资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
课程标题：28.4 垂径定理
副标题：解密圆中直径与弦的垂直关系
教师姓名：[具体姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：学习目标
理解垂径定理的含义，能准确表述定理内容。
掌握垂径定理的推导过程，明确定理的应用条件。
熟练运用垂径定理及其推论解决与圆相关的计算和证明问题。
体会数形结合思想在解决圆中问题的作用，提升几何推理能力。
幻灯片 3：情境引入
展示图片：
图片 1：圆形拱桥的剖面图，拱高和桥面宽度构成的几何关系。
图片 2：工人师傅用卷尺测量圆形工件的直径，利用了弦和垂线的关系。
提问引导：在这些圆形结构中，直径与弦的垂直关系蕴含着怎样的数学规律？如何利用这种关系解决实际问题中的长度计算？这就是本节课要学习的垂径定理。
幻灯片 4：垂径定理的探索
实验操作：在⊙O 中，画一条弦 AB，再画一条直径 CD，使 CD⊥AB 于点 E，观察点 E 与 AB 的关系，以及⌒AC 与⌒BC、⌒AD 与⌒BD 的关系。
图示：绘制圆⊙O，弦 AB，直径 CD⊥AB 于 E，标注各点和线段。
观察现象：
弦 AB 被点 E 平分，即 AE = EB。
弧⌒AC 与⌒BC 相等，弧⌒AD 与⌒BD 相等。
提出猜想：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
幻灯片 5：垂径定理的证明
定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于点 E。
求证：AE = EB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。
证明过程：
连接 OA、OB，OA = OB（同圆半径相等）。
因为 CD⊥AB，所以△OAE 和△OBE 是直角三角形。
在 Rt△OAE 和 Rt△OBE 中，OA = OB，OE = OE，所以 Rt△OAE ≌ Rt△OBE（HL）。
所以 AE = EB（全等三角形对应边相等）。
因为∠AOC = ∠BOC（全等三角形对应角相等），所以⌒AC = ⌒BC（等圆心角对等弧）。
因为∠AOD = ∠BOD（平角定义及等角的补角相等），所以⌒AD = ⌒BD。
结论：垂径定理成立。
幻灯片 6：垂径定理的数学表述
文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：如图，∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，∴AE = EB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。
图示强调：标注直径、弦、垂直关系及相等的线段和弧，突出定理的条件和结论。
幻灯片 7：垂径定理的推论
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
注意：“不是直径” 是必要条件，若弦为直径，两条直径互相平分，但不一定垂直。
符号语言：∵CD 是⊙O 的直径，AB 是弦（非直径），AE = EB，∴CD⊥AB，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：∵AB 是弦，CD 垂直平分 AB，∴CD 经过圆心 O，⌒AC = ⌒BC，⌒AD = ⌒BD。
推论 3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
符号语言：∵CD 是⊙O 的直径，⌒AC = ⌒BC，∴CD⊥AB，AE = EB，⌒AD = ⌒BD。
幻灯片 8：垂径定理应用示例 1（计算弦长）
例 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 O 到 AB 的距离 OE 为 3cm，求⊙O 的半径。
解答步骤：
连接 OA，因为 OE⊥AB，根据垂径定理，AE = 1/2 AB = 4cm。
在 Rt△OAE 中，OE = 3cm，AE = 4cm，由勾股定理得 OA = AE + OE = 4 + 3 = 25。
所以 OA = 5cm，即⊙O 的半径为 5cm。
幻灯片 9：垂径定理应用示例 2（计算拱高）
例 2：一座圆弧形拱桥的跨度（弦长）AB 为 12m，拱高（弦心距的反向延长线到弧顶的距离）CD 为 2m，求拱桥所在圆的半径。
解答步骤：
设拱桥所在圆的圆心为 O，半径为 r，连接 OA、OC，OC 交 AB 于 E。
因为 OC⊥AB（垂径定理推论），所以 AE = 1/2 AB = 6m，OE = OC - CE = r - 2。
在 Rt△OAE 中，OA = AE + OE ，即 r = 6 + (r - 2) 。
展开得 r = 36 + r - 4r + 4，化简得 4r = 40，解得 r = 10m。
所以拱桥所在圆的半径为 10m。
幻灯片 10：练习 1（垂径定理基础应用）
题目：
(1) 在⊙O 中，直径为 10cm，弦 AB 的长为 8cm，则圆心 O 到弦 AB 的距离为______cm。
(2) 如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E，若 AB = 6，CE = 1，则⊙O 的半径为______。
(3) 已知⊙O 的半径为 5，弦 AB∥CD，AB = 6，CD = 8，求 AB 与 CD 之间的距离。
答案：
(1) 3。
(2) 5（提示：设半径为 r，则 OE = r - 1，由勾股定理得 r = 3 + (r - 1) ）。
(3) 7 或 1（提示：分 AB 和 CD 在圆心同侧和两侧两种情况）。
幻灯片 11：垂径定理应用示例 3（证明问题）
例 3：如图，在⊙O 中，AB 是弦，C、D 是 AB 上的两点，且 AC = BD，求证：OC = OD。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，根据垂径定理，AE = EB。
因为 AC = BD，所以 AE - AC = EB - BD，即 CE = ED。
因为 OE⊥AB，所以 OE 是 CD 的垂直平分线，所以 OC = OD（线段垂直平分线上的点到两端点距离相等）。
幻灯片 12：练习 2（垂径定理证明应用）
题目：
(1) 如图，在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于 E、F，且 AE = BF，求证：OE = OF。
(2) 求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
答案：
(1) 提示：过 O 作 OG⊥AB 于 G，由垂径定理得 AG = BG，结合 AE = BF 得 EG = FG，再证 Rt△OEG ≌ Rt△OFG。
(2) 提示：作直径垂直于其中一条弦，由垂径定理和平行线性质证明所夹弧相等。
幻灯片 13：垂径定理的实际应用
例 4：用一块直径为 10cm 的圆形铁片，剪出一个最大的正六边形，求这个正六边形的边长和一边上的高。
解答步骤：
圆形铁片的半径为 5cm，正六边形内接于圆时最大，此时正六边形的边长等于圆的半径，即边长为 5cm。
过圆心 O 作正六边形一边 AB 的垂线，垂足为 E，OE 为边心距。
