资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.3.1 圆心角
副标题：探究圆心角与弧、弦的关系
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解圆心角的概念，能准确识别圆心角。
掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论。
能运用圆心角的性质解决与圆相关的几何问题，提升逻辑推理能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：钟表上时针和分针形成的角，顶点在钟面中心。
图片 2：圆形齿轮上，两个齿牙与圆心连接形成的角。
提问引导：这些角有什么共同特点？在圆中，这种顶点在圆心的角有什么特殊的性质？这就是我们本节课要学习的圆心角。
幻灯片 4：圆心角的概念
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
图示：绘制一个圆⊙O，在圆上取两点 A、B，连接 OA、OB，标注∠AOB 为圆心角。
相关概念：
圆心角所对的弧：圆心角的两边与圆相交，所夹的弧，如图中∠AOB 所对的弧是⌒AB。
圆心角所对的弦：圆心角的两边与圆相交的两点连接形成的弦，如图中∠AOB 所对的弦是 AB。
幻灯片 5：圆心角、弧、弦的关系探究
实验操作：在同圆中，画出两个相等的圆心角∠AOB 和∠COD，观察它们所对的弧⌒AB 与⌒CD，所对的弦 AB 与 CD 的关系。
图示：绘制同圆中两个相等的圆心角，展示对应的弧和弦。
观察结论：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
提出问题：如果在等圆中，相等的圆心角是否也有这样的性质？
幻灯片 6：圆心角、弧、弦关系定理
定理内容：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
数学语言表述：如图，在⊙O 中，∵∠AOB = ∠COD，∴⌒AB = ⌒CD，AB = CD。
图示：在同圆或等圆中，标注相等的圆心角及对应的等弧、等弦。
定理拓展：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
幻灯片 7：圆心角、弧、弦关系推论
推论 1：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
数学语言表述：∵⌒AB = ⌒CD，∴∠AOB = ∠COD，AB = CD。
推论 2：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
数学语言表述：∵AB = CD，∴∠AOB = ∠COD，⌒AB = ⌒CD。
图示：分别为推论 1 和推论 2 绘制对应的图形，直观展示关系。
幻灯片 8：圆心角性质应用示例 1
例 1：如图，在⊙O 中，⌒AB = ⌒AC，∠BOC = 120°，求∠AOB 的度数。
解答步骤：
因为⌒AB = ⌒AC，根据在同圆中相等的弧所对的圆心角相等，所以∠AOB = ∠AOC。
又因为∠AOB + ∠AOC + ∠BOC = 360°（周角定义），且∠BOC = 120°，所以 2∠AOB + 120° = 360°。
解得∠AOB = 120°。
幻灯片 9：圆心角性质应用示例 2
例 2：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，且 OE = OF，求证：AB = CD。
解答步骤：
连接 OA、OC。
因为 OE⊥AB，OF⊥CD，所以 AE = 1/2 AB，CF = 1/2 CD（垂径定理）。
在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，OA = OC（同圆半径相等），OE = OF（已知），所以 Rt△AOE ≌ Rt△COF（HL）。
所以 AE = CF，因此 AB = CD。
幻灯片 10：练习 1（圆心角基本性质应用）
题目：
(1) 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 相等的弦所对的圆心角相等
C. 在同圆中，相等的弧所对的弦相等 D. 圆心角越大，所对的弦越长
(2) 在⊙O 中，若圆心角∠AOB = 60°，则它所对的弧⌒AB 的度数是______，所对的弦 AB 与半径 OA 的关系是______。
(3) 如图，在⊙O 中，⌒AB = ⌒BC = ⌒CD，OB、OC 分别交 AC、BD 于点 E、F，求证：OE = OF。
答案：
(1) C。
(2) 60°，AB = OA。
(3) 略（提示：利用等弧对等圆心角，证明△OAE ≌ △OBF 或△OEC ≌ △OFD）。
幻灯片 11：圆心角与弧的度数
弧的度数定义：把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的圆心角是 1° 的角，相应地，每一份的弧叫做 1° 的弧。
说明：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
示例：若圆心角∠AOB = 60°，则它所对的⌒AB 的度数是 60°，记作⌒AB = 60°。
图示：绘制一个圆，标注出 60° 的圆心角及对应的 60° 弧。
幻灯片 12：圆心角与弧度数应用示例
例 3：如图，在⊙O 中，⌒AB 的度数是 80°，求圆心角∠AOB 的度数及弦 AB 所对的圆周角的度数（后续将学习圆周角，此处可简单提及）。
解答步骤：
因为⌒AB 的度数是 80°，所以圆心角∠AOB = 80°。
弦 AB 所对的弧有优弧和劣弧，优弧⌒AB 的度数是 360° - 80° = 280°，劣弧⌒AB 的度数是 80°（后续学习圆周角时可知对应的圆周角分别为 140° 和 40°）。
幻灯片 13：练习 2（圆心角与弧度数）
题目：
(1) 在⊙O 中，一条弧的度数是 120°，则它所对的圆心角的度数是______，所对的弦长与半径的大小关系是______。
