资源简介

(共25张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.3.2 圆周角
副标题：探究圆周角与圆心角的关系
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解圆周角的概念，能准确识别圆周角。
掌握圆周角定理及其推论，明确圆周角与圆心角的关系。
能运用圆周角定理及推论解决与圆相关的几何问题，提升逻辑推理能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：圆形广场上，一名游客站在圆周上，观察广场中心的雕塑，形成的角。
图片 2：自行车轮上，辐条与轮圈的交点和另外两个交点形成的角。
提问引导：这些角的顶点都在圆上，它们与我们上节课学习的圆心角有什么区别和联系？这样的角在圆中又具有怎样的性质呢？这就是本节课要学习的圆周角。
幻灯片 4：圆周角的概念
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
图示：绘制一个圆⊙O，在圆上取一点 A，圆上另外取两点 B、C，连接 AB、AC，标注∠BAC 为圆周角。
概念辨析：
对比圆心角：圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上。
错误示例：展示顶点不在圆上或一边不与圆相交的角，说明它们不是圆周角。
幻灯片 5：圆周角与圆心角的关系探究
实验操作：在⊙O 中，画出一个圆心角∠AOB，再画出几个弧⌒AB 所对的圆周角，测量这些圆周角和圆心角的度数，观察它们之间的关系。
图示：绘制同弧所对的圆心角和多个圆周角，标注度数。
观察结论：同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。
提出问题：这个结论是否对所有同弧所对的圆周角和圆心角都成立？
幻灯片 6：圆周角定理
定理内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
数学语言表述：如图，在⊙O 中，∠ACB 是⌒AB 所对的圆周角，∠AOB 是⌒AB 所对的圆心角，∴∠ACB = 1/2∠AOB。
图示：绘制标准图形，标注圆周角、圆心角和所对的弧。
证明思路：
分三种情况证明：圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部。
简要展示第一种情况的证明过程，其他情况可引导学生课后思考。
幻灯片 7：圆周角定理推论 1
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
数学语言表述：∵⌒AB = ⌒CD，∴∠ACB = ∠CAD（同弧或等弧所对的圆周角）。
图示：绘制同弧或等弧所对的多个圆周角，展示它们相等。
幻灯片 8：圆周角定理推论 2
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。
数学语言表述：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB = 90°；∵∠ACB = 90°，∴AB 是⊙O 的直径。
图示：绘制直径所对的圆周角，标注直角；绘制 90° 圆周角所对的弦，标注直径。
幻灯片 9：圆周角定理应用示例 1
例 1：如图，在⊙O 中，⌒AB 的度数是 80°，求⌒AB 所对的圆周角∠ACB 的度数。
解答步骤：
因为⌒AB 的度数是 80°，所以它所对的圆心角∠AOB = 80°。
根据圆周角定理，∠ACB = 1/2∠AOB = 1/2×80° = 40°。
幻灯片 10：圆周角定理应用示例 2
例 2：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠BAC = 30°，求∠ABC 的度数。
解答步骤：
因为 AB 是⊙O 的直径，根据推论 2，∠ACB = 90°。
在△ABC 中，∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，已知∠BAC = 30°，∠ACB = 90°。
所以∠ABC = 180° - 30° - 90° = 60°。
幻灯片 11：练习 1（圆周角基本性质应用）
题目：
(1) 下列说法正确的是（ ）
A. 同弦所对的圆周角相等 B. 相等的圆周角所对的弧相等
C. 半圆所对的圆周角是直角 D. 圆周角的度数是圆心角的一半
(2) 在⊙O 中，若一条弧所对的圆心角是 120°，则这条弧所对的圆周角是______°。
(3) 如图，在⊙O 中，∠AOB = 100°，求∠ACB 的度数。
答案：
(1) C。
(2) 60。
(3) 50°（提示：∠ACB = 1/2∠AOB 的补角，因为∠AOB = 100°，所以优弧⌒AB 所对的圆心角是 260°，∠ACB = 1/2×260° = 130°？此处原提示错误，正确解答：∠ACB 是劣弧⌒AB 所对的圆周角，∠AOB 是劣弧⌒AB 所对的圆心角，所以∠ACB = 1/2∠AOB = 50°）。
幻灯片 12：圆周角定理综合应用示例
例 3：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAD = 105°，求∠BCD 的度数。
解答步骤：
因为四边形 ABCD 内接于⊙O，所以∠BAD 和∠BCD 是圆内接四边形的一组对角。
圆内接四边形对角互补（后续将学习，此处可结合圆周角定理推导），即∠BAD + ∠BCD = 180°。
所以∠BCD = 180° - 105° = 75°。
幻灯片 13：练习 2（圆周角综合应用）
题目：
(1) 如图，在⊙O 中，∠A = 30°，则∠BOC = ______°。
(2) 已知 AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠CAD = 30°，求∠CBD 的度数。
答案：
(1) 60（提示：∠BOC = 2∠A = 60°）。
(2) 30°（提示：∠CBD 和∠CAD 所对的弧都是⌒CD，所以∠CBD = ∠CAD = 30°）。
幻灯片 14：课堂总结
概念回顾：圆周角是顶点在圆上且两边都与圆相交的角。
定理及推论：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。
解题要点：运用圆周角定理时，要找准同弧所对的圆周角和圆心角；利用推论 2 可判断直径和直角的关系。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：教材中与圆周角相关的练习题，巩固圆周角的概念和定理应用。
拓展作业：
如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，若∠BCD = 30°，求∠ABD 的度数。
求证：圆内接四边形的对角互补（提示：利用圆周角定理，结合四边形内角和）。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.3.2 圆周角
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解圆周角的概念.
