轮船从港口出发，沿南偏东 30° 方向行驶了 120km，此时它在港口的什么方向？距离港口多远？
(2) 甲、乙两船同时从同一港口出发，甲船沿北偏东 45° 方向行驶，乙船沿南偏东 30° 方向行驶，2 小时后甲船到达 A 处，乙船到达 B 处，已知甲船速度为每小时 20km，乙船速度为每小时 15km，求 A、B 两处的距离（结果保留根号）。
答案：
(1) 南偏东 30° 方向，120km 处。
(2) 5√137 km。
幻灯片 12：综合应用示例
例 5：如图，某观测站在山顶 C 处，测得地面上 A、B 两点的俯角分别为 30° 和 45°，若 A、B 两点之间的距离为 200m，且 A、B 两点在同一水平面上，求山高 CD（D 为山脚，C、D 在同一直线上）。
分析：设山高 CD = x m，在 Rt△ACD 和 Rt△BCD 中，分别表示出 AD 和 BD 的长度，再根据 AB = AD - BD = 200m 列方程求解。
解答步骤：
在 Rt△ACD 中，∠CAD = 30°，所以 AD = CD /tan30° = x√3 m。
在 Rt△BCD 中，∠CBD = 45°，所以 BD = CD /tan45° = x m。
因为 AB = AD - BD，所以 x√3 - x = 200，解得 x = 200 / (√3 - 1) = 100 (√3 + 1) m。
结论：山高 CD 为 100 (√3 + 1) m。
幻灯片 13：课堂总结
概念梳理：
仰角：视线在水平线上方，与水平线的锐角。
俯角：视线在水平线下方，与水平线的锐角。
方向角：以正北或正南为起始方向，旋转到目标方向的锐角，表达为北（南）偏东（西）多少度。
解题步骤：
审题，明确问题中的仰角、俯角或方向角。
画出示意图，将实际问题转化为数学图形，标注已知条件和所求量。
构造直角三角形，利用解直角三角形的知识（勾股定理、三角函数）求解。
检验结果是否符合实际意义，写出答案。
幻灯片 14：课后作业
基础作业：教材中与仰角、俯角、方向角相关的练习题，巩固概念和基本应用。
拓展作业：
观察生活中的仰角、俯角或方向角实例，记录下来并尝试用所学知识进行简单计算。
设计一个利用方向角确定位置的小游戏方案，与同学交流分享。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.4.1 仰角、俯角、方向角
第二十六章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
2.经历把实际问题转化为数学问题的过程，培养学生解决实际问题的能力。进一步了解转化与数形结合的数学思想。在解决问题的过程中体会“数形结合”的思想方法.
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系： .
（2）两锐角之间的关系： .
a2＋ b2= c2 （勾股定理）
∠A＋∠B＝90°
A
B
a
b
c
C
（3）边角之间的关系：
A
B
a
b
c
C
.
我用一个测角仪（出示图片）和一个卷尺测得∠C为50°和所站位置到旗杆的距离为4.5米，能否得到旗杆的高度？你知道怎样得到吗？
学生活动
如果观察旗杆的底座，俯角为 18°，此时又怎么求得旗杆顶部到地面的距离AB？
B
水平线
视线
视线
︶
︶
仰角
俯角
铅 垂 线
仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角.
眼睛
巧记：上仰下俯
仰角和俯角的概念
俯角：
在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角.
例1 如图所示,一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40 min后,渔船行驶到B处,此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心,10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.如果这艘渔船继续向东航行,有没有进入危险区的可能
解: 如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则∠CBD=60°,
在Rt△BCD中,tan∠CBD=tan 60°= .
在Rt△ACD中，∠CAD=30，
所以 ,
即 .
∵ ，
∴ .
解得x= 10 . 因为10＜10
所以这艘渔船继续向东航行，不会进入危险区.
若设CD=x,则BD==
变式：
如果上述图中∠FBC变为45°,那么这个问题又如何解决
归纳
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
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C
1.
如图，AC，BD表示两栋楼房，则下列说法正确的是(　　)
A．两楼之间的距离是AD
B．从点C看点D的仰角是∠ADC
C．从点A看点D的仰角是∠DAB
D．从点D看点A的俯角是∠ADB
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2.
[2025石家庄期中]如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为150 m，则这栋楼的高度为________m.
3.
证明：∵∠A＝30°，
∠DBC＝∠A＋∠ADB＝60°，
∴∠ADB＝30°＝∠A，∴AB＝BD.
数学活动小组到某景点测量标志性建筑古塔CD的高度，如图，他们在地面上A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，点A，B，C在同一直线上．(身高忽略不计)
(1)求证：AB＝BD；
(2)求塔CD的高．(结果保留根号)
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4.
B
[教材P117例1变式]如图，佳佳在点A测得点B在北偏东62°方向上，在点C测得点B在北偏东34°方向上，若AC＝100，CD为AC的延长线，则点B到AD的距离为(　　)
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5.
30
80
6.
如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，
AB＝2 km，从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东30°的方向，求船C离海岸线l的距离(即CD的长)．(结果不取近似值)
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7.
B
如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角α，β分别为60°和30°，这时点F相对于点E升高了3 cm.该摆绳CD的长度为(　　)
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8.
“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同的速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM＝DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC＝30，
BD＝20，那么AB＝____________．
利用仰、俯角及
方向角解直角三角形
仰角、俯角及方向角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角及方向角问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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