资源简介

(共22张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：27.2.2 反比例函数的性质
副标题：深入剖析双曲线的变化规律
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
掌握反比例函数的增减性，能根据 k 的符号判断函数在不同象限内的变化趋势。
理解反比例函数中比例系数 k 的几何意义，会运用该意义解决相关问题。
能综合运用反比例函数的图像和性质解决简单的数学问题。
幻灯片 3：回顾旧知
反比例函数的表达式：y = k/x（k 为常数，k≠0），也可表示为 y = kx 或 xy = k。
图像特征：
图像是双曲线，k > 0 时位于第一、三象限；k < 0 时位于第二、四象限。
图像关于原点对称，关于直线 y = x 和 y = -x 对称，不与坐标轴相交。
引入新课：本节课将通过图像探究反比例函数的性质，包括增减性和 k 的几何意义。
幻灯片 4：反比例函数的增减性（k > 0 时）
以 y = 6/x 为例：
观察图像：在第一象限内，当 x 的值从 1 增大到 6 时，对应的 y 值从 6 减小到 1；在第三象限内，当 x 的值从 - 6 增大到 - 1 时，对应的 y 值从 - 1 减小到 - 6。
结论：当 k > 0 时，反比例函数 y = k/x 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。
注意：这里强调 “在每一个象限内”，因为 x 不能为 0，函数图像被坐标轴分成两支，增减性是针对同一支曲线而言的。
幻灯片 5：反比例函数的增减性（k < 0 时）
以 y = -6/x 为例：
观察图像：在第二象限内，当 x 的值从 - 6 增大到 - 1 时，对应的 y 值从 1 增大到 6；在第四象限内，当 x 的值从 1 增大到 6 时，对应的 y 值从 - 6 增大到 - 1。
结论：当 k < 0 时，反比例函数 y = k/x 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。
对比总结：反比例函数的增减性由 k 的符号决定，k > 0 时在各象限内 y 随 x 增大而减小；k < 0 时在各象限内 y 随 x 增大而增大。
幻灯片 6：增减性应用示例 1
例 1：已知反比例函数 y = (m - 3)/x，当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。
分析：当 x > 0 时 y 随 x 增大而减小，说明函数在第一象限内是减函数，因此 k > 0。
解答：m - 3 > 0，解得 m > 3。
例 2：在反比例函数 y = -2/x 的图像上有两点 A (x , y ) 和 B (x , y )，若 x < x < 0，比较 y 和 y 的大小。
分析：k = -2 < 0，函数在第三象限内 y 随 x 的增大而增大，因为 x < x < 0，所以 y < y 。
结论：y < y 。
幻灯片 7：练习 1（增减性应用）
题目：
(1) 已知反比例函数 y = k/x 的图像在第二、四象限，且在每一个象限内 y 随 x 的增大而______。
(2) 若点 A (-2, y )、B (-1, y )、C (3, y ) 都在反比例函数 y = 4/x 的图像上，则 y 、y 、y 的大小关系是（ ）
A. y < y < y B. y < y < y C. y < y < y D. y < y < y
答案：
(1) 增大。
(2) B。
幻灯片 8：比例系数 k 的几何意义
探究：在反比例函数 y = k/x 的图像上任意取一点 P (x, y)，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，求矩形 OAPB 的面积。
计算：矩形面积 = OA × OB = |x| × |y| = |xy|，因为 y = k/x，所以 xy = k，因此矩形面积 = |k|。
结论：过反比例函数 y = k/x 图像上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积等于 | k|。
延伸：该点与原点的连线和两条垂线围成的直角三角形面积 = 1/2 |k|。
幻灯片 9：k 的几何意义应用示例
例 3：如图，点 A 是反比例函数 y = k/x 图像上的一点，过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，若△AOB 的面积为 3，求 k 的值。
分析：△AOB 的面积 = 1/2 |k| = 3，所以 | k| = 6，即 k = ±6。
结合图像所在象限（若图像在第一、三象限则 k = 6；在第二、四象限则 k = -6）。
例 4：如图，反比例函数 y = 8/x 的图像上有一点 C，过点 C 作 CD⊥x 轴于 D，CE⊥y 轴于 E，求四边形 CDOE 的面积。
分析：四边形 CDOE 是矩形，面积 = |k| = 8。
结论：面积为 8。
幻灯片 10：练习 2（k 的几何意义应用）
题目：
(1) 反比例函数 y = k/x 的图像上一点 P 到 x 轴的距离为 2，到 y 轴的距离为 3，则 k 的值为______。
(2) 如图，在反比例函数 y = -6/x 的图像上有一点 M，过 M 作 MN⊥y 轴于 N，连接 OM，则△OMN 的面积为______。
答案：
(1) ±6。
(2) 3。
幻灯片 11：综合应用示例
例 5：已知反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (2, -3)。
(1) 求 k 的值，并判断当 x > 0 时，y 随 x 的增大而如何变化。
(2) 若该函数图像上另一点 A (a, b) 满足 a + b = 5，求△AOB（O 为原点）的面积。
解答步骤：
(1) 将 (2, -3) 代入 y = k/x 得 - 3 = k/2，k = -6。因为 k < 0，所以当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大。
(2) 由题意得 b = -6/a，又 a + b = 5，即 a - 6/a = 5，a - 5a - 6 = 0，解得 a = 6 或 a = -1。当 a = 6 时，b = -1；当 a = -1 时，b = 6。△AOB 的面积 = 1/2 |a b| = 1/2 |k| = 3。
幻灯片 12：课堂总结
增减性：
k > 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。
k < 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。
k 的几何意义：
过图像上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为 | k|。
对应的直角三角形面积为 1/2 |k|。
注意事项：讨论增减性时必须强调 “在每一个象限内”，不能跨象限比较。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：教材中与反比例函数性质相关的练习题，巩固增减性和 k 的几何意义的应用。
拓展作业：
已知反比例函数 y = (k - 1)/x，当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，求 k 的取值范围，并比较当 x = -1 和 x = -2 时对应的 y 值大小。
如图，反比例函数 y = k/x 的图像与矩形 ABCD 的边 AB、BC 分别交于点 E、F，且 AE = EB，CF = FB，若四边形 OEBF 的面积为 2，求 k 的值。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.2 反比例函数的性质
第二十七章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.通过反比例函数的表达式及图像的确立，经历探索反比例函数性质的过程，理解并掌握反比例函数的性质。
2.通过探索反比例函数性质的过程，培养观察、分析、归纳和概括的能力，提高从图像中获取信息的能力。
学习重点：归纳概括出图像位置及y随x的变化规律与
常数k的关系
学习难点：对反比例函数性质全面、深入的理解以及
应用性质解决实际问题
学生活动一 【一起探究】
学生活动二 【一起探究】
通过完成下面题目，体会反比例函数的增减性，并总结函数中变量比较大小的方法
学生活动三
学生活动四
返回
B
1.
返回
2.
A
返回
3.
D
A．图像经过点(4，－2)
B．图像分别在第二、第四象限
C．当y≤1时，x≤－8或x>0
D．在每个象限内，y随x的增大而减小
返回
4.
C
返回
5.
四
返回
6.
1(答案不唯一)
返回
7.
已知反比例函数y＝(m－2)xm －m－7.
(1)若它的图像位于第一、三象限，求m的值；
(2)若在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，求m的值．
返回
8.
A
返回
9.
＝
返回
10.
D
返回
11.
D
返回
12.
A
CD
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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