2.探索圆周角与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角.
3.了解圆周角定理，理解圆周角定理的证明过程.
4.圆周角定理进行简单的计算和证明.
学习重点：圆周角的概念以及圆周角定理
学习难点：圆周角定理的证明
圆周角:顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.
1.观察下列图形中的角都是圆周角吗
学生活动一 【一起探究】
2.∠AOB、 ∠ APB分别是 AB 所对的圆心角和圆周角，当点P在圆上按顺时针方向移动时(点P与点B不重合)，按照圆心 O 和圆周角的位置关系可以分为几种不同情况 请画出相应图形并说明每种情况下∠AOB、∠APB 的数量关系.
(
圆周角定理:
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
学生活动二 【一起探究】
如图所示，点A，B，C均在☉O上，∠OAB=46°.
求∠ACB的度数.
学生活动三
解：如图所示，连接OB.
∵OA=OB,
∴ ∠OAB= ∠ OBA.
∵ ∠ OAB=46°，
∴ ∠ AOB=180°－2 ∠ OAB=180°－2×46°=88°
∴ ∠ ACB= ∠ AOB=44°.
（1）直径所对的圆周角是多少度？请说明理由。
（2）90°的圆周角所弦对的是直径吗？请说明理由。
（3）一条弧对应多少个圆周角？他们有什么关系。
直径所对的圆周角是直角. 90°的圆周角所对的弦是直径.
学生活动四 【一起探究】
学生活动五
已知：如图，AB为☉O的直径，AB=AC,BC交☉O于点 D，AC交☉O 于点E，∠BAC=45°.
（1）求EBC的度数；
（2）求证：BD=CD
返回
B
1.
下列图形中，∠BAC是圆周角的是(　　)
返回
2.
∠ACB和∠ADB
如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．则AB所对的圆周角是__________________．
︵
返回
3.
C
[2024湖南中考]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　)
A．60°
B．75°
C．90°
D．135°
返回
4.
B
[2024云南中考]如图，CD是⊙O的直径，点A、B在⊙O上．若AC＝BC，∠AOC＝36°，则∠D＝(　　)
A．9°
B．18°
C．36°
D．45°
︵
︵
返回
5.
D
如图，AB是⊙O的直径，若∠D＝32°，则∠AOC等于(　　)
A．158°
B．58°
C．64°
D．116°
返回
6.
90°
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，∠A的顶点在⊙O上，AB，AC分别与⊙O交于点D，E，则∠DOE的度数为________．
返回
7.
D
用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则下列选项中合格的工件是(　　)
返回
8.
C
如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为(　　)
A．80°
B．75°
C．70°
D．65°
返回
9.
D
如图，四边形ABCD是半圆形的内接四边形，AB是直径，CD＝BC．若∠DCB＝100°，则∠ADC的度数为(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
返回
10.
4
返回
11.
C
如图，量角器外边缘上有A，B两点，它们所对应的读数分别为80°，50°，则∠1的度数是(　　)
A．25°
B．30°
C．15°
D．20°
返回
12.
D
如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝(　　)
A．23°
B．24°
C．25°
D．26°
1.圆周角的概念.
2.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
3.推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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