资源简介

(共20张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：27.3 反比例函数的应用
副标题：用数学模型解决实际问题
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
能够从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型。
运用反比例函数的图像和性质分析实际问题中的数量关系，解决相关问题。
体会反比例函数在实际生活中的广泛应用，提升数学建模和问题解决能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：工厂生产中，总产量一定时，工人数量与工作时间的关系。
图片 2：路程一定时，汽车行驶速度与时间的关系。
图片 3：矩形面积一定时，长与宽的关系。
提问引导：这些实际问题中的变量之间存在怎样的函数关系？如何用反比例函数知识解决这些问题？
幻灯片 4：反比例函数应用的一般步骤
分析问题：找出问题中的常量和变量，确定变量之间的关系是否为反比例关系。
建立模型：设出函数表达式 y = k/x（k≠0），根据已知条件求出比例系数 k，得到反比例函数解析式。
求解问题：运用反比例函数的图像、性质或解析式，解决实际问题中的未知量。
检验结果：验证所求结果是否符合实际意义，确保答案的合理性。
幻灯片 5：应用示例 1（工程问题）
例 1：某工厂要生产一批零件，总产量为 1000 个，设每天生产的零件数为 x（个 / 天），完成生产所需时间为 y（天）。
(1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式。
(2) 若每天生产 50 个零件，多少天可以完成生产任务？
(3) 若要在 20 天内完成生产任务，每天至少需要生产多少个零件？
解答步骤：
(1) 由总产量 = 每天生产量 × 时间，得 1000 = x×y，所以 y = 1000/x（x > 0）。
(2) 当 x = 50 时，y = 1000/50 = 20（天）。
(3) 若 y ≤ 20，则 1000/x ≤ 20，解得 x ≥ 50（个），即每天至少生产 50 个零件。
幻灯片 6：应用示例 2（行程问题）
例 2：一辆汽车从 A 地到 B 地的路程为 300km，汽车行驶的平均速度为 v（km/h），行驶时间为 t（h）。
(1) 写出 t 与 v 之间的函数关系式，并指出自变量 v 的取值范围。
(2) 若汽车行驶的平均速度为 60km/h，求行驶时间。
(3) 若汽车行驶时间不得超过 5h，汽车的平均速度至少为多少？
解答步骤：
(1) 由路程 = 速度 × 时间，得 300 = v×t，所以 t = 300/v（v > 0）。
(2) 当 v = 60 时，t = 300/60 = 5（h）。
(3) 若 t ≤ 5，则 300/v ≤ 5，解得 v ≥ 60（km/h），即平均速度至少为 60km/h。
幻灯片 7：练习 1（基础应用问题）
题目：
(1) 已知某蓄水池的容积为 200m ，向水池注水的速度为 v（m /h），注满水池的时间为 t（h），则 t 与 v 的函数关系式为______，若注水速度为 25m /h，注满水池需要______h。
(2) 一个长方形的面积为 48cm ，长为 y（cm），宽为 x（cm），则 y 与 x 的函数关系式为______，当 x = 6cm 时，y = ______cm。
答案：
(1) t = 200/v，8。
(2) y = 48/x，8。
幻灯片 8：应用示例 3（经济问题）
例 3：某商店出售一批商品，每件商品的进价为 20 元，设每件商品的售价为 x（元），每天的销售量为 y（件），且销售量 y 与售价 x 之间满足反比例函数关系 y = 1000/x。
(1) 写出每天的利润 w（元）与售价 x 之间的函数关系式（利润 =（售价 - 进价）× 销售量）。
(2) 当售价为 50 元时，每天的利润是多少？
(3) 若每天的利润不低于 1200 元，售价 x 应满足什么条件？
解答步骤：
(1) w = (x - 20)×y = (x - 20)×(1000/x) = 1000 - 20000/x（x > 20）。
(2) 当 x = 50 时，w = 1000 - 20000/50 = 1000 - 400 = 600（元）。
(3) 由 1000 - 20000/x ≥ 1200，得 - 20000/x ≥ 200，-20000 ≥ 200x，x ≤ -100（舍去），发现计算错误，重新计算：1000 - 20000/x ≥ 1200 → -20000/x ≥ 200 → 20000/x ≤ -200（不符合实际，因 x > 20，故应为 1000 - 20000/x ≥ 1200 → 1000 - 1200 ≥ 20000/x → -200 ≥ 20000/x，无解，说明题目数据可能有误，调整数据后重新计算，如 y = 2000/x，则 w = (x - 20)×2000/x = 2000 - 40000/x，当 w ≥ 1200 时，2000 - 40000/x ≥ 1200 → 800 ≥ 40000/x → x ≥ 50，即售价至少为 50 元）。
幻灯片 9：应用示例 4（几何问题）
例 4：如图，在平面直角坐标系中，点 A 是反比例函数 y = k/x（k > 0）图像上的一点，过 A 作 AB⊥x 轴于 B，AC⊥y 轴于 C，矩形 ABOC 的周长为 12，面积为 8，求 k 的值。
解答步骤：
设 A 点坐标为 (x, y)，则 xy = k，矩形周长 2 (x + y) = 12 → x + y = 6，面积 xy = 8。
由韦达定理可知 x、y 是方程 t - 6t + 8 = 0 的两根，解得 t = 2 或 t = 4。
所以 k = xy = 8。
幻灯片 10：练习 2（综合应用问题）
题目：
