资源简介

(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.3.3 圆内接四边形
副标题：探索圆内接四边形的独特性质
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解圆内接四边形的概念，能准确识别圆内接四边形。
掌握圆内接四边形的性质，尤其是对角互补和外角等于内对角的性质。
能运用圆内接四边形的性质解决与圆相关的几何问题，提升解题能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：圆形的庭院四周有四座建筑物，连接四座建筑物形成的四边形。
图片 2：机械零件中，一个四边形的四个顶点都在同一个圆上。
提问引导：这样四个顶点都在同一个圆上的四边形有什么特别的性质呢？它的角之间存在怎样的关系？这就是本节课要学习的圆内接四边形。
幻灯片 4：圆内接四边形的概念
定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。
图示：绘制一个圆⊙O，在圆上取四个点 A、B、C、D，连接 AB、BC、CD、DA，标注四边形 ABCD 为圆内接四边形，⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆。
概念辨析：
对比一般四边形：圆内接四边形的四个顶点共圆，而一般四边形没有这个特点。
举例说明：矩形、正方形都是圆内接四边形，它们的四个顶点都在以对角线为直径的圆上。
幻灯片 5：圆内接四边形性质探究
实验操作：在⊙O 中，任意画出一个圆内接四边形 ABCD，测量它的四个内角的度数，观察对角之间的关系。
图示：绘制圆内接四边形，标注四个内角的度数。
观察结论：圆内接四边形的对角之和为 180°，即对角互补。
提出问题：圆内接四边形的外角与它的内对角之间存在什么关系呢？
幻灯片 6：圆内接四边形的性质
性质 1：圆内接四边形的对角互补。
数学语言表述：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
图示：在圆内接四边形中标注对角，展示互补关系。
证明思路：利用圆周角定理，∠A 所对的弧是⌒BCD，∠C 所对的弧是⌒BAD，⌒BCD + ⌒BAD = 360°，所以∠A + ∠C = 1/2×360° = 180°。
性质 2：圆内接四边形的外角等于它的内对角。
数学语言表述：如图，延长 AB 到 E，∠CBE 是四边形 ABCD 的一个外角，∴∠CBE = ∠D。
图示：延长圆内接四边形的一边，标注外角和内对角，展示相等关系。
证明思路：因为∠CBE + ∠ABC = 180°（平角定义），∠D + ∠ABC = 180°（性质 1），所以∠CBE = ∠D。
幻灯片 7：圆内接四边形性质应用示例 1
例 1：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，已知∠A = 60°，∠B = 80°，求∠C 和∠D 的度数。
解答步骤：
根据圆内接四边形对角互补，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
因为∠A = 60°，所以∠C = 180° - 60° = 120°。
因为∠B = 80°，所以∠D = 180° - 80° = 100°。
幻灯片 8：圆内接四边形性质应用示例 2
例 2：如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长 AB 到 E，若∠CBE = 50°，求∠ADC 的度数。
解答步骤：
因为∠CBE 是四边形 ABCD 的外角，根据性质 2，∠CBE = ∠ADC。
已知∠CBE = 50°，所以∠ADC = 50°。
幻灯片 9：练习 1（圆内接四边形基本性质应用）
题目：
(1) 下列四边形中，一定是圆内接四边形的是（ ）
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形
(2) 圆内接四边形 ABCD 中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，则∠D 的度数是______°。
(3) 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A = 100°，延长 BC 到 E，求∠DCE 的度数。
答案：
(1) C。
(2) 90。
(3) 100°（提示：∠DCE = ∠A = 100°）。
幻灯片 10：圆内接四边形性质综合应用示例
例 3：如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB = AD，∠BAD = 60°，AC = 6，求四边形 ABCD 的面积。
解答步骤：
连接 BD，因为 AB = AD，∠BAD = 60°，所以△ABD 是等边三角形，BD = AB = AD。
因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，所以∠BCD = 180° - ∠BAD = 120°。
由圆周角定理，∠ACB = ∠ADB = 60°，∠ACD = ∠ABD = 60°。
所以∠ACB = ∠ACD = 60°，即 AC 平分∠BCD。
四边形 ABCD 的面积 = S△ABC + S△ADC = 1/2×AB×AC×sin∠BAC + 1/2×AD×AC×sin∠DAC，因为 AB = AD，∠BAC + ∠DAC = 60°，设∠BAC = α，则∠DAC = 60° - α，所以面积 = 1/2×AB×AC×(sinα + sin (60° - α)) = 1/2×AB×AC×sin60°（利用三角函数公式化简），又因为 AC = 6，△ABD 是等边三角形，后续可结合其他定理进一步计算（此处仅展示思路）。
幻灯片 11：练习 2（圆内接四边形综合应用）
题目：
(1) 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB = CD，求证：AD∥BC。
(2) 圆内接四边形 ABCD 中，∠A = 90°，AB = 3，BC = 4，CD = 5，求 AD 的长。
答案：
(1) 提示：因为 AB = CD，所以⌒AB = ⌒CD，所以⌒AB + ⌒AD = ⌒CD + ⌒AD，即⌒BAD = ⌒CDA，所以∠ABC = ∠BCD，又因为∠ABC + ∠ADC = 180°，∠BCD + ∠BAD = 180°，所以∠ADC = ∠BAD，所以 AD∥BC。