(2) 如图，在⊙O 中，⌒AC = ⌒BD，∠AOB = 50°，求∠COD 的度数。
答案：
(1) 120°，弦长大于半径。
(2) 50°（提示：因为⌒AC = ⌒BD，所以⌒AC - ⌒BC = ⌒BD - ⌒BC，即⌒AB = ⌒CD，所以∠AOB = ∠COD = 50°）。
幻灯片 14：课堂总结
概念回顾：圆心角是顶点在圆心的角，它所对的弧和弦是相关联的元素。
关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；反之，相等的弧或弦所对的圆心角相等。
弧的度数：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
解题要点：运用圆心角、弧、弦的关系时，要注意 “同圆或等圆” 这个前提条件。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：教材中与圆心角相关的练习题，巩固圆心角的概念和性质应用。
拓展作业：
如图，在⊙O 中，AB 是直径，⌒AC = ⌒CD = ⌒DB，求∠AOC、∠COD、∠DOB 的度数，并判断△OAC 的形状。
已知在⊙O 中，圆心角∠AOB = 90°，点 C 是⌒AB 上一点，且⌒AC = 2⌒CB，求∠AOC 和∠BOC 的度数。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.3.1 圆心角
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解圆心角的概念.
2.探索圆心角及其所对的弧、弦之间的相等关系.
3.会运用圆心角与所对的弧、弦之间的关系进行简单的
计算和证明.
学习重点：理解并掌握圆心角、弧、弦之间的关系
学习难点：圆心角、弧、弦之间关系的证明
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。如∠AOB
学生活动一 【认识圆心角】
想一想：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
⊙
（1）和（4）所示的∠AOB为⊙O的圆心角，
（2）和（3）所示的∠APB不是⊙O的圆心角.
如图，在等圆中，上述等量关系依然成立.
定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等
学生活动二 【一起探究】
想一想：可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
学生活动三 【一起探究】
不可以，如图.
在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.即知一得二.
学生活动四
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C
1.
下列图形中的角是圆心角的是(　　)
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2.
CD
如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径．
(1)若∠AOB＝∠COD，则AB＝________，AB＝________，∠AOC________∠BOD；
(2)若AB＝CD，则CD＝__________，∠COD＝____________；
(3)若AB＝CD，则AB＝______，AC______BD.
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︵
＝
∠AOB
CD
＝
CD
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AB
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返回
3.
A
如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，则下列结论不一定成立的是(　　)
A．OA＝OB＝AB
B．∠AOB＝∠COD
C．AB＝ DC
D．O到AB，CD的距离相等
︵
︵
返回
4.
C
图①是一个球形烧瓶，图②是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若D为AB的中点，∠AOB＝100°，则∠AOD＝(　　)
A．100°
B．60°
C．50°
D．40°
︵
返回
5.
60°
圆中的一条弦把圆分为5∶1两部分，则劣弧所对的圆心角度数为________．
返回
6.
80°
在⊙O中，弧AB所对的圆心角的度数为80°，则弦AB所对的圆心角的度数为________．
返回
7.
67.5°
如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝45°，则∠B的度数为________．
︵
︵
返回
8.
如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝60°，AC＝BC.请判断△ABC的形状，并说明理由．
︵
︵
解：△ABC是等边三角形，
理由：∵AC＝BC，
∴AC＝BC，∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
︵
︵
9.
[教材P155习题A组T2变式]如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为AB的中点，M，N分别是OA，OB的中点，求证：MC＝NC．
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︵
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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