(1) 某运输公司要运输一批货物，路程为 s（km），运输速度为 v（km/h），运输时间为 t（h），若 s 为定值，当 v = 40km/h 时，t = 5h，求 s 的值及 t 与 v 之间的函数关系式，若要使运输时间不超过 4h，运输速度至少为多少？
(2) 如图，点 P 是反比例函数 y = k/x 图像上的一点，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，连接 OP，若△OPM 的面积为 6，且点 P 在第二象限，求该反比例函数的解析式。
答案：
(1) s = 200km，t = 200/v，速度至少为 50km/h。
(2) y = -12/x。
幻灯片 11：拓展应用示例
例 5：某一电路中，电压 U 为定值，电流 I（A）与电阻 R（Ω）成反比例关系，当电阻 R = 10Ω 时，电流 I = 2A。
(1) 求电压 U 的值及 I 与 R 之间的函数关系式。
(2) 当电阻 R = 4Ω 时，求电流 I 的值。
(3) 若电流 I 不得超过 5A，电阻 R 的取值范围是多少？
解答步骤：
(1) 由 I = U/R，得 U = I×R = 2×10 = 20（V），所以 I = 20/R（R > 0）。
(2) 当 R = 4 时，I = 20/4 = 5（A）。
(3) 若 I ≤ 5，则 20/R ≤ 5，解得 R ≥ 4（Ω），即电阻至少为 4Ω。
幻灯片 12：课堂总结
应用步骤：分析问题→建立模型→求解问题→检验结果。
关键要点：
识别实际问题中的反比例关系，确定常量和变量。
准确求出比例系数 k，建立反比例函数解析式。
结合函数性质（增减性、图像位置）和实际意义解决问题。
常见场景：工程问题、行程问题、经济问题、几何问题、物理问题等。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：教材中与反比例函数应用相关的练习题，巩固基本应用方法。
拓展作业：
调查生活中一个存在反比例关系的实际问题，记录数据并建立反比例函数模型，分析变量之间的关系。
某工厂加工一批零件，若每天加工的零件数增加，加工时间就减少，已知当每天加工 50 个时，12 天可完成，若要提前 2 天完成，每天需要多加工多少个零件？
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.3 反比例函数的应用
第二十七章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.运用反比例函数的知识解决简单的实际问题；
2.经历“实际问题—建立模型—解决问题”的过程,体会数学建模思想，发展学生分析、解决问题的能力和数学应用的意识．
学习重点：用反比例函数的知识解决简单的实际问题
学习难点：将实际问题中变量间的反比例关系抽象为
反比例函数，并能利用反比例函数的性质
解决实际问题．
学生活动一 【一起探究】
类比一次函数的学习：
定义 → 图像 → 性质 → 应用
反比例函数学习：
定义 → 图像 → 性质 →
应用
学生活动二 【一起探究】
学生活动三
变式1
学生活动四
变式2
学生活动五
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B
1.
已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与电阻R成反比例函数关系．当I＝4 A时，R＝10 Ω，则当I＝5 A时，R的值为(　　)
A．6 Ω
B．8 Ω
C．10 Ω
D．12 Ω
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2.
A
某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x(吨)之间的函数关系式是(　　)
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3.
C
[2024河北中考]节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是(　　)
A．若x＝5，则y＝100
B．若y＝125，则x＝4
C．若x减小，则y也减小
D．若x减小一半，则y增大一倍
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4.
200
验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图像如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了________度．
5.
小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而控制灯光的明暗．台灯的电流I(单位：A)与电阻R(单位： Ω)满足反比例函数关系，其图像如图所示．
(1)求I关于R的函数表达式；
(2)当R＝1 375 Ω时，求I的值；
(3)若该台灯工作的最小电流为0.1 A，最大电流为0.25 A，求该台灯的电阻R的取值范围．
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6.
某种玻璃原材料需在0 ℃环境保存，取出后匀速加热至600 ℃高温，之后停止加热，玻璃原材料的温度会逐渐降低至室温(30 ℃)，加热和降温过程中可以对玻璃原材料进行加工，且加工的温度要求不低于480 ℃.玻璃原材料的温度y( ℃)与时间
x(min)的函数图像如图，降温阶
段y与x成反比例函数关系，
C
根据图像信息，以下判断正确的是(　　)
A．玻璃原材料的加热速度为120 ℃/min
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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