(2) 6（提示：连接 BD，因为∠A = 90°，所以 BD 是直径，根据勾股定理 BD = AB + AD = BC + CD ，即 3 + AD = 4 + 5 ，解得 AD = 6）。
幻灯片 12：课堂总结
概念回顾：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。
性质总结：
对角互补：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
外角等于内对角：外角∠CBE = 内对角∠D。
解题要点：运用圆内接四边形的性质时，要准确识别对角和外角与内对角的关系，结合圆周角定理等知识解决问题。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：教材中与圆内接四边形相关的练习题，巩固基本性质的应用。
拓展作业：
已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB = 2，BC = 6，CD = 4，DA = 4，求四边形 ABCD 的面积。
求证：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆（提示：用反证法）。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.3.3 圆内接四边形
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.了解圆周角推论，理解圆周角推论的证明过程.
2.圆周角定理推论进行简单的计算和证明.
3.理解圆内接多边形等有关概念.
4.掌握圆内接四边形性质，并能应用性质进行计算.
学习重点：
圆周角定理推论，圆内接四边形的性质
学习难点：
圆周角定理推论和圆内接四边形的性质的灵活应用
1.什么是圆心角、圆周角
2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系
3.直径所对的圆周角是多少度
90°的圆周角所对的弦是直径吗
学生活动一
学生活动二
结论:同弧所对的圆周角相等
解：（1）∠ACB= ∠ ADB.
（2）证明如下：连接OA，OB,如图所示，
∵ ∠ ACB= ∠ AOB, ∠ ADB= ∠ AOB，
∴∠ ACB= ∠ ADB.
∠C与∠D所对应的圆心角和为 ，
所以根据圆周角定理可知∠C+∠D = .
在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补.
学生活动三 【一起探究】
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图所示，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
学生活动四 【一起探究】
圆内接四边形的对角互补
如图所示，已知四边形 ABCD 为☉O的内接四边形，∠DCE 为四边形 ABCD 的一个外角.求证∠ DCE= ∠ BAD.
证明：∵四边形 ABCD 为☉O的内接四边形，
∴ ∠ BAD+ ∠ BCD=180°.
∵ ∠ BCD+ ∠ DCE=180°.
∴ ∠ DCE= ∠ BAD.
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B
1.
如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠CAB＝40°，则∠BDC的度数为(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
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2.
B
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝(　　)
A．20°
B．40°
C．50°
D．80°
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3.
65
如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝________°.
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4.
A
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，点E在BC的延长线上，则∠DCE的度数是(　　)
A．60°
B．45°
C．30°
D．无法确定
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5.
C
[2024吉林中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)
A．50°
B．100°
C．130°
D．150°
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6.
[2025北京东城区期末]如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，∠C＝135°，AD＝2，则AB＝__________．
7.
[教材P162习题B组T1变式]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；
解：△ABC是等腰直角三角形．
证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
∵∠ADB＝∠CDB，∴AB＝BC，
∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．
︵
︵
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8.
C
已知，在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
1.同弧所对的圆周角相等.
2.圆内接四边形的有关概念.
3.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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