在 Rt△OAE 中，OA = 5cm，AE = 2.5cm，所以 OE = √(5 - 2.5 ) = √(25 - 6.25) = √18.75 = (5√3)/2 cm。
所以一边上的高为边心距的 2 倍（或直接计算），即 5√3 cm。
幻灯片 14：课堂总结
定理回顾：垂径定理是圆中重要的性质定理，核心是 “垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”。
推论拓展：平分弦（非直径）的直径垂直弦、弦的垂直平分线过圆心等推论，是垂径定理的延伸应用。
解题关键：
构造直角三角形：连接半径，利用垂径定理得到直角三角形，结合勾股定理计算。
注意分类讨论：涉及弦的位置关系（如平行弦距离）时，需考虑不同位置情况。
思想方法：数形结合、转化思想（将圆中问题转化为直角三角形问题）。
幻灯片 15：课后作业
基础作业：教材中与垂径定理相关的练习题，巩固定理的计算和证明应用。
拓展作业：
一个圆形花坛的周长是 18.84m，在花坛周围有一条宽 1m 的环形小路，求小路的面积（提示：先求内圆半径，再用垂径定理相关知识或圆面积公式计算）。
如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦 CD 交 AB 于 E，若 CE = DE，AB = 10，CD = 8，求 OE 的长。
2025-2026学年冀教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.4 垂径定理
第二十八章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其推论.
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.
学习重点：
垂径定理及其应用
学习难点：
探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题
阅读课本P163—P164页，并完成第1题，垂径定理的条件和结论分别是什么？如何证明？
学生活动一 【一起探究】
1.请你在半透明的纸上以O为圆心画一个圆，在☉O中，AB 为弦，CD是直径，且 CD⊥AB，垂足为E,将☉O沿
CD 所在直线对折，重合的线段有 ，
重合的弧有 .
请针对你的发现，结合图1进行证明.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
学生活动二 【一起探究】
2.如图 2， ☉O的直径 CD 交弦 AB(不是直径)于点E,
①若 AE=BE, 探究 AB 与 CD 的位置关系及哪些弧相等
②若 AD = BD ,探究 AB 与 CD 的位置关系及哪些线段弧相等
（
（
在☉O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB，AD=BD中的一项作为条件，则可得到另外两项结论.
（
（
如图所示，已知 CD 为☉O的直径，AB 为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若 ED=2，AB=8，求直径CD 的长.
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C
1.
如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误的是(　　)
A．AM＝BM
B．AC＝BC
C．OM＝MD
D．AD＝BD
︵
︵
︵
︵
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2.
B
如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径为(　　)
A．2
B．5
C．8
D．10
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3.
2
如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是________．
4.
解：∵BE＝8，AE＝2，
∴AB＝AE＋BE＝10，∴OA＝OC＝5，
∴OE＝OA－AE＝5－2＝3，
即线段OE的长为3.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝8，AE＝2.
(1)求线段OE的长；
(2)求弦CD的长．
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5.
B
为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入测量工件尺寸的凹槽内，测得的有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的直径为(　　)
A．12 cm
B．10 cm
C．8 cm
D．6 cm
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6.
4 m
如图，为某蔬菜基地建的蔬菜大棚的剖面， AB的半径OA＝10 m，地面宽AB＝16 m，则高度CD为________．
︵
7.
如图，有一座圆弧形拱桥，它的两边的跨度AB为60 m，拱高PM为18 m，当拱桥下的水面A′B′为30 m时，就要采取紧急措施了．若某次洪水中，拱顶离水面只有
4 m，即PN＝4 m，试通过计算来判断是否需要采取紧急措施．
解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O，
则O在PM的延长线上，连接OA，OA′，设半径为x m，
则OA＝OA′＝OP＝x m，
∴OM＝OP－PM＝(x－18) m.
由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N.
∵AB＝60 m，∴AM＝30 m.
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2＋AM2，
即x2＝(x－18)2＋302，解得x＝34，
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8.
D
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9.
B
已知△ABC是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则△ABC的面积是(　　)
A．32或16
B．32或8
C．8或16
D．24或32
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10.
A
如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长为(　　)
A．8
B．10
C．11
D．12
1.垂径定理和推论及它们的应用.
2.垂径定理和勾股定理相结合，将圆的问题转化为直角三角形问题.
3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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