资源简介

(共20张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：26.4.2 与坡度、坡角有关的问题
副标题：探索斜坡中的数学奥秘
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
清晰理解坡度和坡角的概念，掌握两者之间的关系。
能够将与坡度、坡角相关的实际问题转化为数学模型，运用解直角三角形的知识进行求解。
提升运用数学知识解决工程、建筑等实际生活中斜坡问题的能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：山坡上的公路。
图片 2：建筑工地上的斜坡。
图片 3：水库大坝的斜坡。
提问引导：在这些场景中，斜坡的倾斜程度各不相同，如何用数学语言来描述斜坡的倾斜程度呢？这就需要学习坡度和坡角的知识。
幻灯片 4：坡度和坡角的概念
坡角：斜坡与水平面的夹角叫做坡角，通常用 α 表示。
图示：绘制一个斜坡图形，标注出坡角 α。
坡度（坡比）：斜坡的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比叫做坡度，通常用 i 表示，即 i = h : l 或 i = h /l。
图示：在同一斜坡图形中，标注出垂直高度 h 和水平宽度 l，明确坡度的表示方式。
坡度与坡角的关系：坡度 i 等于坡角 α 的正切值，即 i = tanα。
说明：坡度越大，坡角 α 越大，斜坡越陡；反之，坡度越小，坡角 α 越小，斜坡越平缓。
幻灯片 5：坡度和坡角应用示例 1
例 1：一段斜坡的坡角为 30°，求这段斜坡的坡度。若这段斜坡的垂直高度为 5m，求斜坡的水平宽度和斜坡长度（结果保留根号）。
分析：已知坡角 α = 30°，根据坡度与坡角的关系可求坡度；再结合垂直高度 h = 5m，利用坡度的定义和勾股定理求水平宽度 l 和斜坡长度。
解答步骤：
坡度 i = tan30° = √3 / 3，即 i = 1 : √3。
因为 i = h /l，所以 l = h /i = 5 / (√3 / 3) = 5√3 m。
斜坡长度 = √(h + l ) = √(5 + (5√3) ) = √(25 + 75) = √100 = 10 m。
结论：这段斜坡的坡度为 1 : √3，水平宽度为 5√3 m，斜坡长度为 10 m。
幻灯片 6：坡度和坡角应用示例 2
例 2：某水库大坝的斜坡坡度为 i = 1 : 2.4，坝高为 10m，求大坝斜坡的坡角 α（精确到 0.1°）和斜坡长度（精确到 0.1m）。
分析：已知坡度 i = 1 : 2.4，即 h : l = 1 : 2.4，坝高 h = 10m，先求出水平宽度 l，再求坡角 α 和斜坡长度。
解答步骤：
由 i = h /l = 1 / 2.4，可得 l = 2.4h = 2.4×10 = 24 m。
tanα = i = 1 / 2.4 ≈ 0.4167，用计算器得 α ≈ 22.6°。
斜坡长度 = √(h + l ) = √(10 + 24 ) = √(100 + 576) = √676 = 26.0 m。
结论：大坝斜坡的坡角约为 22.6°，斜坡长度约为 26.0 m。
幻灯片 7：练习 1（坡度和坡角基础应用）
题目：
(1) 一段斜坡的坡度为 1 : √3，求这段斜坡的坡角。若斜坡长度为 20m，求斜坡的垂直高度和水平宽度。
(2) 某斜坡的坡角为 45°，斜坡的水平宽度为 8m，求斜坡的垂直高度和坡度。
答案：
(1) 坡角为 30°，垂直高度为 10m，水平宽度为 10√3 m。
(2) 垂直高度为 8m，坡度为 1 : 1。
幻灯片 8：复杂斜坡问题示例 1
例 3：如图，一山坡的坡度为 i = 1 : 2，某人从山脚 A 处沿斜坡向上走了 100m 到达 B 处，求此人上升的高度和水平前进的距离（结果保留根号）。
分析：设上升的高度为 h m，水平前进的距离为 l m，根据坡度 i = h : l = 1 : 2，可得 l = 2h，再结合斜坡长度 AB = 100m，利用勾股定理求解。
解答步骤：
由勾股定理得 h + l = AB ，即 h + (2h) = 100 ，5h = 10000，h = 2000，h = 20√5 m。
l = 2h = 40√5 m。
结论：此人上升的高度为 20√5 m，水平前进的距离为 40√5 m。
幻灯片 9：复杂斜坡问题示例 2
例 4：如图，某建筑工地上有一个两面斜坡的土坡，两面斜坡的坡度分别为 i = 1 : 1 和 i = 1 : √3，斜坡的水平总宽度为 10m，求土坡的总高度和两面斜坡的长度之和（结果保留根号）。
分析：设土坡总高度为 h m，根据坡度分别表示出两面斜坡的水平宽度，再结合水平总宽度为 10m 列方程求出 h，进而求出两面斜坡的长度并求和。
解答步骤：
对于坡度 i = 1 : 1 的斜坡，其水平宽度 l = h / (1/1) = h m。
对于坡度 i = 1 : √3 的斜坡，其水平宽度 l = h / (1/√3) = √3 h m。
由 l + l = 10，得 h + √3 h = 10，h (1 + √3) = 10，h = 10 / (1 + √3) = 5 (√3 - 1) m。
坡度 i 对应的斜坡长度 = √(h + l ) = √(h + h ) = √2 h = 5√2 (√3 - 1) m。
坡度 i 对应的斜坡长度 = √(h + l ) = √(h + (√3 h) ) = √(h + 3h ) = 2h = 10 (√3 - 1) m。
两面斜坡长度之和 = 5√2 (√3 - 1) + 10 (√3 - 1) = (5√2 + 10)(√3 - 1) m（可化简为具体数值形式，此处保留因式分解形式）。
结论：土坡的总高度为 5 (√3 - 1) m，两面斜坡的长度之和为 (5√2 + 10)(√3 - 1) m。
幻灯片 10：练习 2（复杂斜坡问题）
题目：
(1) 一段山路的坡度为 i = 1 : 3，某人沿山路向上走了 100m，求他上升的高度（精确到 0.1m）。
