资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：27.2.3 反比例函数中 k 的几何意义
副标题：解密双曲线与面积的关系
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
深入理解反比例函数 y = k/x 中比例系数 k 的几何意义，明确其与图像上点构成图形面积的关系。
熟练运用 k 的几何意义解决与反比例函数图像相关的面积计算问题。
能结合图像对称性和 k 的几何意义，解决综合性的数学问题。
幻灯片 3：回顾引入
反比例函数表达式：y = k/x（k≠0），其中 xy = k。
上节课初探：过反比例函数图像上一点作 x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为 | k|，直角三角形面积为 1/2|k|。
引入新课：本节课将系统探究 k 的几何意义在不同图形中的体现及应用。
幻灯片 4：k 的几何意义基础推导
情境设置：设点 P (x, y) 是反比例函数 y = k/x 图像上的任意一点。
推导过程：
过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B。
则 OA = |x|，OB = |y|。
矩形 OAPB 的面积 S = OA×OB = |x|×|y| = |xy|。
因为点 P 在函数图像上，所以 xy = k，因此 S = |k|。
结论：过反比例函数 y = k/x 图像上任意一点作 x 轴、y 轴的垂线，所围成的矩形面积等于 | k|。
幻灯片 5：k 的几何意义延伸（三角形面积）
直角三角形面积：
在上述矩形 OAPB 中，△OAP 的面积 = 1/2×OA×PA = 1/2×|x|×|y| = 1/2|k|。
△OBP 的面积 = 1/2×OB×PB = 1/2×|y|×|x| = 1/2|k|。
结论：过反比例函数图像上任意一点与原点连线，该点向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积等于 1/2|k|。
幻灯片 6：基础应用示例 1（矩形面积）
例 1：如图，点 A 是反比例函数 y = k/x 图像上的一点，过点 A 作 AB⊥x 轴于 B，AC⊥y 轴于 C，若矩形 ABOC 的面积为 4，求 k 的值。
分析：矩形面积 = |k| = 4，所以 k = ±4。
结合图像所在象限判断符号：若在第一、三象限，k = 4；若在第二、四象限，k = -4。
例 2：反比例函数 y = 6/x 的图像上有一点 D，过 D 作 DE⊥x 轴于 E，DF⊥y 轴于 F，求四边形 DEOF 的面积。
分析：四边形 DEOF 是矩形，面积 = |k| = 6。
结论：面积为 6。
幻灯片 7：基础应用示例 2（三角形面积）
例 3：如图，点 M 在反比例函数 y = -8/x 的图像上，过 M 作 MN⊥y 轴于 N，连接 OM，求△OMN 的面积。
分析：△OMN 的面积 = 1/2|k| = 1/2×| -8 | = 4。
结论：面积为 4。
例 4：若△OPQ 的面积为 3，且点 P 在反比例函数 y = k/x 的图像上，PQ⊥x 轴于 Q，求 k 的值。
分析：1/2|k| = 3，|k| = 6，所以 k = ±6。
幻灯片 8：练习 1（基础面积计算）
题目：
(1) 点 P 在反比例函数 y = k/x 的图像上，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，若△POQ 的面积为 5，则 k = ______。
(2) 反比例函数 y = k/x 的图像经过点 (2, -5)，过该点作 x 轴、y 轴的垂线，所围成的矩形面积为______。
答案：
(1) ±10。
(2) 10。
幻灯片 9：复杂图形应用示例 1（多三角形面积）
例 5：如图，反比例函数 y = 4/x 的图像与直线 y = x 交于 A、B 两点，过 A 作 AC⊥x 轴于 C，求△ABC 的面积。
解答步骤：
联立方程得 4/x = x，x = 4，x = ±2，所以 A (2, 2)，B (-2, -2)。
AC⊥x 轴，C 点坐标为 (2, 0)。
△ABC 的面积 = △AOC 的面积 + △BOC 的面积 = 1/2×2×2 + 1/2×2×2 = 2 + 2 = 4。
另解：利用对称性，△ABC 的面积 = 2×（2×2）= 4（结合图像特征简化计算）。
幻灯片 10：复杂图形应用示例 2（四边形面积）
例 6：如图，点 A、B 在反比例函数 y = k/x（k > 0）的图像上，过 A 作 AC⊥x 轴于 C，过 B 作 BD⊥x 轴于 D，若 OC = 1，OD = 3，四边形 ACDB 的面积为 4，求 k 的值。
解答步骤：
A 点坐标为 (1, k)，B 点坐标为 (3, k/3)。
四边形 ACDB 是梯形，面积 = 1/2×(AC + BD)×CD = 1/2×(k + k/3)×(3 - 1) = 1/2×(4k/3)×2 = 4k/3。
由 4k/3 = 4，解得 k = 3。
幻灯片 11：练习 2（复杂图形面积）
题目：
(1) 如图，反比例函数 y = 6/x 的图像上有两点 A (1, 6) 和 B (3, 2)，过 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C、D，求四边形 ACDB 的面积。
(2) 反比例函数 y = k/x 的图像上有两点 P、Q，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，过 Q 作 QF⊥y 轴于 F，若 PE = 2，QF = 3，△POE 与△QOF 的面积之和为 5，求 k 的值。
答案：
(1) 8。
(2) ±2 或 ±6（需分情况讨论 k 的正负）。
幻灯片 12：k 的几何意义与图像对称性综合应用
例 7：如图，反比例函数 y = k/x 的图像关于原点对称，点 A (x , y ) 和点 B (-x , -y ) 都在图像上，过 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足为 C、D，求证：四边形 ACBD 的面积为 2|k|。
证明：
AC = |y |，BD = | - y | = |y |，CD = |x - (-x )| = 2|x |。
四边形 ACBD 的面积 = 1/2×(AC + BD)×CD = 1/2×(|y | + |y |)×2|x | = 1/2×2|y |×2|x | = 2|x y | = 2|k|。
幻灯片 13：课堂总结
核心结论：
矩形面积：过图像上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积 = |k|。
直角三角形面积：该点与原点连线形成的直角三角形面积 = 1/2|k|。
解题技巧：
明确图形构成，识别与 k 相关的基本图形（矩形、直角三角形）。
结合坐标运算和面积公式，将复杂图形转化为基本图形面积的和或差。
注意 k 的符号对图像位置的影响，但面积计算中需用绝对值。
幻灯片 14：课后作业
基础作业：教材中与 k 的几何意义相关的练习题，巩固基本面积计算。
拓展作业：
如图，反比例函数 y = k/x 的图像与△AOB 的边 AB、AO 分别交于点 C、D，且 AC = CB，AD = DO，若△COD 的面积为 1，求 k 的值。
探究：在反比例函数图像上取两点，连接两点与原点构成三角形，该三角形的面积与 k 有何关系？举例说明。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.3 反比例函数中k的几何意义
第二十七章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．理解和掌握反比例函数（k≠0）中k的几何意义；
2．k的几何意义的应用.
学习重点：反比例函数（k≠0）中k的几何意义的探
究和运用
学习难点：k的几何意义的应用
学生活动一 【一起探究】
反比例函数的图像性质有哪些？
学生活动二 【一起探究】
学生活动三
学生活动四
学生活动四
返回
10.
D
返回
11.
D
返回
12.
A
CD
13.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当y1>y2时，请结合图像直接写出自变量x的取值范围；
(3)求△AOB的面积．
返回
14.
返回
本节课我们学习了什么？
有哪些需要注意的地方？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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