资源简介

(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.1 圆的概念及性质
副标题：探索平面上最完美的曲线
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解圆的定义，掌握圆的半径、直径、弦、弧等相关概念。
掌握圆的基本性质，包括圆的对称性、垂径定理及其推论。
能运用圆的概念和性质解决简单的几何问题，提升空间想象和逻辑推理能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：圆形的钟表表盘。
图片 2：奥运五环标志。
图片 3：平静水面上的圆形涟漪。
提问引导：这些物体或现象都呈现出圆形，圆在我们的生活中无处不在。那么，圆的严格数学定义是什么？它又具有哪些独特的性质呢？
幻灯片 4：圆的定义
描述性定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所经过的封闭曲线叫做圆。
图示：绘制线段 OA 旋转形成圆的动态示意图，标注出圆心 O 和半径 OA。
集合定义：圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。
说明：定点称为圆心，定长称为半径。以点 O 为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”。
幻灯片 5：圆的相关概念
基本元素：
圆心：固定的端点 O，决定圆的位置。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段（如 OA），决定圆的大小，半径用字母 r 表示。
直径：经过圆心的弦（如 AB），直径用字母 d 表示，直径等于半径的 2 倍，即 d = 2r。
其他概念：
弦：连接圆上任意两点的线段（如 CD）。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示，如⌒ACB），小于半圆的弧叫做劣弧（用两个字母表示，如⌒AB）。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
幻灯片 6：圆的对称性
轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
图示：绘制圆和一条直径，展示沿直径对折后两部分完全重合。
中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
图示：绘制圆和圆心，展示绕圆心旋转 180° 后与原图形完全重合。
旋转不变性：把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。
幻灯片 7：垂径定理
定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
图示：绘制圆⊙O，弦 AB，直径 CD⊥AB 于点 E，标注出 AE = EB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。
数学语言表述：如图，∵CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴AE = EB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。
幻灯片 8：垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：这里 “不是直径” 是必要条件，因为两条直径互相平分，但不一定垂直。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
图示：分别为每个推论绘制对应的图形，直观展示推论内容。
幻灯片 9：垂径定理应用示例 1
例 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径。
解答步骤：
过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂径定理，AC = CB = 1/2 AB = 4cm。
在 Rt△AOC 中，OC = 3cm，AC = 4cm，由勾股定理得 OA = AC + OC = 4 + 3 = 25，所以 OA = 5cm，即⊙O 的半径为 5cm。
幻灯片 10：垂径定理应用示例 2
例 2：如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 E，若 AB = 6，DE = 1，求⊙O 的半径。
解答步骤：
设⊙O 的半径为 r，则 OE = OD - DE = r - 1。
因为 CD⊥AB，所以 AE = 1/2 AB = 3。
在 Rt△AOE 中，OA = AE + OE ，即 r = 3 + (r - 1) ，r = 9 + r - 2r + 1，2r = 10，解得 r = 5。
所以⊙O 的半径为 5。
幻灯片 11：练习 1（圆的概念与垂径定理）
题目：
(1) 下列说法正确的是（ ）
A. 弦是直径 B. 半圆是弧 C. 长度相等的弧是等弧 D. 圆心相同的两个圆是等圆
(2) 在⊙O 中，弦 AB = 10cm，圆心 O 到 AB 的距离为 12cm，则⊙O 的半径为______cm。
(3) 如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若 CE = 4，则 CD = ______。
答案：
(1) B。
(2) 13。
(3) 8。
幻灯片 12：圆的其他性质
性质 1：同圆或等圆的半径相等。
应用：在同圆或等圆中，半径相等是证明线段相等的重要依据。
性质 2：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
图示：绘制同圆中两个相等的圆心角，展示对应的弧和弦相等。
幻灯片 13：练习 2（圆的性质应用）
题目：
(1) 在⊙O 中，若⌒AB = ⌒CD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. AB = CD B. ∠AOB = ∠COD C. AB∥CD D. 弦 AB 和弦 CD 的弦心距相等
(2) 如图，在⊙O 中，AB 是直径，⌒AC = ⌒BC，求∠A 的度数。
答案：
(1) C。
(2) 45°。
幻灯片 14：课堂总结
概念回顾：
圆的定义：旋转定义和集合定义，圆心决定位置，半径决定大小。
相关概念：直径、弦、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧。
性质总结：
对称性：轴对称（无数条对称轴）、中心对称（对称中心为圆心）、旋转不变性。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧，及其推论。
其他性质：同圆或等圆半径相等；等圆心角对等弧、等弦。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：教材中与圆的概念及性质相关的练习题，巩固基本概念和垂径定理的应用。
拓展作业：
用圆规和直尺绘制一个半径为 3cm 的圆，并用字母标注出圆心、半径、一条直径、一条弦、一条优弧和一条劣弧。
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（⌒CD），点 O 是这段弧的圆心，E 为⌒CD 上一点，OE⊥CD，垂足为 F，已知 CD = 600m，EF = 100m，求这段弯路的半径。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.1 圆的概念及性质
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基本概念.
2.认识圆的轴对称性和中心对称性.
3.通过对圆的相关概念的理解，能够从图形中识别“弦、直径”“弧、优弧、劣弧”“半圆、等圆、等弧”.
4.能运用圆的有关概念解决问题.
欣赏图片，每个图片里都有的图形是什么？
学生活动一 【一起探究】
学生活动二
1.在练习本上画一个圆，你是怎样画出的
2.我们想在操场上画个圆形，你有什么办法吗
学生活动二 【一起探究】
平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径.如图所示，它是以点O为圆心，OA的长为半径的圆，记作“☉O”，读作“圆O”.线段OA也称为☉O的半径.
折叠、旋转刚刚画出的圆，你有什么发现？
圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
实际上，圆绕圆心旋转任意角度后都与自身重合.
学生活动三 【一起探究】
学生活动四 【一起探究】
阅读课本147页，理解圆的相关概念.
3.等圆、等弧:
能够完全重合的两个圆叫做等圆.
能够完全重合的两条弧叫做等弧.
半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
返回
B
1.
下列条件中，能确定一个圆的是(　　)
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，半径为10 cm
C．半径为10 cm
D．以点O为圆心
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2.
A
在同一平面内与点P的距离为1 cm的点有(　　)
A．无数个
B．3个
C．2个
D．1个
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3.
B
下列4个说法中，正确的有(　　)
①直径是弦；②弦是直径；③圆的任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
4.
2π
如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，大圆的半径是2，则其阴影部分的面积之和为________(结果保留π)．
返回
5.
B
下列由实线组成的图形中，为半圆的是(　　)
返回
6.
A
下列结论正确的有(　　)
①劣弧一定比优弧短；
②面积相等的两个圆是等圆；
③过圆心的直线是圆的直径；
④圆上任意两点间的部分是圆的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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7.
A
如图，是⊙O的弦的是(　　)
A．线段AB
B．线段AC
C．线段AE
D．线段DE
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8.
如图，在⊙O中，半径有_________________，直径有________，弦有________，劣弧有________________________，优弧有_______________________________．
OA，OB，OC，OD
AB
AB，BC
AC，BC，BD，CD，AD
︵
︵
︵
︵
︵
ADC，BAC，BAD，ACD，DAC
︵
︵
︵
︵
︵
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9.
5
如图，⊙O的半径为5 cm，∠AOB＝60°，则弦AB的长为________cm.
1.圆的定义:平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的
图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这个定长叫做圆的半径.
2.圆的元素:圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小.
3.圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形.
4.和圆有关的概念:弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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