(2) 如图，一个梯形土坝的坝顶宽 AD = 4m，坝高为 5m，迎水坡 AB 的坡度为 1 : 2，背水坡 CD 的坡度为 1 : 1，求坝底 BC 的长度和坝的周长（精确到 0.1m）。
答案：
(1) 约 31.6m。
(2) 坝底 BC 的长度约为 19.0m，坝的周长约为 32.2m。
幻灯片 11：综合应用示例
例 5：如图，某水利工程中，一拦水坝的横断面为梯形 ABCD，其中 AD∥BC，坝顶 AD = 6m，坝高为 8m，迎水坡 AB 的坡角为 30°，背水坡 CD 的坡度为 i = 1 : 2，求坝底 BC 的长度和迎水坡 AB 的长度（结果保留根号）。
分析：过 A、D 分别作 AE⊥BC 于 E，DF⊥BC 于 F，得到矩形 AEFD 和直角三角形 ABE、DCF，利用坡角和坡度分别求出 BE 和 FC 的长度，进而求出 BC 的长度；再根据直角三角形 ABE 求出 AB 的长度。
解答步骤：
AE = DF = 8m，EF = AD = 6m。
在 Rt△ABE 中，∠B = 30°，所以 BE = AE /tan30° = 8 / (√3 / 3) = 8√3 m，AB = AE /sin30° = 8 / 0.5 = 16 m。
在 Rt△DCF 中，i = DF / FC = 1 : 2，所以 FC = 2DF = 2×8 = 16 m。
BC = BE + EF + FC = 8√3 + 6 + 16 = (22 + 8√3) m。
结论：坝底 BC 的长度为 (22 + 8√3) m，迎水坡 AB 的长度为 16 m。
幻灯片 12：课堂总结
概念梳理：
坡角：斜坡与水平面的夹角，用 α 表示。
坡度（坡比）：斜坡垂直高度 h 与水平宽度 l 的比，i = h : l 或 i = h /l，且 i = tanα。
解题步骤：
审题，明确问题中的坡度、坡角等已知条件和所求量。
画出示意图，构造直角三角形（对于梯形等图形可通过作高转化为直角三角形和矩形）。
利用坡度与坡角的关系、勾股定理、三角函数等知识建立等量关系。
求解并检验结果，写出答案。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：教材中与坡度、坡角相关的练习题，巩固概念和基本应用。
拓展作业：
观察身边的斜坡（如楼梯、山坡、堤坝等），测量其相关数据，计算坡度和坡角。
设计一个小型斜坡模型，要求坡度为 1 : 2.5，计算出斜坡的坡角和在给定高度下的水平宽度及斜坡长度。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.4.2 与坡度、坡角有关的问题
第二十六章 解直角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.使学生进一步掌握锐角三角函数的简单应用，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的问题的实际问题.
2.经历把实际问题转化为数学问题的过程，培养学生解决实际问题的能力。进一步了解转化与数形结合的数学思想。在解决问题的过程中体会“数形结合”的思想方法.
坡度、坡角
（1）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做
坡面的坡度（或坡比）
（2）坡角：坡面与水平面所成的夹角叫做坡角.
.
（3）坡度与坡角
坡角越大，斜坡越陡；坡角越小，斜坡越缓.
坡角越大，越大，坡度越大.
特别注意：坡度不是一个度数，而是一个比值，是坡角的正切值.
例1：如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中，BC∥AD，∠A =∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角（结果精确到1' )
解:如图所示,作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.
在四边形BEFC中,
∵BC∥AD,∠AEB=∠DFC=90°,
∴四边形BEFC为矩形.
∴BC=EF,BE=CF.
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
∵∠A=∠D,∠AEB=∠DFC,BE=CF,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF.
∴AE=DF.
在Rt△ABE中,
BE=4,
∴α≈38°39',AE=5.
∴AD=AE+EF+FD=BC+2AE=10+2×5=20.
即路基下底的宽为20 m,坡角约为38°39'.
练习1：水库大坝的横断面是四边形ABCD，DC∥AB，坝顶宽CD=3m,斜坡AD=16m,坝高为8m,斜坡BC的坡度为 ，求斜坡AD的坡角α和坝底的宽AB（结果精确到0.01m）.
30° 40.86m
练习2：如图，在山坡上植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为5m．现测得斜坡的坡角为21°．求相邻两树间的坡面距离．（结果精确到0.1m）
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝21°，AC＝5m，
∵cos∠BAC＝ ，
∴AB＝ ＝ ≈5.4（m），
答：相邻两树间的坡面距离约为5.4m．
返回
A
1.
返回
2.
A
返回
3.
B
一小球从斜坡的顶端沿斜坡向下滚落到斜坡底端，运动了100米，下落的垂直高度为50米，则该斜坡的坡度为(　　)
返回
4.
12
5.
(1)求∠DAB的度数．
(2)在改造背水坡的施工过程中，此房屋是否需要拆除？请说明理由．
返回
返回
6.
A
解直角三角形的应用
坡度问题
坡度(或坡比)
坡角
有关坡度与坡角的基本图形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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